大学概率论与数理统计必过复习及试题解析绝对好用Word格式文档下载.docx
《大学概率论与数理统计必过复习及试题解析绝对好用Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学概率论与数理统计必过复习及试题解析绝对好用Word格式文档下载.docx（38页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
3．二维均匀分布，其中为的面积且；
5．二维随机向量的分布函数于右连续；
（3）；
二维连续随机向量，离散时独立
（2）
7．随机变量的函数分布
（4），，；
6
连续时独立
（1）
第四章随机变量的数字特征时
和的分布
1．期望
（3）二维时7）独立时，3）；
（1）；
；
称不相关，独立不相关，反之不成立，4．相关系数；
有，
大数定律与中心极限定理
3．
中心极限定理
或
（4）；
（1）方差，标准差
（2）；
3．协方差
（3）
2．方差
4）独立时，
（2）（3）；
（4）时，
但正态时等价；
（5）
5．阶原点矩，阶中心矩第五章．Chebyshev不等式2．大数定律1）设随机变量独立同分布，
，或
或，
（2）设是次独立重复试验中
发生的次数，，则对任意，或理解为若，则第六
章样本及抽样分布1．总体、样本
（1）简单随机样本：
即独立同分
布于总体的分布（注意样本分布的求法）；
（2）样本数字特征：
样本均值（，）；
样本阶原点矩，何未知数3
（1）分布则；
布，其中布
（1）；
（2
且与独立；
（4）
第七章参数估计1．矩估计：
令总体的矩等于样本的矩；
（
（1）写出极大似然函数；
）样本标准
样本方差
2．统计量：
样本的函数且不包含任．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）标准正态分布，若且独立，
，其中且独立；
（3）分
4．正态总体的抽样分；
（3，（5）（6）
（1）根据参数个数求总体的矩；
（2）解方程求出矩估计2．极大似然估计：
样本阶中心矩
，其中分布
性质
3）
2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；
（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到
（1）直接求最大值，一般为min或max）3．估计量的评选原则，则为无偏；
（2）有效性：
两个无偏估计中方差小的有效；
（1）无偏性：
若《概率论与数理统计》期末试题
（2）与解答
（每小题3分，共15分）1．设事件仅发生一个的概率为生的概率为2．设随机变量服从泊松分布，且，则
一、填空题
0.3，且，
3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，_
5．设总体的概率密度为的样本，则未知参数的极大似然估计量为
密度为
解：
是来自
即
所以
2．
解得，故
为，密度为则
另解
，故
4．
由
．设的分布函数为的分布函数因为，所以，即故在上函数严格单调，反函数为所以
5．似然函数为解似然方程得的极大似然估计为
1．设为三个事件，且相互独（A）若，则与也独立.（B）若，则
与也独立.与也独立（D）若，则与也独立.
、单项选择题（每小题3分，共15分）立，则以下结论中不正确的是
（C）若，则
（B）（C）.（D）.
）2．设随机变量的分布函数为，则的值为（A）.
（）（A）与独立.
设离散型随机变量和的若独立，则的值为
3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是
B）（C）.（D）.（）4．
联合概率分布为
（A
（D）正确的是估计量.
（）
2.所以
有
9
估计，应选（
（A）..（）（C）
5.设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中
（A）X1是的无偏估计量.（B）X1是的极大似然
（C）X1是的相合（一致）估计量.（D）X1不是的估计量.
1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件（C）都是正确的，只能选（可见A与C不独立
B）.4
2
.，所以
独立，所以（A）,（B）,
事实上由图
.由不相关的等价条件知应选（
应选（A）.
故应选（A）5
三、（7分）已知一批产品中
A）.
D）
90%0.05
X1是的无偏，一个次
品被误认为是合格品的概率为0.02，求
（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）—个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：
设‘任取一产品，经检验认为是合格品’‘任取一产品确
是合格品’则
（1）
（2）.
四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3件是相互独立的，并且
概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期
望和方差.解：
的概率分布为
五、（10分）设二维随机变量在区域
率密度；
（2）的分布函数与概率密
（2）利用公式
时
的分布函数为
匀分布.求
（1）关于的边缘概
（1）的概率密度为其中
当或时
故的概率密度为
或利用
分布函数法
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标互独立，且均服从分布.求
（1）命中环形区域的概率；
（2）命中点到目标中心距离
1）
和纵坐标
度（单位：
差-
（1）
0.05）.
