轴对称文档格式.docx
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分析:
要找一点P,使它到三点A、B、C的距离相等
即PA=PB=PC
则先找,到AB两点的距离相等的点
于是做线段AB的垂直平分线EF
再找,到BC两点的距离相等的点
于是做线段BC的垂直平分线MN
直线EF、MN的交点即为游乐中心P点
例3.如图,在△ABC中,∠A=90°
,BD平分∠ABC,AD=3cm,BC=8cm,试求△BCD的面积。
从求出发:
要求△BCD面积,而又已知BC=8cm,因此应想到做BC边的高。
从已知出发:
已知角平分线上的点到角一边的距离,想到做出这一点到另一边的距离。
解:
做DE⊥BC于E
∵BD平分∠ABC,DE⊥BC于E,∠A=90°
∴DA=DE=3cm
所以,△BCD的面积为12平方厘米
例4.在图中直线MN上,找一点P,使点P到射线OA和OB的距离相等。
因为到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
所以做∠AOB的平分线与直线MN的交点即为点P。
例5.如图,在△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC,在AD上有一点P,试比较AB-AC与PB-PC的大小。
分析:
因为AD是∠BAC平分线
所以AD所在直线是∠BAC的对称轴
沿直线AD对折,AC落在AB上,点C落在点E
所以AC=AE,PC=PE
所以AB-AC=AB-AE=BE
在△BPE中,BE>PB-PE
所以AB-AC>PB-PC
例6.如图,直线EF表示一条小河的河边,直线MN表示草场的边缘,一牧民及马在帐篷A处。
牧民放马到河边,让马饮水;
再放马到草场,让马吃草;
最后回到帐篷。
请你帮助设计最短路线。
做法:
做出点A关于直线EF的对称点B
做出点A关于直线MN的对称点C
连接B、C交EF、MN于P、Q
从点A到点P,再到点Q,最后回到点A,是最短路程
等腰三角形是重要的基本图形之一,它的性质及识别都很重要。
有两个图形性质值得注意:
(1)角平分线配平行线出等腰三角形;
(2)角平分线配垂直线出等腰三角形。
例7.已知:
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BE∥DA交CA延长线于E,F是BE的中点。
求证:
AF⊥BE
要证AF⊥BE,由于已知F是BE中点,于是只要证AE=AB,由已知AD平分∠BAC,BE∥DA交CA延长线于E,即可得到AE=AB。
证明:
因为AD平分∠BAC
所以∠1=∠2
因为BE∥DA
所以∠3=∠1,∠E=∠2
所以∠3=∠E
所以AE=AB
因为F是BE中点
所以AF是△ABE的中线
所以AF⊥BE
例8.已知:
如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE。
AC-AB=2BE
因已知“∠1=∠2,BE⊥AE”即已知中有“角平分线配垂直”的条件,于是想到图形中隐含着一个等腰三角形。
为此延长垂线段BE交AC于M。
立即得到AB=AM,BE=EM,BM=2BE等结论,要证AC-AB=2BE的问题转化为只要证BM=MC。
证明:
延长BE交AC于M
因为BE⊥AE,所以∠AEB=∠AEM=90°
在△ABE中,因为∠1+∠3+∠AEB=180°
所以∠3=90°
-∠1
同理,∠4=90°
-∠2
因为∠1=∠2,所以∠3=∠4
所以AB=AM
因为BE⊥AE,所以BM=2BE
所以AC-AB=AC-AM=CM
因为∠4是△BCM的外角
所以∠4=∠5+∠C
因为∠ABC=3∠C
所以∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5
所以3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C
所以∠5=∠C
所以CM=BM
所以AC-AB=BM=2BE
分类讨论思想及方程思想在等腰三角形中应用非常广泛。
例9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20度,求顶角度数。
这个等腰三角形顶角可能是锐角、可能是钝角,所以应分两种情况讨论。
(1)当等腰三角形顶角是锐角时,如图
(1)
∠DBA=20°
,则∠A=70°
(2)当等腰三角形顶角是钝角时,如图
(2)
,∠DAB=70°
,则∠BAC=110°
例10.已知:
在△ABC中,AB=AC,D在AC上,E在AB上,AD=DE=BE,BD=BC,求:
∠A的度数。
在此题中,求角度,但已知却没给角度,想到设x,用方程思想,这种想法会经常用到。
设∠2=x°
因为AD=DE,所以∠1=∠A
因为DE=BE,所以∠2=∠3=x°
因为∠1是△BDE外角
所以∠1=∠2+∠3=2x°
所以∠A=2x°
因为∠4是△BDA外角
所以∠4=∠2+∠A=3x°
因为BD=BC,所以∠C=∠4=3x°
因为AB=AC,所以∠C=∠ABC=3x°
在△ABC中,因为∠A+∠ABC+∠C=180°
所以2x°
+3x°
=180°
所以x=22.5
=45°
【模拟试题】
一.选择题。
1.等腰三角形的一个外角等于100度,那么这个三角形的三个内角分别是()
A.50°
,50°
,80°
B.80°
,20°
C.100°
,100°
D.50°
;
80°
2.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角是()
A.顶角B.顶角的一半
C.顶角的二倍D.底角的一半
3.有如下判断:
(1)过正方形每个顶点,可以画正方形的对称轴,过正方形每条边的中点也可以画一条对称轴,所以正方形对称轴有8条;
(2)如图,MN是线段AB的垂直平分线,N是垂足,CD和EF分别是AN、NB的垂直平分线,D、F是垂足,则有AD=DN=NF=FB;
(3)如图,OD是∠AOB的平分线,DA⊥OA,DB⊥OB,A、B是垂足,OE、OF分别是∠AOD和∠BOD的平分线,分别交AD于E,交BD于F,则有AE=ED=DF=FB。
其中正确的有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
4.如图
(1),△ABC是等边三角形,三角形的两条高交于点E,连结CE和DF,则图中共有等腰三角形的个数是()
A.5个B.6个C.7个D.8个
5.如图
(2),在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=40°
,DE⊥AC,则∠ADE等于()
B.40°
C.30°
D.60°
二.解答题。
6.如图,在△ABC中,已知AB的垂直平分线交AC于E,△ABC和△BEC的周长分别为24cm和14cm,求AB的长度。
7.如图,△ABC中,∠A=36°
,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,DE∥CB,EF平分∠AED,在图形中有哪些等腰三角形?
