CSPS提高组NOIP初赛第一轮比赛试题及答案分析Word格式.docx
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其中任意一种为真，或两种都为真时，结果为真，这种运算为或运算。
比如：
教室里有两个门前门、后门，A:
前门开门，B:
后门开门
A
B
结果
真
假
4.
答案B
编译：
就是把高级语言变成计算机可以识别的2进制语言，计算机只认识1和0，编译程序把人们熟悉的语言换成2进制的。
5.
答案：
1）:
（int）（x）取浮点数的整数部分
（int）（x*100）/100.0取小数点后两位
（int）（x*100+0.5）/100.0四舍五入到小数点后两位
2）:
可以用代入法排错：
x=2.6;
代入到A、B、C、D4个答案中。
A：
2.605B:
2.6C:
52.6D:
260.005
6.
答案：
B
1248组成的4位数字有4！
=24种
1124组成的4位数组有4!
/2!
（因为有两个1相同所以/2！
）=12种
1128、1148、2488、1288、1488共有6*12=72种
1188组成的4位数字：
4！
/2!
/2=6种
共有：
24+72+6=102种
7.
C
稳定性的定义
假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，ri=rj，且ri在rj之前，而在排序后的序列中，ri仍在rj之前，则称这种排序算法是稳定的；
否则称为不稳定的。
排序的稳定性特点是排序完成后，之前相同的元素排序不会改变。
快速排序在排序时在交换中间元素时可能会打乱顺序。
如3、1、1、2、1、6、7、8、9，在一开始3与中间1交换后，稳定性已被打破。
稳定的排序算法：
基数排序、冒泡排序、直接插入排序、折半插入排序、归并排序
不稳定的排序算法：
堆排序、快速排序、希尔排序、直接选择排序
8.
无向连通图：
n个顶点有n*（n-1）/2个顶点。
n=8时无向连通图的顶点是28个，非连通无向图，共有28条边，至少有9个顶点。
9.
能被3整除的数，各数字之后是3个倍数。
不考虑被3整除，共有5*5*3=75种选择。
第3位数的可选项是：
018而这3个数整除3分别余：
012
所以其他4位数确定后，第3位数只能有一种选择。
5*5*1=25种。
也可以通过列举法：
第3位是0时：
第1位第2位可以选：
6090060966996996188100共11种选法。
第3位是1时：
第1位第2位可以选：
61169119100188共7种选法
第3位是8时：
68868998800811共7种选法
共：
11+7+7=25种选法
10.
15+12=27减去语文、数学都得满分的人4，27-4=23
11.
答案：
D
归并算法：
数组a={1,3,5,7}n=4
数组b={2,4,6,8}n=4
比较：
1：
1->
21
2:
2->
32
3:
3->
43
4:
4->
54
5:
5->
65
6:
6->
76
7:
7->
87
第最后一个数8不需要再比较直接放在最后一个元素：
比较次数是：
2n-1
两个数组从小到大依次比较，哪边小哪边入数组，当某一数组全部计入结果数组后，剩下的也依次进入。
最好的情况是数组A所有数都比数组B第一个数小，只要比较n次。
最坏情况是全部比较完，最后AB只剩最后一个数比较，总比较次数就是2n-1。
12．
图的存储可以用邻接矩阵、邻接链表
栈、二叉数、队列属于数据结构。
常用的数据结构：
数组、栈、队列、链表、树、图、堆、散列表等。
13.
Floyd算法利用动态规划属于动态规划算法。
Dijkstra算法是用于求解图中某源点到其余各顶点的最短路径的算法
Dijkstra算法求解单源最短路径的基本算法思想：
首先需要做的是创建一个空集S，表示已经遍历过的节点的集合。
选定好源点O之后，便要把源点O放入集合S中。
之后进行如下步骤：
1）如果!