.七、（11分）设某机器生产的零件长
cm），今抽取容量为16样本，测得样本均值，样本方
求的置信度为0.95区间；
（2）检验假设（显著性水平为
（附注）
（1）的置信度为
下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，的拒绝域为，
《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答
10.2132）
（2）
因为，所以接受
一、填空题（每小题
3分，共15分）
（1）设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与
互不相容，，，则事件、、中仅发生或仅概率为
（2）甲盒中
有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为
变量的概率密度为现对数，则
若，
（注：
,,所以，故一颜色的'
，
）
同理
5）解：
3）设随机察，用表示观察值不大于0.5的次
4）设二维离散型随机变量的分布列为设是总体的样本，是样本方差，若，
（1）因为
匚=f
得
分）
4）的分布为
四个球都是白球'
所求概率为
与不相容，与不相容，
（2）设‘四个球是同‘四个球都是黑球'
这是因为
故
、单项选择题（每小题
A）
，亦即
（1）设、、为三个事件，且，则有
C）（D）
（2）设随机变量的概率密度为
A）（B）
（5）
3分，共15
（B）
且，则在下列各组数中应取设随机变量与相互独立，其概率分布分别为））
（C）
则有
则等于
（5）设
（3）（D）（A）
B）
（A）
4）对任意随机变量，
（D）
为正态总体的一个样本，为的置信区间为）（D）
（2）故当（4）应选D.件，三等品2件）的任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
设‘从箱中任取2件都是一等品'
则
（应选C.时
应选
表示样本均值，则的
（B）解
（1）由知，故
（B）若存在，（）置信度
C）
因为方差已知，所以的置信区间为
三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3
箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中
四、（10分）设随机变量的概率密度为
数；
（2）的分布函数；
（3）
（2）的分布函数为
求
（1）边缘概率密度；
五、
（2）；
2）
丢失等号'
求
（1）常
（1）•••
12分）设的概率密度为
（3）的概率密度
时六、（10分）
（1）设，且与独立，求；
求.
（2）因相互独立，所以
2）设且与独立，
七、（10分）设总体的概率密度为试用来自总
体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计解:
先求矩估计再求极大似然估计
《概率论与数理统、填空题（每小题3分，共15分）
（2）设服从泊松分布，若，则今对进行8独立观测，以表
4）的指数分布，由5个这
正常工作100小时以上的概率为
故的矩估计为所以的极大似然估计为计》期末试题（4）与解答
（1）设,,，则至少发生一个的概率为（3）设随机变量的概率密度函数为示观测值大于1的观测次数，则种元件串联而组成的系统，能够
（5）
16
设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量
，.在置信度0.95下，的置信区间为
（2）故.
（3），其（4）设第件元
（5）的置信度下的置信区间.系统的寿命为，二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答
）中，每小题3分，共15分）（A）（B）
D）.
是某一随机变（B）.
设随机变量的分布（A）
（且满足，
中.
件的寿命为，则求概率为
为
所以的置信区间为（）.
案是对的，请将其代号填入（
（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是
（C）..
（）
（2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使量的分布函数，在下列给定的各组数值
（C）.（D）.（
函数为，则的分布函数为（B）.
（4）设随机变量的概率分布为.系数为
夫不等式有
（A）.
（C）
D）.
中应取
C）.
相互独立，根据切比（5）设随机变量
（A）0.
解:
B.
（1）（A）:
成立，（B）:
（2）.
则的相关
（D）.
雪
（D）.应选（B）应选应选（D）
应选（A）
（4）的分布
，所以，
5）
于是
由切比雪夫不等式
应选（D）
参数为的泊松分布，而进入客购买商品是相互独立的，解：
四、
参
生
三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从
超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾
求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。
设‘一天中恰有个顾客购买种商品'
‘一天中有个顾客
进入超市'
（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求
（1）的分布列.
所以由直线及曲线与是否独立.
和.
由故的分布列为上服从均匀分布，2）求.
度为
区域D的面积所围成的区域1）因，所以不独立.
（1），其中
2），.五、（10分）设在
（1）求边缘密度和，并说明的概率密
六、（8
求的概
（3）.