并证之。
8.如图,P、Q是△ABC的BC边上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数。
9.如图,已知△ABC中,CE平分∠ACB,且AE⊥CE,
。
ED∥BC
10.如图,在△ABC中,∠B=100°
,AM=AN,CP=CN。
求:
∠MNP的度数。
11.如图,在△ABC中,CM是∠ACB的平分线,AD∥CM,交BC的延长线于点D,若AN=ND,试说明CN⊥CM的道理。
12.如图,已知直线l和点A、B,在直线l上找一点P,使△PAB的周长最小。
你能说明理由吗?
【试题答案】
1.D2.B3.B4.B5.A
6.解:
∵DE垂直平分AB
∵△ABC的周长为24,△BCE的周长为14
∴AB+AC+BC=24,BE+CE+BC=14
∵AE=BE
∴AB+BE+CE+BC=24
∴AB=10
∴AB的长度为10cm
7.证明:
∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵∠A=36°
∴∠ABC=∠C=72°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD=36°
∵DE∥BC
∴∠BDE=∠CBD=36°
∴∠EBD=∠EDB=36°
∴△BED为等腰三角形
∵三角形内角和为180°
∴∠BDC=72°
=∠C
∴BC=BD
∴△BCD为等腰三角形
∵ED∥BC
∴∠AED=∠ABC=72°
,∠ADE=∠C=72°
∴∠AED=∠ADE
∴△AED是等腰三角形
∵EF平分∠AED
∴∠AEF=∠DEF=36°
∴∠A=∠AEF
∴△AEF是等腰三角形
∴∠EFD=72°
∴∠EFD=∠ADE
∴△DEF是等腰三角形
∵∠A=∠ABD=36°
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
∴图中共有△ABC、△BED、△BCD、△AED、△AEF、△DEF、△ABD,7个等腰三角形
8.解:
∵AP=PQ=QA
∴△APQ为等边三角形
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°
∵BP=AP
∴∠B=∠BAP
∵∠APQ是△ABP外角
∴∠APQ=∠B+∠BAP
∴∠BAP=30°
同理,∠CAQ=30°
∴∠BAC的度数为120度
9.证明:
延长AE交BC于F
∵CE平分∠ACB
∴∠1=∠2
∵CE⊥AE
∴∠3=∠4=90°
在△EAC中,∠1+∠4+∠5=180°
∴∠5=90°
同理,∠6=90°
∴∠5=∠6
∵∠5+∠7=180°
∴∠6+∠7=180°
∵BFC是直线
∴∠6+∠8=180°
∴∠7=∠8
∴DE∥BC
10.解:
∵AM=AN,∴∠1=∠2
∵CP=CN,∴∠3=∠4
在△AMN中,∠1+∠2+∠A=180°
同理,
∵ANC为直线
∴∠MNP的度数为40度
11.证明:
∵CM平分∠ACB
∴∠BCM=∠ACM
∵CM∥AD
∴∠BCM=∠D,∠ACM=∠CAD
∴∠D=∠CAD
∴AC=CD
∵AN=ND,∴CN⊥AD
∵CM∥AD,∴CN⊥CM
12.作法:
(1)作A点关于直线l的对称点A’;
(2)连结BA’交l于P。
∴△PAB周长最小
在直线l上任取一点Q,连结QB、QA、QA’
∵l是对称轴,A、A’为对称点
∴PA=PA’,QA=QA’
在△A’QB中,
∵Q是任意一点
【励志故事】
认知生命中的“沉香”
有一位富翁,垂垂老矣。
他把儿子叫到跟前,向儿子讲述了自己如何白手起家的故事,希望儿子也能奋发图强,靠自己的努力打出一番天下来。
儿子听了很感动,决定独自一人去寻找宝物。
他跋山涉水历尽艰辛,最后在热带雨林找到一种树木,这种树能散放一种无比的香气,放在水里不是像别的树一样浮在水面,而是沉到水底。
他心想这一定是价值连城的宝物!
就满怀信心地把香木运到市场去卖,可是却无人问津,为此他深感苦恼。
当看到隔壁摊位上的木炭总是很快就能卖光时,他一开始还能坚守自己的判断,但时间最终让他改变了自己的想法,他决定将香木变成木炭来卖。
第二天,他果然就把香木烧成木炭,结果很快被一抢而空,这个结果令他十分高兴,就迫不及待地跑回家告诉他的父亲,但父亲听了他的话,却不由得老泪纵横。
原来,青年烧成木炭的香木,正是这个世界上最珍贵的树木——沉香,只要切下一块磨成粉屑,价值就超过了一车的木炭。
(待续)