S不为空，选择距离源最小的点，称为点V，放入集合S中。
2）对V的所有后继（针对无向图则为所有相连的节点）进行遍历，当V到某一后继U的距离加上V到源点O的距离要小于从源点O到U的直接距离时，更新源点O到U的距离为OV距离+VU距离。
3）重复进行前两步，直到!
S为空为止。
如下面的一张图，求解点1到其他所有点的最短路径：
我们首先先把与点1相连的所有点的距离加进去。
以数组dist[i]记录。
首先dist[0]=0,dist[1]=10,dist[2]=INF,dist[3]=30,dist[4]=100;
用数组mark[i]表示第i-1个节点是否进入了集合S。
mark[0]=true;
接下来选择距离源最近并且还没有进入S的点。
点2。
那么mark[0]=true;
mark[1]=true;
接着，dist[1]+edge[1][2]=10+50=60<
dist[2]=INF.
也就是说点1到点2的距离加上点2到点3的距离小于点1到点3的距离（因为他们不相连）。
dist[0]=0,dist[1]=10,dist[2]=60,dist[3]=30,dist[4]=100;
点4。
mark[3]=true;
接着，dist[3]+edge[3][2]=30+20=50<
dist[2]=60
也就是说点1到点4的距离加上点4到点3的距离小于点1到点3的距离。
dist[0]=0,dist[1]=10,dist[2]=50,dist[3]=30,dist[4]=100;
接着，dist[3]+edge[3][4]=30+60=90<
dist[4]=100
也就是说点1到点4的距离加上点4到点5的距离小于点1到点5的距离。
dist[0]=0,dist[1]=10,dist[2]=50,dist[3]=30,dist[4]=90;
至此，点4的所有后继搜寻完毕。
点3。
mark[2]=true;
接着，dist[2]+edge[2][5]=50+10=60<
dist[4]=90
也就是说点1到点3的距离加上点3到点5的距离小于点1到点5的距离。
dist[0]=0,dist[1]=10,dist[2]=50,dist[3]=30,dist[4]=60;
点3的其余后继不用更新，因为相加的大小都比之前的距离长，不能更新。
最后点5也同上，没有可以更新的距离，至此，所有的点都进入了集合S。
最终点1到其他所有点的最短距离为：
dist[0]=0
dist[1]=10
dist[2]=50
dist[3]=30
dist[4]=60
Prim算法
最小生成树的Prim算法也是贪心算法的一大经典应用。
Prim算法的特点是时刻维护一棵树，算法不断加边，加的过程始终是一棵树。
Prim算法过程：
一条边一条边地加，维护一棵树。
初始E＝｛｝空集合，V=｛任选的一个起始节点｝
循环（n–1）次，每次选择一条边（v1,v2），满足：
v1属于V,v2不属于V。
且（v1,v2）权值最小。
E=E+（v1,v2）
V=V+v2
最终E中的边是一棵最小生成树，V包含了全部节点。
以下图为例介绍Prim算法的执行过程。
Prim算法的过程从A开始V={A},E={}
选中边AF,V={A,F},E={（A,F）}
选中边FB,V={A,F,B},E={（A,F）,（F,B）}
选中边BD,V={A,B,F,D},
E={（A,F）,（F,B）,（B,D）}
选中边DE,V={A,B,F,D,E},
E={（A,F）,（F,B）,（B,D）,（D,E）}
选中边BC,V={A,B,F,D,E,c},
E={（A,F）,（F,B）,（B,D）,（D,E）,（B,C）},算法结束。
最小生成树（kruskal算法）
最小生成树问题顾名思义，概括来说就是路修的最短。
接下来引入几个一看就明白的定义：
最小生成树相关概念：
带权图：
边赋以权值的图称为网或带权图，带权图的生成树也是带权的，生成树T各边的权值总和称为该树的权。
最小生成树（MST）：
权值最小的生成树。
最小生成树的性质：
假设G＝（V,E）是一个连通网，U是顶点V的一个非空子集。
若（u,v）是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
完成构造网的最小生成树必须解决下面两个问题：
（1）尽可能选取权值小的边，但不能构成回路；
（2）选取n－1条恰当的边以连通n个顶点；
prim算法适合稠密图，kruskal算法适合简单图。
Floyd算法
求最短路径一般有两种算法：
1.弗洛伊德
2.迪杰斯特拉
关于迪杰斯特拉算法→最短路径
两算法的区别:
弗洛伊德算法是可以解决任意两点间的最短路径的一种算法
Dijkstra算法是用于求解图中某源点到其余各顶点的最短路径的算法
那我们来看看弗洛伊德算法
思想
通过Floyd计算图中各个顶点的最短路径时，需要引入两个矩阵，矩阵D中的元素表示顶点i到顶点j的距离。
矩阵P中的元素表示顶点i到顶点j经过了P记录的值所表示的顶点。
但在此题中不需要记录P
过程
顶点数为n的话，就对初始矩阵进行n次更新，每次分别以第i个顶点为中转点，符合条件就更新。
具体看图吧重在理解==这里以有向图为例，无向图更简单
14.
