地板砖的铺设数学建模Word格式.docx
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1假设在铺设地板砖的过程中，进过切割后的剩余的的余料不再利用
2假设在进行对铺设的区域的面积时，忽略墙体的厚度。
3假设地板砖在切割的过程中，不会产生损耗。
符号说明铺设第k个矩形地板砖的安装费用Ak
第i种地板砖的长ai
第i种地板砖的破损概率。
Bi
第i种地板砖的宽bi
切割单位长度的地板砖所需费用（C0.005元/mm）C
■地板砖类型（i=1,2,3,4,5）i
被铺设的矩形区域（编号为k=1,2,3。
。
14）k
铺设第k个矩形所需的第i种地板砖的块数。
ki
铺设第k个矩形购买地板砖的费用
Lengthk
mi
第k个矩形的长
第k块区域切割长度
被切割的块数
所需i型地板砖的数量ni
第i种地板砖的单价pi
铺设第k个矩形地板砖的切割费用
Qk
户型面积
所需地板砖的面积
第k块区域的面积第k个矩形的宽房屋地板砖铺设总花费铺设第k个矩形地板砖所需总费用。
单位面积的安装费用Z利用率
美观度
模型的建立与求解
问题1
sz
Sk
Widthk
W
Wk
1.1所示，
首先由于铺设的平面比较复杂，我们把平面分为如图
图1.1
建立模型一
房屋地板砖铺设总花费计算公式为:
14
（1）
其中铺设第个矩形区域地板砖所需总费用计算公式:
WkLkAkQk
则铺设第个矩形购买地板砖的费用计算公式：
5
LkPini
i1
*
R
定义i为向上取整公式，即不小于的最小整数
R’
*1
、，RI
I
Y
IR
其中不需要被切割的地板砖的块数：
LengthkWidthk
aib
1Bi
铺设第个矩形地板砖的安装费用计算公式:
铺设第个矩形地板砖的切割费用计算公式
0,
ai
G1=
1,
cWidthk
0,k
Widthk
bi
G2=
1Widthkbi
Widthkbi
则切割长度的数学表达为：
而对于切割费用的的计算，运用0—1规划，令
（8）
（9）
（10）
MkG1LengthkG2Widthk
美观度计算公式
LengthkWidthk
aibi
问题2
模型二
对于用同一种尺寸的地板砖进行铺设，先利用模型一中的以下公式:
可求的所需的第种地板砖的总块数则利用率的可表示为
niSj
（13）
总费用可表示为
Wms（C（G1LengthkG2Widthk）Ak）
k1（14）
经过计算的到的数据如图2.1所示
地板砖的规格
所需块数（块）
地板砖购买费用
切割费用
（元）
总费用
利用率
800*800
260
46800
407
47207
0.777284
600*600
421
54730
401
55131
0.853391
600*300
804
64320
396.5
64716.5
0.893726
400*400
934
67248
400.25
67648.25
0.865498
300*300
1509
67905
395
68300
0.95236
图2.1
问题3
准别条件：
优先使用整块铺设，且整块铺设优先选用边长的，五中砖的规格中，4种是正方形，剩下的300*600,可以切分为2块300*300,在考虑问题的时候，因为任何一种长宽不同矩形都会有两种铺法，而对与正方形来就没有这种考虑
我们只考虑四种变长情况，即800*800，600*600，400*400和300*300，而当整块300*300的块数出现＞=2时，我们把两块300*300的合并成一块300*600，根据单位面积的价格，大砖更加经济。
最后不能被整块铺设的地方用300*300铺设，因为剩下的面积往往很小（且靠矩形总面积的边界），用大砖切割不经济。
当计算所用300*300的块数＞=2时，我们同样把2块300*300换成1块300*600的。
首先，根据尽量铺大块的砖，（且在考虑中只有涉及4种规格的正方形砖），从矩形的长和宽分别进行考虑。
长（length）的考虑使得四种规格组合的边长相加最大程度达到到区域边长，且限制条件1:
边长越长的砖块越优先。
限制条件2区
域总变长-组合边长＜300,同理从宽（width）的角度使得四种规格组合的边长相加最大程度达到到区域宽长，限制条件1:
