圆锥曲线解题方法技巧归纳.docx

1、圆锥曲线解题方法技巧归纳圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备:1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般 式。(2)与直线相关的重要内容tan1 kzki(3)弦长公式x1 x2直线 y kx b 上两点 A(x1, y-i), B(x2, y2)间的距离： AB y1 kJ(1 k2)(xX2)2 4x1X2 或AB Ji *|yi y2(4)两条直线的位置关系l1 l2 k1k2=-1 l1/l2 k1 k2且b1 b22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程：2 21(m 0,n 0 且 m n)m n距离式方程

2、:(x c)2 y2 .(x c)2 y2 2a参数方程：x a cos , y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种2 2标准方程：y 1(m n 0)m n距离式方程：| (x c) y2、. (x c)2 y21 2a(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?2 2如：已知F1、F2是椭圆- 1的两个焦点，平面内一个动点 M满足4 3(6)、记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x轴上时为a ex0；焦点在y轴上时为a ey，可简记为“左加右减，上加下减”。(2)双曲线焦点在x轴上时为e|x| a(3)抛物线焦点在x轴上时为lx,卫,焦点在y轴上时为|%|卫2

3、 2(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)2 2设A x1, y1、B X2, y2 ， M a, b为椭圆1的弦AB中点则有4 32、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一 个二次方程，使用判别式 0,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(Xi,yJ,B(X2,y2)，将这两点代入曲线方程得到 两个式子，然后-，整体消元 ，若有两个字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以 利用三点A、B、F共

4、线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间 的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 y kx b，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2 80上，且点A是椭 圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC的方程；(2)若角A为900 , AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为90可得出AB 丄AC,从而得X1X2 y2 14(yi祠16 0，然后利用联立消元法及交轨 法求出点D的轨迹方程；解：

5、(1)设B ( xi,yi) ,C(X2,y2 ),BC中点为(冷皿)尺2,0则有两式作差有 (Xi X2)(X1 X2) (yi y2)(yi y?) 0 xo yok工 20 16 5 4yo 2，代入（1）得k 5直线BC的方程为6x 5y 28 02)由 AB 丄 AC 得 x1x2 y1 y2 14( y1 y2) 16 0 (2)设直线BC方程为y kx b,代入4x 5y2 80，得2 2 2 (4 5k )x 10bkx 5b 80 04直线过定点（0,y 1，建立目标函数f(a,b,c, ) 0,整理2 2Xe L ,yE L ,再代入X2 耸a bf(e, ) 0，此运算量

6、可见是难上加难我们对h可采取设而不求的解题策建立目标函数f(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称h2故1 231由题设23解得32 3 3彳得， 1 243 e2 2 4、7 e ,10所以双曲线的离心率的取值范围为,7,d0 分析：考虑AE , AC为焦半径，可用焦半径公式，|AE , AC用E,C的横坐标表 示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略.c c -22 C 又 |AE，代入整理Xe，丿又1121 |AC123刁曰 -得,21 23 2343e2 2 4解得曲 e

7、 尿解法二：建系同解法一，AEa exE , AC a exC ,1亠，由题设e 1所以双曲线的离心率的取值范围为.7,-104、判别式法例3已知双曲线C 匸兰1，直线I过点A .2,0，斜率为k，当0 k 1 2 2时，双曲线的上支上有且仅有一点 B到直线I的距离为.2，试求k的值及 此时点B的坐标分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观 入手，对照草图，不难想到：过点 B作与I平行的直线，必与双曲线 C相 切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 0.由此出发，可设计如下解题思路：I : y k(x .

8、2) 0 k 1直线I在I的上方且到直线I的距离为2分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为2 ”，相当于化归的方程 有唯一解.据此设计出如下解题思路:问题于是关于x的方程1可知:2 0.k2 1 x2 2k .2(k2 1) . 2k x , 2(k2 1) 2k由如上关于x的方程有唯一解，判别式 0,就可解得点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局 观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C：x2 2y2 8和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使詈 賢，求动点Q的轨迹所在曲线的PB

9、QB方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 .因此，首先是 选定参数，然后想方设法将点 Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线 AB的斜 率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB上；线，不难得到另一方面就是运用题目条件：箔 罟来转化.由A、B、P、Q四点共x 4(Xa xb)2xAxB，要建立x与k的关系，只需将直线 AB的方 8 (XA XB)程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出

10、，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解在得到x f k之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的y k( x 4) 1 解得 k 1，将直线方程代入椭圆方程，消去 y,利用韦达定理 x 4直接代入x f k即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程点Q的轨迹方程关于x的一元二次方程:2 22k2 1 x2 4k(1 4k)x 2(14k(4k 1)2k 122(1 4k) 8X1X2k2 1k 2与 y k（x 4） 1 联立，消去 k得：2x y 4 （x 4） 0.在（2）中，由 64k2 64k 24 0，解得 2 10 k 2 10，结合（3）4 4可求得 16 2両x 16 2阿

11、9 9故知点Q的轨迹方程为：2x y 4 0 （ 16 2 10 x 16 2 10 ）.9 9点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次 方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到这当中，难点在引出参， 活点在应用参，重点在消去参，而“引参、用参、消参”三步曲，正是 解析几何综合问题求解的一条有效通道5、求根公式法2 2例5设直线I过点P（ 0, 3），和椭圆-孔1顺次交于A、B两点,9 4试求的取值范围.PB分析：本题中，绝大多数同学不难得到： 竺二土，但从此后却一筹PB Xb莫展，问题的根源在于对题目的整体把握不够事实上，所谓求取值范 围，不外乎两条路：其一是构造所求变量

12、关于某个（或某几个）参数的函 数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所 求量的一个不等关系分析1：从第一条想法入手， 詈二子已经是一个关系式，但由于有两 个变量Xa,Xb，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3个变量 直线AB的斜率k.问题就转化为如何将xa,xb转化为关于k的表达方程，其求根公式呼之欲出.因为椭圆关于求量的轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k 0的情形.是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于 是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当 这种问题的桥梁但本题无法直接应用韦达定理原因在于霜亍不是

13、 关于Xi,X2的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于Xi,X2的对称关系式.构造所求量与k的关系式AP 1PB 5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等 式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等 .本题也可从数 形结合的角度入手，给出又一优美解法解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明 问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知 着，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里 .第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数

14、学命题，即定义、公 理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出 结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的 相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通 过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为A,B , O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF FB 1 , |OF 1.( I)求椭圆的标准方程；(H)记椭圆的上顶点为M，直线I交椭圆于P,Q两点，问：是否存在 直线I,使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线I的方程;若不存在， 请说明理由。思维流程:2故椭圆方程为才y2 1(H)假设存在直线I交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设 P(心 yJ,Q(X2,y2), T M(0,1),F(1,0)，故 kPQ 1 ,于是设直线l为yx m，由葺 X2m 得, 3x2 4mx 2m2 2 0 x2 2y2 2uur uurx m(i 1,2)MP FQ 0 n(x2 1) y2(y, 1)又 V、得 x(x2 1) (x2 m)(x m 1) 0 即2xx2 (为 x2)(m 1) m2 m 0 由韦达定理得4 4解得m -或m 1 (舍) 经检验m -符合条件.3 3点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向 量乘积为零.