118098/486=243
486/2=243
243不是2，4，5的倍数而是3的倍数，所以可能的公比是3
15.
每个点只能从上方两个点过来，自然取最大的加a（i,j）加上上一行中经过的较大的路径max（c[i-1][j-1],c[i-1][j]）
二、阅读程序题
1.
]
思路：
在数组a中找到a[i]后面第一个大于a[i]的位置。
1）错：
11行执行，i=1,ans=1,都不满足条件时，ans=I;
2）对，ans是数组中位置是小于等于n的
3）正确，程序的关键在于14，15行，大于a[i]的位置
4）正确，a[i]后面a[i+2]才是大于a[i]的值，那说明a[i+1]<
=a[i]
5）.答案D
严格的递增，14行不执行，while循环每次只执行一次。
时间复杂度，D
6）.答案A
最坏的情况为严格单调递减，14行if判断每次都执行，while循环每次都查找到n，时间复杂度为n+（n-1）+……+2+1=n*（n+1）/2,即O（n^2）。
思路：
并查集操作
并查集：
并查集被很多人认为是最简洁而优雅的数据结构之一，主要用于解决一些元素分组的问题。
它管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：
合并（Union）：
把两个不相交的集合合并为一个集合。
查询（Find）：
查询两个元素是否在同一个集合中。
初始化
intfa[MAXN];
inlinevoidinit（intn）
{
for（inti=1;
i<
=n;
++i）
fa[i]=i;
}
假如有编号为1,2,3,...,n的n个元素，我们用一个数组fa[]来存储每个元素的父节点（因为每个元素有且只有一个父节点，所以这是可行的）。
一开始，我们先将它们的父节点设为自己。
查询
intfind（intx）
if（fa[x]==x）
returnx;
else
returnfind（fa[x]）;
我们用递归的写法实现对代表元素的查询：
一层一层访问父节点，直至根节点（根节点的标志就是父节点是本身）。
要判断两个元素是否属于同一个集合，只需要看它们的根节点是否相同即可。
合并
inlinevoidmerge（inti,intj）
fa[find（i）]=find（j）;
合并操作也是很简单的，先找到两个集合的代表元素，然后将前者的父节点设为后者即可。
当然也可以将后者的父节点设为前者，这里暂时不重要。
本文末尾会给出一个更合理的比较方法。
程序：
8-10行查询
15-18初始化
20-28构建集合
29输出深度
1）.正确ab是集合的下标，范围【0，n-1】
2）.错识，fa[i]=i,初始化所有元素的根结点是本身，如果改为fa[i]=0意味着所有的结点的根结点是0，都在集合0内，与题目的初衷相悖，并且影响后面的ans的计算结果。
3）.正确所有的结点的根结点都在【0，n）
4）.错误cnt[i]是合并之后集合的元素个数，严谨的并查集操作cnt[i]是不会超过n的，但是本题没有判断是否重复合并。
所以如果先输入（1,2），（3,4），之后一直不断输入（2,4），最后cnt[4]会超过n。
5）.cnt[i]表示当前集合的元素个数，每次执行都是两个集合合并，我们可令每次都是单个集合合并进入大集合，ans=1*1+1*2+1*3+……1*48+1*49=49*（49+1）/2=1225。
6）.getRoot是依次查找上一个父元素，没有“压缩路径”，时间复杂度最差为n，所以总的时间复杂度为n^2。