分）二维随机变量在以为顶点的三角形区域上服从均匀分布，
率密度。
设的概率密度为，则
当或时当时所以的密度为
解2：
分布函数法，设的分布函数为，则故的密度为分）已知分子运动的速度具有概率密度随机样本
（1）求未知参数的矩估计和极大似然估计；
证所求得的矩估计是否为的无偏估计。
再求极大似然估计
得的极大似然估计
（2）对矩估计
是的无偏估计所以矩估计八、（5分）一工人负责台同
样机床的维修，这台机床自左到右排在一条直线上，相邻两台机床的距
离为（米）。
假设每台机床发生故障的概率均为，且相互独立，若
表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走的路程，求
设从左到右的顺序将机床编号为为已经修完的机器编号，表示
将要去修的机床号码，则于是《概率论与数理统计》试题（5）题共15分。
正确打“"
”，错误打“X”）件,必有P（A-B）=P（A）-P（B）机事件，则AUB=AJABUBb（k;
n,p）,则EX=p
值=
当时
七、（9为的简单
（2）验
（1）先求矩估计
⑸X〜N（,）,Y
判断题（每小题3分，本
设AB是Q中的随机事
⑵设A、B是Q中的随
⑶若X服从二项分布⑷样本均是母体均值EX的一致估计
N（,），则X－Y〜N（0,）
、计算（10分）
（1）教室里有个学生，求他
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在三、（10分）设，证明、互不相容与、立
（）二们的生日都不相同的概率;
同一个月的概率
四、（15分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩绩（即参数之值）
为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至
84分之间的概率。
分布表如下
2.5
0.9940.999问是否独立？
布列为分）设总体服从指数分布本，题
解
x011.52
①（X）0.50.8410.9330.977
五、（15分）设的概率密度为
六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分，求与
求参数的极大似然估计
5）评分标准一
（1）设‘他们的生日都不相同'
，则
5
（2）设‘至少有两个人的生日在同一个月'
;
分
八
⑴X;
（2）㈡⑶
七、（15试利用样《概率论与数理统计》试X;
⑷V;
⑸X。
10
容，则，于是所以、不相互独立.
5分即、不是互不相容的.---5分3分
7
四解
三证
若、互不相
若、相互独立，
则，于是，
15
分所求概率为
1）-1=2X0.841-1=0.682
五解
边际密度为
---5分
--8分
10
15
其中
分因为
分，所以
由函数的幂级数展开有因为分
独立.
六
解1
所
12
20七解8
由极大似然估计的定义，的极大似然估计为
15分《概率论与数理统计》试题
16分
一、判断题（本题共15分，每小题3分。
正确打“V”，错误打“X”）⑴设AB是Q
⑵对任意事件A与B,则有P（AUB）=P（A）+P（B）
（）⑶若X服从二项分布b（k;
n,p）,则EX=npq
中的随机事件，则A-BA
（⑷X〜N（,2）,X1,X2,,,Xn是X的样本，贝U〜
N（,2）（）（5）X为随机变量，则DX=Cov（X,X）------
（）二、（10分）一袋中装有枚正品硬币，枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？
.三、（15分）在平面上画出等距离的针，求针与任一平行线相交的概率
四、（15分）从学校到火车站的途中有3相互独立的，五、（15分）设二维随机变量的相关系数；
六、（10分）若随机变量序，设为途中遇到红灯的次满足条件试证明服从大数定律
并且概率都是分布函数和数学期望
（,）在圆域x2+y2wa2上服从均匀分布，
（1）求和
（2）问是否独立？
列
七、
求随机变量的分布律、
10分）设
是来自总体的一个样本，是个估计量，若且试证是的相合（一致）估计量。
分）某种零件的尺寸标准差为（T=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺
寸数据（毫米）：
=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（）.正态分布表如下x01.561.96
2.33①（X）0.50.9410.9750.990.999
《概率论与数理统计》试题（6）评分标准一⑴V;
⑵X；
⑶
X；
⑷X；
⑸Vo二解设‘任取一枚硬币掷次得个国徽’，
‘任取一枚硬币是正品'
，则所求概率
八、（10
Vo
.10
行线相交'
，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，为针与平行线的夹角，
的一个区域.
