高考数学经典常考题型第62专题 点线面位置关系.docx

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高考数学经典常考题型第62专题点线面位置关系

第62专题训练点线面位置关系的判定

一、基础知识

（一）直线与直线位置关系:

1、线线平行的判定

（1）平行公理:

空间中平行于同一直线的两条直线平行

（2）线面平行性质:

如果一条直线与平面平行,则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行

（3）面面平行性质:

2、线线垂直的判定

（1）两条平行直线,如果其中一条与某直线垂直,则另一条直线也与这条直线垂直

直线与平面位置关系:

（2）线面垂直的性质:

如果一条直线与平面垂直,则该直线与平面上的所有直线均垂直

（二）直线与平面的位置关系

1、线面平行判定定理:

（1）若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行,则

（2）若两个平面平行,则一个平面上的任一直线与另一平面平行

2、线面垂直的判定:

（1）若直线与平面上的两条相交直线垂直,则

（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直,则另一条直线也与该平面垂直

（3）如果两个平面垂直,则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直

（三）平面与平面的位置关系

1、平面与平面平行的判定:

（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行,则两个平面平行

（2）平行于同一个平面的两个平面平行

2、平面与平面垂直的判定

如果一条直线与一个平面垂直,则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直

（四）利用空间向量判断线面位置关系

1、刻画直线,平面位置的向量:

直线:

方向向量

平面:

法向量

2、向量关系与线面关系的转化:

设直线对应的法向量为,平面对应的法向量为（其中在外）

（1）∥∥

（2）

（3）∥

（4）

（5）

（6）

3、有关向量关系的结论

（1）若,则平行+平行→平行

（2）若,则平行+垂直→垂直

（3）若,则的位置关系不定。

4、如何用向量判断位置关系命题真假

（1）条件中的线面关系翻译成向量关系

（2）确定由条件能否得到结论

（3）将结论翻译成线面关系,即可判断命题的真假

二、典型例题:

例1:

已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,现给出下列命题:

①若,则；

②若,则；

③若,则；

④若,则．

其中正确命题的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

思路:

①为面面平行的判定,要求一个平面上两条相交直线,而①中不一定相交。

所以无法判定面面平行；②为面面垂直的性质,要求一个平面上垂直交线的直线,才与另一平面垂直。

而②中不一定与交线垂直。

所以不成立；③可用向量判定,设对应法向量为,直线方向向量为,则条件转换为:

可推得,即,③正确；④为线面平行判定,要求在外,所以④错误；综上只有1个命题正确

答案:

B

例2:

已知是不同的直线,是不同的平面,以下命题正确的是（）

①若∥,,则∥；

②若,∥,则；

③若∥,则∥；

④若,∥,∥,则；

A．②③B．③④C．②④D．③

思路:

题目中涉及平行垂直较多,所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题

①两平面各选一条直线,两直线平行不能判断出两个平面平行,例如在正方体中在平面和平面中,虽然,但两个平面不平行,所以①错误

②例如:

平面∥平面,,但与不垂直,所以②错误

③考虑利用向量帮助解决:

所以可以推断,所以可得∥

④考虑利用向量解决:

由垂直关系不能推出,所以④错误

答案:

D

例3:

对于直线和平面,的一个充分条件为（）

A.B.

C.D.

思路:

求的充分条件,即从A,B,C,D中选出能判定的条件,A选项:

例如正方体中的平面和平面

可知虽然平面,平面,但这两个平面不平行。

B选项:

也可利用A选项的例子说明无法推出,C选项可用向量模型进行分析:

所以可得:

即；D选项可利用A选项的例子:

可知平面,平面,但这两个平面不平行,综上所述,只有C为的一个充分条件

答案:

C

例4:

给定下列四个命题:

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中,为真命题的是（）

A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④

思路:

分别判断四个命题:

①必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行,才可判定两平面平行,所以①错误；②该命题为面面垂直的判定,正确；③空间中垂直同一条直线的两条直线不一定平行,例如正方体中交于一点的三条棱；④可用反证法确定,假设该直线与另一平面垂直,则必然垂直该平面上所有的直线,包括两平面的交线。

所以与条件矛盾。

假设不成立。

综上所述,正确的命题是②和④

答案:

D

例5:

已知,表示两条不同直线,表示平面,下列说法中正确的是（）

A．若,,则

B．若∥,∥则∥

C．若,,则∥

D．若∥,,则

思路:

A选项若直线与平面垂直,则直线与这个平面上的所有直线均垂直,所以A正确

B选项可用向量判断,∥,∥,由,无法判断出的关系,所以不能推出∥；C选项并没有说明直线是否在平面上,所以结论不正确；D选项也可用向量判断,∥,,同理由无法判断的情况,所以无法推断出,综上所述:

A正确

答案:

A

例6:

给出下列命题,其中正确的两个命题是（）

①直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行。

②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线平面,直线,则；④是异面直线,则存在唯一的平面,使它与都平行且与距离相等

A.①②B.②③C.③④D.②④

答案:

D

思路:

①到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧,如果是同侧,则两点所在直线与平面平行,如果异侧,则直线与平面相交,且交点为这两点的中点。

②正确,证明如下:

如图,平面,且分别为的中点,过作交于,连接,设是的中点

平面

③命题中没有说明直线是否在上,所以不正确；④正确,设为异面直线的公垂线段,为中点,过作的平行线,从而由确定的平面与平行且与的距离相等。

所以该平面即为所求。

答案:

