高等代数例题全部.docx

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高等代数例题全部

高等代数例题

第一章多项式

1．2

（1）、、适合什么条件时，有

2．7设，的最大公因式是一个二次多项式，求、的值。

3．14证明：

如果，那么

4．18求多项式有重根的条件。

5．24证明：

如果，那么

6．25证明：

如果，那么，

7．26求多项式在复数域内和实数域内的因式分解。

8．28（4）多项式（为奇素数）在有理数域上是否可约？

9．1设，，且。

求证：

。

10．5多项式称为多项式，的一个最小公倍式，如果

（1），；

（2），的任意一个公倍式都是的倍式。

我们以表示首项系数为1的那个最小公倍式。

证明：

如果，的首项系数都为1，那么。

11．设、为整数，除所得余式为。

12．求证：

如果|，|，且是与的一个组合，那么是与的一个最大公因式。

13．

求。

14．设（m,n是正整数）,。

证：

|。

第二章行列式

1．5如果排列的逆序数为，排列的逆序数是多少？

2．8（3）

3．10按行列式的定义计算

4．12设，其中是互不相同的数。

（1）由行列式的定义，说明是一个次多项式；

（2）由行列式性质，求的根。

5．14

6．17（5）

7．18（3）证明，其中

8．18（5），其中。

9．设、、为三维列向量，三阶矩阵的行列式5，则行列式。

10．若四阶行列式D的第二列的元素依次是，2，0，1，它们的余子式分别为5，3，,4，

则。

11．若，则0的根的个数为【】

（A）（B）（C）（D）

12．计算行列式Dn=

13．求Dn+1=的值。

14．计算阶行列式

第三章线性方程组

1．7（3）解线性方程组

2．6设线性无关，证明，，也线性无关。

3．8设的秩为，是中的个向量，使得中的每个向量都可以被它们线性表示，证明是的一个极大线性无关组。

4．12证明：

如果向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，那么（Ⅰ）的秩不超过（Ⅱ）的秩。

5．19

（1）取什么值时下列线性方程组有解，并求解：

6．22取什么值时，线性方程组

有解？

在有解的情形，求一般解。

7．1设向量可以经向量组线性表示，证明：

表示法唯一的充分必要条件是线性无关。

8．4已知两向量组有相同的秩，且其中之一可被另一个线性表示，证明：

这两个向量组等价。

9．7线性方程组

的系数矩阵为

设是矩阵中划去第列剩下的矩阵的行列式。

（1）证明：

是方程组的一个解；

（2）如果的秩为，那么方程组的解全是的倍数。

10．求,,,的一个极大线性无关组，并将其它向量用极大线性无关组线性表示：

，,,

11．设四，，，。

讨论、为何值时

（1）不能由,,线性表示；

（2）可由,,唯一地线性表示，并求出表示式；

（3）可由,,线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

12．维向量是非齐次线性方程组AX=B的两个解，则导出组AX=0的一个非零解为。

13．设,,…，是齐次线性方程组的基础解系，向量不是的解，

即。

证明：

，，，…，线性无关。

14．若是非齐次线性方程组（）的个解，则是的解的充要条件是．

15．设整系数方程组，，对任何，，…，均有整数解。

求证：

方程组的系数矩阵可逆，且．

第四章矩阵

1．设为阶矩阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得，

则满足的可逆矩阵为【】

（A）（B）（C）（D）

2．设（）阶非奇异矩阵的伴随矩阵是，则【】

（A）（B）（C）（D）

3．设阶矩阵与等价（即经初等变换可变为），则必须【】

（A）当时，（B）当时，

（C）当时，（D）当时，

4．设为三阶方阵,||；为二阶方阵,||（都不等于零）,则等于【】

（A）（B）（C）（D）

5．设、分别为和矩阵，则【】

（A）当时，必有（B）当时，必有

（C）当时，必有（D）当时，必有

6．设为对称矩阵，B为反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是【】

（A）（B）（C）（D）

7．设、为满足的任意两个非零矩阵，则必有【】

（A）的列向量线性相关，的行向量线性相关（B）的列向量线性相关，的列向量线性相关

（C）的行向量线性相关，的行向量线性相关（D）的行向量线性相关，的列向量线性相关

8．设为3维列向量，若，则。

9．，为三阶可逆矩阵，，则。

10．设，=，求

11．设为4×3矩阵，，若2，则。

12．已知方阵满足，则。

13．设为阶单位矩阵，求2阶矩阵的逆矩阵。

14．设、分别是和矩阵，若，求证。

15．设（）阶矩阵的伴随矩阵是，求证：

