届人教A版理科数学第10章第4讲 直线与圆锥曲线的综合应用单元测试.docx

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届人教A版理科数学第10章第4讲直线与圆锥曲线的综合应用单元测试

第四讲　直线与圆锥曲线的综合应用

题组1　圆锥曲线中弦的相关问题

1.[2015浙江,5,5分][理]如图10-4-1,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）

图10-4-1

A.　　　　B.C.　　　　D.

2.[2015四川,10,5分][理]设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆（x-5）2+y2=r2（r>0）相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是（　　）

A.（1,3）B.（1,4）C.（2,3）D.（2,4）

3.[2014新课标全国Ⅱ,10,5分][理]设F为抛物线C:

y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为（　　）

A.B.C.D.

4.[2013江西,14,5分][理]抛物线x2=2py（p>0）的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　. 

5.[2015山东,20,13分][理]平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）设椭圆E:

+=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.

（i）求的值;

（ii）求△ABQ面积的最大值.

题组2　直线与圆锥曲线的综合应用

6.[2014辽宁,10,5分][理]已知点A（-2,3）在抛物线C:

y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为（　　）

A.B.C.D.

7.[2014湖南,14,5分]平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1,0）的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P（-1,0）且斜率为k的直线,则k的取值范围是　　　. 

8.[2016四川,20,13分][理]已知椭圆E:

+=1（a>b>0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:

y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标;

（Ⅱ）设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:

存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

9.[2015全国卷Ⅰ,20,12分][理]在直角坐标系xOy中,曲线C:

y=与直线l:

y=kx+a（a>0）交于M,N两点.

（Ⅰ）当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;

（Ⅱ）y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?

说明理由.

A组基础题

1.[2018中原名校高三第三次质量考评,11]已知双曲线-=1右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A（0,）,则△APF周长的最小值为（　　）

A.4（1+）B.4+

C.2（+）D.+3

2.[2018唐山市高三五校联考,10]直线l与双曲线C:

-=1（a>0,b>0）交于A,B两点,M是线段AB的中点,若l与OM（O是原点）的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为（　　）

A.2B.C.3D.

3.[2017郑州市第三次质量预测,10]椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是（　　）

A.B.C.D.

4.[2017福建省高三质检,8]过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且A,C位于x轴同侧,若|AC|=2|AF|,则|BF|等于（　　）

A.2B.3C.4D.5

5.[2018洛阳市尖子生第一次联考,20]如图10-4-2,点F是抛物线Γ:

x2=2py（p>0）的焦点,点A是抛物线上的定点,且=（2,0）,点B,C是抛物线上的动点,直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.

（1）求抛物线Γ的方程;

（2）若k2-k1=2,点D是抛物线在点B,C处切线的交点,记△BCD的面积为S,证明S为定值.

图10-4-2

6.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,20]已知右焦点为F2（c,0）的椭圆C:

+=1（a>b>0）过点（1,）,且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点（,0）作直线l与椭圆C交于E,F两点,线段EF的中点为M,点A是椭圆C的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围.

B组提升题

7.[2018辽宁五校联考,12]一条动直线l与抛物线C:

x2=4y相交于A,B两点,O为坐标原点,若=2,则（-）2-4的最大值为（　　）

A.24B.16C.8D.-16

8.[2017广州市高三毕业班综合测试,8]已知F1,F2分别是椭圆C:

+=1（a>b>0）的左、右焦点,若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

A.（,1）B.（,1）C.（0,）D.（0,）

9.[2017合肥市三检,12]已知椭圆M:

+y2=1,圆C:

x2+y2=6-a2在第一象限有公共点P,设圆C在点P处的切线斜率为k1,椭圆M在点P处的切线斜率为k2,则的取值范围为（　　）

A.（1,6）B.（1,5）C.（3,6）D.（3,5）

10.[2018湘东五校联考,20]已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点.

（1）求椭圆C的方程;

（2）如图10-4-3,已知P（2,3）,Q（2,-3）是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.

①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;

②当A,B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?

请说明理由.

图10-4-3

11.[2017天星第二次联考,20]已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的离心率为,过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,当直线l的斜率为1时,坐标原点O到直线l的距离为.

（1）求椭圆C的方程;

（2）椭圆C上是否存在点P,使得当直线l绕F转到某一位置时,有=+成立?