发生，分
到最近的一条平行线的距离。
贝，不等式确定了平面上
6
不等式确定的子域
有所不同
，分布律为
分的分布函数为
10分
五．
解的密度为
三解设‘针与某平设为针的中点
2）关于的边缘密度为
数.
关于的边缘密度的
的相关系
因为，所以不独
立.15
晓夫不等式，对任意的有
5分
分六证：
由契贝所以对任意的故服从大数定律。
七证由契贝晓夫不等式，对任意的有5
即依概率收敛于，故是的相合估计。
件下检验假设：
应认为是
题1
（A+B）=_
----10
=26
分1u1=1.08
26毫米。
15分
、设AB为随机事件，且（A）=0.5,_2，则此射手的命中率
分八解问题是在已知的条
查正态分布表，1=1.96——
V应当接受，即这批零件的平均尺寸
数理统计练习
（B）=0.6，（B
3
量服从［0，2］上均匀分布，则。
服从参数为的泊松（）分布，且已知=1,则
率为，进行100次独立重复试验，当时
（,）服从二维正态分布，则的边缘分布为。
（）=
（,期望，方差，、为常数，则有
2,4），〜（3,9），且与相互独立。
设=估计量，若，贝y称比有效。
（）=_-
一、填空A）=0.8，贝y、设随机变、设随机变量一次试验的成功
O6、
、已知随机向量
8、随机变量的数学
两个
（）=0.4,（）=03（U）=0.6,
{1}=，贝叫1}=O分布，且=3-2则（）=分布，=2+1，则（）=是：
，且
布的结论，有计练习一、填空题1
（BA）=0.8，则（A+B）=
■O
2—+5,
10、
9、若随机变量〜（—则〜。
的
1、设、为随机事件，且O2、设（2,）,（3,），且
、设随机变量服从参数为2的泊松4、设随机变量服从［0,2］上的均匀O5、设随机变量的概率密度
，则=O6、利用正态分
O数理统
、设AB为随机事件，且（A）=0.5,（B）=0.6,0.7O2，则此射手的命中率。
4、设随5、一次试大值为
3、设随机变量服从［0,2］上均匀分布，贝y1/3O
机变量服从参数为的泊松（）分布，且已知=1,则—1O
验的成功率为，进行100次独立重复试验，当1/2时
25O6、（，）服从二维正态分布，则的边缘分布为
7、已知随机向量（，（）=O
机变量的数学期望，方差，、为常数，则==O9
量〜（一2,4）,
25）O
O
8、随、若随机变
（3,9），且与相互独立。
设=2—+5,则〜N（-2,的两个无偏估计量，若，则称比有效。
10、1、设、
U）=0.6，贝y（）=_0.3_O2、设（2,）,3、设随机变量服从参数为
O4、设随机变量服从［0,2］上的均匀分O5、设随机变量的概率密度
为随机事件，且（）=0.4,（）=0.3,（
（3,），且{1}=，贝叫1}=O
2的泊松分布，且=3-2则（）=4
布，=2+1，则（）=4/3
是：
，且，则=0.6。
6、利用正态分布的结
论，有1。
7、若随机
变量〜（1,4），〜（2,9），且与相互独立。
设=—+3,则〜。
1、
设A,B为随机事件，且（A）=0.7,（A—B）=0.3，贝U。
2、
四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，则密码能被译
3、射手独立射击8次，每次中靶的概率是0.6,
。
4、已知随机变量服从［0,2］
5、设随机变量X服从参数为，已知
、随机变量8、已知总
出的概率是。
那么恰好中靶3次的概率是上的均匀分布，则（）=的泊松分布，
①（0.5）=0.6915,的概率密度函数
体〜（0,1）
且，则=
①（1.5）=0.9332
（）=0.4
6、设随机变量〜（1,4）
，则。
，则（）=。
来自总体i
B为随机事件，且（A）=0.6,（AB）=（）,
、设随机变量服从以，为参数的二项分布，且则=。
4、设随机变
，则=。
5、设随机变量
，则Y=。
6、设随机变
（,）
疋来
，设1,2，,，
，1、设A，
2、设随机变量与
3
=15，=10，
量
的数学期望和方差
量服从区间［0,5］上的均匀分布，服从的指数分布，且，相互独立，则
的联合密度函数。
7、随机变量与相
升级会员 