限制条件2
区域宽长-组合宽长＜300。
数学公式区域长的角度设需要边长800的数量i1,边长是600的数量为i2，
边长为400的数量为i3,边长为300的数量是i4区域宽的角度设需要边长800的数量j1,边长是600的数量为j2,边长为400的数量为j3,边长为300的数量
是j4
数学模型3
根据题目的要求，我们得到以下的限制条件：
Length-（800*i1+600*i2+400*i3+300i4）<
300
Width-（800*i1+600*i2+400*i3+300i4）<
（15）
（16）
il
length
800
（17）
i2
吶鬻800
600
i3=
400
width
Ji
j2
ja=
（19）
（20）
（21）
运用程序求解代码得到最佳组合数据如下
区域号码
i
j
1
{2,0,1,0}
{0,0,1,0}
2
{1,0,0,0}
3
4
{4,0,0,0}
{1,0,0,1}
{3,0,0,0}
{1,0,1,0}
6
{1,1,0,0}
7
{5,0,1,0}
8
{2,1,0,0}
9
{4,0,0,1}
10
{4,1,0,0}
11
12
13
{6,1,0,0}
{3,1,0,0}
{12,0,0,0}
砖块计算公式
某个区域需要的砖块数量
k800
i1
J1
i1J1
（23）
k600
length..
i2J2
（24）
k400
i3
J3
i3J3
（25）
k300
i4
J4
14J4
（26）
进过C语言计算得到每个区域的各种规格的地板砖的最佳结果，如下表所示
区域号码
800的整块
数
600的整块数
400的整块数
300的整块
3「
0:
6:
20
91
16
11:
121
13—
18
60
24
再考虑剩下剩下来的面积用300*300的铺设。
我们考虑到如果区域的长被组合完全铺满，那么最后不能被整块铺余下的面积，
会是不到300mm勺宽乘以区域的长，最后铺设的要切割的300*300的块数，就是
区域的长除以300mm向上取整。
按照这个思路。
我们可以建立模型
（27）
x
Lengthh800
i2600
i3400i4300
y
Widthj1800
j2600
j3400j4300
（28）
LengthWidth
（x,y）
最后补的300*300的块数为-
将所有300mm*300m换成300mm*600mm
最终用混合铺设的砖块数分别为如下表所示
800*600
P0
P5
P7
r13
最终我们得到混合铺法所需要的各尺寸地板砖的块数及总费用和利用率，见下表
所示
地板砖的规格
所需块数（块）
地板砖购买费用
切割费用（元）
184
33120
46458
0.870332
27
3510
92
7360
28
2016
45
问题4
模型的评价与改进
模型的优点：
1.结合数学期望的概念对地砖切割单后单价做了合适的处理，使得求解方便准确，与实际的结合性强。
2.模型求解中运用了摊还算法的思想，
3.在混合地板铺设的求解中运用了穷举算法，在求解小规模问题时，算法简单,可靠性高。
模型的缺点：
1.采取线性整数规划求解问题时，模型较为理想化，现实存在的一些问题不能充分考虑。
2.对于一些结构复杂及形状不规则的户型，区域划分较为困难，应用此模型求解时较复杂。
3.未考虑实际情况下多种类型地板砖混合铺设对美观效果的影响。
参考文献
[1]薛定宇陈阳泉，高等应用数学问题的MATLA求解（第二版），北京：
清华大学出版社，2008年。
[2]同济大学数学系，工程数学-线性代数（第五版），北京：
高等教育出版社，2007年
[3]邓君智，关于高斯函数在建筑学中的一个应用——方地砖最少块数估计，数学的实践与认识，第34卷第2期：
P111-P114，2004年。
[4]俱鹏岳，铺设矩形地面所需矩形地砖的最优估计，西北师范大学学报（自然科学版），第45卷2009年第2期：
P17-P20，2009年。
[5]张伟，地板砖铺设问题2013年8月25日。
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