若存在,求出所有满足条件的点P的坐标与直线l的方程;若不存在,请说明理由.

答案

1.A　由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图D10-4-2所示,过A作AA2⊥y轴于点A2,过B作BB2⊥y轴于点B2,则===.故选A.

图D10-4-2

2.D　当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰有2条,即x=5±r,此时02,又<4x0,即r2-4<12,所以02,所以2

3.D　易知抛物线中p=,焦点F（,0）,直线AB的斜率k=,故直线AB的方程为y=（x-）,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-x+=0.设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=+=12,结合图形（图略）可得O到直线AB的距离d=sin30°=,所以△OAB的面积S=|AB|·d=.故选D.

4.6　由x2=2py（p>0）得焦点F（0,）,准线l为y=-,所以可求得抛物线的准线与双曲线-=1的交点A（-,-）,B（,-）,所以|AB|=,若△ABF为等边三角形,则|AF|=|AB|=,=sin,即=,解得p=6.

5.（Ⅰ）由题意知2a=4,则a=2.

又=,a2-c2=b2,可得b=1,

所以椭圆C的方程为+y2=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1.

（i）设P（x0,y0）,=λ,由题意知Q（-λx0,-λy0）.

因为+=1,又+=1,即（+）=1,

所以λ=2,即=2.

（ii）设A（x1,y1）,B（x2,y2）.

将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0.

由Δ>0,可得m2<4+16k2　①,

则有x1+x2=-,x1x2=,

所以|x1-x2|=.

因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为（0,m）,

所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|

=

=

=2.

设=t,

将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0,

由Δ≥0,可得m2≤1+4k2　②.

由①②可知0

当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2.

由（i）知,△ABQ面积为3S,所以△ABQ面积的最大值为6.

6.D　因为A（-2,3）在抛物线y2=2px的准线上,所以-=-2,所以p=4,所以y2=8x,设直线AB的方程为x=k（y-3）-2　①,将①与y2=8x联立,得消去x,得y2-8ky+24k+16=0　②,则Δ=（-8k）2-4（24k+16）=0,即2k2-3k-2=0,解得k=2或k=-（舍去）,将k=2代入①②解得即B（8,8）,又F（2,0）,所以kBF==,故选D.

7.（-∞,-1）∪（1,+∞）　由题意可知机器人的轨迹为一抛物线,其轨迹方程为y2=4x,过点P（-1,0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1）,由题意知直线与抛物线无交点,联立直线与抛物线的方程,消去y得k2x2+（2k2-4）x+k2=0,则Δ=-4k4<0,所以k2>1,解得k>1或k<-1.

8.（Ⅰ）由已知,a=b,则椭圆E的方程为+=1.

由方程组得3x2-12x+（18-2b2）=0　①.

方程①的根的判别式为Δ=24（b2-3）,由Δ=0,得b2=3,

此时方程①的解为x=2,

所以椭圆E的方程为+=1,点T的坐标为（2,1）.

（Ⅱ）由已知可设直线l'的方程为y=x+m（m≠0）,

由方程组可得

所以点P的坐标为（2-,1+）,|PT|2=m2.

设点A,B的坐标分别为A（x1,y1）,B（x2,y2）.

由方程组可得3x2+4mx+（4m2-12）=0　②.

方程②的根的判别式为Δ=16（9-2m2）,由Δ>0,解得-

由②得x1+x2=-,x1x2=,

所以|PA|==|2--x1|,

同理|PB|=|2--x2|,

所以|PA|·|PB|=|（2--x1）（2--x2）|

=|（2-）2-（2-）（x1+x2）+x1x2|

=|（2-）2-（2-）（-）+|

=m2.

故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

9.（Ⅰ）由题设可得M（2,a）,N（-2,a）或M（-2,a）,N（2,a）.

又y=,得y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点（2,a）处的切线方程为y-a=（x-2）,即x-y-a=0.

y=在x=-2处的导数值为-,C在点（-2,a）处的切线方程为y-a=-（x+2）,即x+y+a=0.

故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.

（Ⅱ）存在符合题意的点,证明如下:

设P（0,b）为符合题意的点,M（x1,y1）,N（x2,y2）,直线PM,PN