D

例7:

下列命题正确的个数是（）

①若直线上有无数个点不在平面内,则∥

②若直线∥,则与平面内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行

④若直线∥,则与平面内的任意一条直线都没有公共点

A.0B.1C.2D.3

思路:

①“无数个点”只是强调数量多,并不等同于“任意点”,即使直线与平面相交,直线上也有无数个点不在平面内。

所以①不正确；②若∥,说明与没有公共点,所以与上任意一条直线都没有公共点,但即使无公共点,的位置关系不只是有平行,还有可能异面,所以②不正确；③线面平行的前提是直线在平面外,而命题③中没有说明“另一条”直线是否在平面上,所以③不正确；命题④可由②得知,与上任意一条直线都没有公共点,命题④正确,综上所述,正确的有1个

答案:

B

例8:

直线为两异面直线,下列结论正确的是（）

A.过不在上的任何一点,可作一个平面与都平行

B.过不在上的任何一点,可作一个直线与都相交

C.过不在上的任何一点,可作一个直线与都平行

D.过有且只有一个平面与平行

思路:

A选项中,如果点与确定的平面与平行,则此平面只和平行,在此平面上,所以这样的是无法作出符合条件的平面；B选项由A所构造出的平面可得,若过的直线与相交,则也在该平面上,所以与无公共点；若过的直线与相交,则无法与相交,综上所述对于这样的点无法作出符合条件的直线；C选项如果过的直线与均平行,则由平行公理可知,与已知条件矛盾,所以C错误；D选项,如果异面,则过只能做出一个平面与平行。

在上取两点分别作的平行线,则所唯一确定的平面和平行,且在此平面上。

所以D正确

答案:

D

例9:

设是两条异面直线,是空间任意一点,则下列命题正确的是（）

A.过点必存在平面与两异面直线都垂直

B.过点必存在平面与两异面直线都平行

C.过点必存在直线与两异面直线都垂直

D.过点必存在直线与两异面直线都平行

思路:

A选项,若平面与均垂直,则推得,与异面矛盾；B选项如果点位于某条直线上,则平面无法与该直线平行；C选项中直线的垂直包括异面垂直,所以可以讲平移至共面,过的直线只需与这个平面线面垂直,即和都垂直,所以C正确；D选项如果直线与均平行,则由平行公理可得,与异面矛盾。

所以C正确

答案:

C

例10:

设是不同的直线,是不重合的平面,则下列命题不正确的是（）

A.若∥,∥,在外,则∥

B.若,则

C.若∥,则∥

D.若,且,则∥

思路:

A选项可通过向量来判断:

由此可得:

因为在外,所以可判定∥,A正确；B选项设,则上所有点的投影落在中,上所有点的投影落在中,因为,所以上所有点的投影均在的交点上,即,所以B正确；C选项符合面面平行的性质,即两个平面平行,第三个平面与这两个平面相交,则交线平行,所以C正确；D选项中若A,C位于同侧,则命题成立；但如果位于两侧,则满足条件的与相交。

故不正确

答案:

D

三、历年好题精选

1、（2016,山东胶州高三期末）设为不同的平面,为不同的直线,则的一个充分条件为（）

A.B.

C.D.

2、给出下面四个命题:

①“直线∥直线”的充要条件是“平行于所在的平面”；

②“直线⊥平面α内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；

③“直线,为异面直线”的充分不必要条件是“直线,不相交”；

④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”．

其中正确命题的序号是（　　）

A．①②B．②③C．③④D．②④

3、（2016,大连二十中期中考试）已知三个互不重合的平面,且,给出下列命题（）

①若,则②若,则

③若,则④若,则

其中正确命题的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、（江西中南五校联考）已知是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中正确的是（）

A.若B.若

C.若D.若

5、（2016,宁波高三期末）已知平面与平面交于直线,且直线,直线,则下列命题错误的是（）

A．若,且与不垂直,则B．若,,则

C．若,,且与不平行,则D．若,,则

6、（2016,上海闸北12月月考）已知是两条不同直线,是两个不同平面,给出下列四个命题:

①若垂直于同一平面,则与平行

②若平行于同一平面,则与平行

③若不平行,则在内不存在与平行的直线

④若不平行,则与不可能垂直于同一平面

其中真命题的个数为（）

A．4B．3C．2D．1

7、设为两条直线,为两个平面,则下列四个命题中,正确的命题是（）

A.若,则B.∥∥,∥,则∥

C.若∥,∥,则∥D.若∥,则

8、（2015,广东文）若直线是异面直线,在平面内,在平面内,是平面与平面的交线,则下列命题正确的是（）

A.至少与中的一条相交B.与都相交

C.至多与中的一条相交D.与都不相交

9、（2014,辽宁）已知表示两条不同的直线,表示平面,下列说法正确的是（）

A.若,,则B.若,则

C.若,则D.若,,则

习题答案:

1、答案:

D

解析:

A选项若不在上,则无法判定；B选项:

若,则,所以无法判定；C选项,如果来两两垂直,则无法判定；D选项,如果,则,再由可判定

2、答案:

D

解析:

①若平行于所在的平面,则的关系为平行或异面,所以不是充要条件；

②由线面垂直定义可知:

直线⊥平面当且仅当直线⊥平面α内所有直线,所以②正确；③中若直线不相交,则可能平行。

所以不能得到“直线,为异面直线”,③错误；④若平面∥平面,则内所有点