1*1+1*2+1*3+1*n=n*（n-1）/2～n^2
求解字符串s删除连续最多几个字符后，字符串t仍是s的子序列。
pre[i]表示s[0..i]至多可以从前往后匹配到t串的哪一个字符，此时t[0..pre[i]-1]是s[0..i]的子序列。
sub[i]用于记录s[i..slen-1]至多从后到前匹配到t的哪一个字符，此时t[suf[i]+1..tlen-1]是s[i..slen-1]的子序列。
1）.正确从15至19行可以看出，sub数组的值是从尾部往前减小或不变，所以suf[i]≤suf[i+1]。
2）.错误有题目目的可知，当t==s时输出为0。
3）.错误若第一循环时while不执行，则j-i-1为-1，如s=“bacb”,t=”ac”
4）.错误。
由题义可知若t是s子序列，t[0..pre[i]-1],t[sub[i+1]+1..lent-1]是s[0..i],s[i+1..lens-1]的子序列，不会重叠，即pre[i]-1<
sub[i+1]+1,即pre[i]<
=sub[i+1]+1。
或者用s=t=‘a’代入即可
当t不是s子串（或t==s）输出都为0，但为保证程序执行，最少应输入一个字符。
6）.答案C
输出为2说明slen最多连续删除2个后为10，所以最小为12。
三、
完善程序
pionts为已有经验值
threshold[i]为第i项技能所需要最低经验
bonus[i]第i项技能可获得的经验
unlock数组为对应技能需学习的前置技能数，大于0说明有前置技能要学，为-1表示已学习。
每次都先学习一个已经达到条件但为学习的技能，学习后更新经验值和其他技能与该技能有关的学习条件，不断重复至没有技能可以学。
1）.答案C
学习技能条件一，需要的前置技能数为0且为学习。
2）.答案D
学习技能条件二，总经验达到该技能的经验要求。
3）.答案D
技能学习之后，更新经验值
4）.答案C
学完一项新技能之后，更新相应后置技能的尚未解锁的前置技能数，相应后置技能unlock值应减1，这里的child数组用于记录每个技能后置技能的编号。
5）.答案B
初始化每个技能尚未解锁的前置技能数，unlock[i]应为m。
我们可以设置bool数字f[i]表示有i个石子时有无先手必赢策略。
若对于i个石子有先手必赢策略，则存在j（a[j]<
=i且b[j]<
=i）使得i-b[j]个石子先手无必赢策略，则得到转移方程f[i]=OR{!
f[i-b[j]}（a[j]<
=i）。
因为本题策略数和数组b数字都不超过64，所以仅考虑f[i-1]..f[i-64],可将其状态压缩至一个64位数中。
其中status用于记录对于i个石子，i-1..i-64是否有先手必胜策略。
1）.答案C
由题意可知，状态压缩到64位，A和D默认是32位整数，所以B或者C。
最开始石子是0个，应该是输的状态，所以最低位不能是1，选C。
2）.答案B
a[i]进行从小到大排序，所以可使用规则只增加不减少。
此循环用于增加当前可选的规则，当i达到a[j]时规则可以使用。
3）.答案A
在原有规则上，新增”取b[j]个棋子”的规则。
二进制新增用|。
4）.答案D
判断当前石子数i能否先手必胜，即要求存在某个前置状态无先手必胜策略。
将“i个石子是否先手必胜“添加入压缩后的状态status中，应将当下状态的结果添加到status
的右起第1位。
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