圆锥曲线解题方法技巧归纳.docx
《圆锥曲线解题方法技巧归纳.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线解题方法技巧归纳.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
圆锥曲线解题方法技巧归纳
圆锥曲线解题方法技巧归纳
第一、知识储备:
1.直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：
点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容
tan
1kzki
（3）弦长公式
x1x2
直线ykxb上两点A（x1,y-i）,B（x2,y2）间的距离：
ABy1k
J（1k2）[（x~X2）24x1X2]或ABJi*|yiy2
（4）两条直线的位置关系
①l1l2k1k2=-1②l1//l2k1k2且b1b2
2、圆锥曲线方程及性质
（1）、椭圆的方程的形式有几种？
（三种形式）
标准方程：
22
——1（m0,n0且mn）
mn
距离式方程:
（xc）2y2.（xc）2y22a
参数方程：
xacos,ybsin
（2）、双曲线的方程的形式有两种
22
标准方程：
—y1（mn0）
mn
距离式方程：
|（xc）y2、..（xc）2y212a
（3）、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
（4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?
22
如：
已知F1、F2是椭圆-»1的两个焦点，平面内一个动点M满足
43
（6）、记住焦半径公式：
（1）
椭圆焦点在x轴上时为aex0；焦点在y轴上时为aey°
，可简记为“左加右减，上加下减”。
（2）双曲线焦点在x轴上时为e|x°|a
（3）抛物线焦点在x轴上时为lx,卫,焦点在y轴上时为|%|卫
22
（6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？
_
第二、方法储备
1、点差法（中点弦问题）
22
设Ax1,y1、BX2,y2，Ma,b为椭圆—'1的弦AB中点则有
43
2、联立消元法：
你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？
经典
套路是什么？
如果有两个参数怎么办？
设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0,以及根与系数的关系，代入弦长公
式，设曲线上的两点A（Xi,yJ,B（X2,y2），将这两点代入曲线方程得到①
②两个式子，然后①-②，整体消元，若有两个字母未
知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。
若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。
一旦设直线为ykxb，就
意味着k存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x25y280上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；
（2）若角A为900,AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
分析：
第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦
BC的斜率，从而写出直线BC的方程。
第二问抓住角A为90°可得出AB丄AC,从而得X1X2y』214（yi祠160，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；
解：
（1）设B（xi,yi）,C（X2,y2）,BC中点为（冷皿）尺2,0则有
两式作差有（XiX2）（X1X2）（yiy2）（yiy?
）0xoyok
工2016~5~4~
yo2，代入
（1）得k
5
直线BC的方程为6x5y280
2）由AB丄AC得x1x2y1y214（y1y2）160
（2）
设直线BC方程为ykxb,代入4x5y280，得
222
（45k）x10bkx5b800
4
直线过定点（0,
y—
1，建立目标函数f（a,b,c,）0,整理
22
XeL,yEL,再代入X2耸
ab
f（e,）0，此运算量可见是难上加难•我们对h可采取设而不求的解题策
建立目标函数f（a,b,c,）0,整理f（e,）0,化繁为简.
解法一：
如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立
点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称
h2
故
1231
由题设2
3
解得
3233
彳得，12
43e224
、7e,10
所以双曲线的离心率的取值范围为,7,d0分析：
考虑AE,AC为焦半径，可用焦半径公式，|AE,AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略.
cc-
2
2C又|AE
，代入整理
Xe
，丿又1
1
2
1|AC
1
2
3刁曰-得,
2
1232
3
4
3
e224
解得
曲e尿
解法二：
建系同解法一，AE
aexE,ACaexC,
1亠，由题设
e1
所以双曲线的离心率的取值范围为.7,-10
4、判别式法
例3已知双曲线C•匸兰1，直线I过点A.2,0，斜率为k，当0k122
时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线I的距离为.2，试求k的值及此时点B的坐标
分析1:
解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，
数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：
过点B作与I平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设
计如下解题思路：
I:
yk（x.2）0k1
直线I'在I的上方且到直线I的距离为』2
分析2:
如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表
达，即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路:
问题
于是关于x的方程
1可知:
20.
k21x22k.2（k21）.2kx,2（k21）2k
由如上关于x的方程有唯一解，判别式0,就可解得
点评：
上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
例4已知椭圆C：
x22y28和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、
B两点，在线段AB上取点Q，使詈賢，求动点Q的轨迹所在曲线的
PBQB
方程.
分析：
这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知
从何入手。
其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是
选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消
参可达到解题的目的.
由于点Q（x,y）的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？
一方面利用点Q在直线AB上；
线，不难得到
另一方面就是运用题目条件：
箔罟来转化.由A、B、P、Q四点共
x4（Xaxb）2xAxB，要建立x与k的关系，只需将直线AB的方~8（XAXB）~
程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解
在得到xfk之后，如果能够从整体上把握，认识到：
所谓消参，目的
yk（x4）1解得k—~1，
［将直线方程代入椭圆方程，消去y,利用韦达定理x4
直接代入xfk即可得到轨迹方程。
从而简化消去参的过程
点Q的轨迹方程
关于x的一元二次方程:
22
2k21x24k（14k）x2（1
4k（4k1）
2k1
2
2（14k）8
X1X2
k21
k2
与yk（x4）1联立，消去k得：
2xy4（x4）0.
在
（2）中，由64k264k240，解得210k210，结合（3）
44
可求得162両x162阿
99
故知点Q的轨迹方程为：
2xy40（16210x16210）.
99
点评：
由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到•这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参•，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道•
5、求根公式法
22
例5设直线I过点P（0,3），和椭圆-孔1顺次交于A、B两点,
94
试求的取值范围.
PB
分析：
本题中，绝大多数同学不难得到：
竺二土，但从此后却一筹
PBXb
莫展，问题的根源在于对题目的整体把握不够•事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：
其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系•
分析1：
从第一条想法入手，詈二子已经是一个关系式，但由于有两个变量Xa,Xb，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个
变量直线AB的斜率k.问题就转化为如何将xa,xb转化为关于k的表达
方程，其求根公式呼之欲出.
因为椭圆关于求量的轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k0的情形.
是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁’但本题无法直接应用韦达定理’原因在于霜亍不是关于Xi,X2的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即
我们可以构造关于Xi,X2的对称关系式.
构造所求量与k的关系式
AP1
PB5'
点评：
范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法•
解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知着，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.
第三、推理训练：
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思
维形式，它是数学求解的核心。
以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。
在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。
通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。
例6椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且
AFFB1,|OF]1.（I）求椭圆的标准方程；
（H）记椭圆的上顶点为M，直线I交椭圆于P,Q两点，问：
是否存在直线I,使点F恰为PQM的垂心？
若存在，求出直线I的方程;若不存在，请说明理由。
思维流程:
2
故椭圆方程为才y21
（H）假设存在直线I交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则
设P（心yJ,Q（X2,y2）,TM（0,1）,F（1,0），故kPQ1,
于是设直线l为y
xm，由葺X2m得,3x24mx2m220x22y22
uuruur
xm（i1,2）
「MPFQ0n（x21）y2（y,1）又V、
得x〔（x21）（x2m）（x〔m1）0即
2x〔x2（为x2）（m1）m2m0由韦达定理得
44
解得m-或m1（舍）经检验m-符合条件.
33
点石成金：
垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.
升级会员 