。

16．设（）阶矩阵的伴随矩阵是，求证：

。

17．设、分别是和矩阵，求证。

18．设、分别是和矩阵，，是非零数，求证：

。

第五章二次型

1．求三元二次型的矩阵。

2．两个矩阵的秩相等是它们合同的条件。

3．用配方法求二次型的标准形。

4.用初等变换法求下列二次型的标准形，并求非退化的线性变换：

（1）

（2）

5.设为级实对称矩阵，正定的充分必要条件是【】

（A）存在实维列向量，使

（B）对任意的所有分量都不为零的实维列向量，都有

（C）的主对角线上的元素，

（D）存在级正定矩阵，使

6．矩阵是正定的，下列结论错误的是【】

（A）的主对角元全为正数（B）的元素全为正数

（C）的特征值全为正数（D）的顺序主子式全为正数

1.在实数域上，下列矩阵中，与合同的是【】

（A）（B）（C）（D）

7．设，。

、这两个矩阵中，不正定的是。

8．全体元复二次型按等价分类，共分为多少类，全体元实二次型按等价分类，共分为多少类？

9．设、是两个级正定矩阵，求证也正定的充要条件是。

10．设、分别为级和级正定矩阵。

证明：

级分块对角矩阵＝正定。

11．判断实二次型是否正定。

下述方法：

“对实二次型

配方后变形为：

由此得到的规范形：

，从而判定正定”是否正确（说明理由）？

若不正确，给出正确解答。

11．设为偶数，为的伴随矩阵。

证明：

若为阶正定矩阵，则是正定矩阵。

12．设为正定二次型，证明：

为负定二次型。

第六章线性空间

1．判断下列命题正确与否：

（1）设是数域，集合按照向量的加法和数乘法构成上的线性空间。

【】

（2）设是数域，集合按照向量的加法和数乘法构成上的线性空间。

【】

（3）设分别是实数域和复数域,，关于矩阵的加法、数乘法构成上的线性空间，维。

【】

（4）、是有限维线性空间的子空间，若，则

2．的子空间的维数是。

3．向量关于基=，=，=，=的坐标是。

4．设基，，到基，，的过渡矩阵，若在基，，下的坐标为，求在基，，下的坐标。

5．设是维线性空间的一个基,，。

向量组是否是的一个基？

（说明理由）若是，求基到基

的过渡矩阵。

6．设是数域,线性空间=的子空间

，求维。

7．求中全体对称矩阵作成的数域上的线性空间的维数。

8．是实数域上由矩阵的全体实系数多项式组成的线性空间，，，求维。

9．设T是线性空间V中由基到基的过渡矩阵，则T的第j列是【】

（A）关于基的坐标（B）关于基的坐标

（C）关于基的坐标（D）关于基的坐标

10．若、是维线性空间的两个子空间，则下列结论正确的是【】

（A）∩不一定是的子空间

（B）∪一定不是的子空

（C）当时，

（D）当时，

11．设向量组，，；，。

，，求

（1）的维数及一组基；

（2）的维数及一组基。

12．设是数域，，求证：

集合构成的子空间。

13．，证明：

第七章线性变换

1．在的如下对应法则中，为线性变换的是【】

（A）（B）

（C）（D）

2.设是线性空间的线性变换，下列结论错误的是【】

（A）将中线性相关的向量变为线性相关的向量（B）将中线性无关的向量变为线性无关的向量

（C）为满射的充要条件是＝（D）为单射的充要条件是＝

3．设是数域上的四阶反对称矩阵的全体构成的线性空间，，关于的一个

基的矩阵的阶数是【】

（A）4（B）6（C）10（D）16

4．设是维线性空间的一个线性变换,关于的两个基的矩阵分别为和，则与【】

（A）相等（B）合同（C）相似（D）无关系

5．有限维线性空间的线性变换在的任意一个基下的矩阵都相同的充要条件是【】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）是可逆变换（B）是零变换（C）是单位变换（D）是数乘变换

6．设是数域上的维线性空间上的线性变换，因为，所以

【】

7．设、是数域上的三维线性空间的两个线性变换，。

若（1，－1，3），

（－1，－2，0），则。

8．若线性空间（是实数域）的线性变换：

，求在基，，下的矩阵。

9．线性空间的线性变换：

，=，求的秩及零度。

10.数域上的线性空间的线性变换为：

（1）求在基，，，下的矩阵；

（2）分别求的值域和核的一个基。

11．在数域上次数小于的一元多项式空间中，线性变换，求的特征多项式，的特征值，的核。

12．设为三阶矩阵，为三阶单位矩阵。

若，，，则。

13．设三阶矩阵满足，，，则。

14．若三阶矩阵与相似，矩阵的特征值为、、，则行列式。

15．矩阵=，，。

求证：

在实数域上可以对角化。

16．设是阶方阵，求证：

（1）的特征根全是零的充分必要条件是存在自然数，使；

（2）若，则。

17．设为阶方阵，且的特征值为,证明：

18．设是线性空间上的线性变换，是的非零向量。

若向量组，，，…，线性无关，而与它们线性相关。

证明：

子空间是的不变子空间，并求在基，，，…，下的矩阵。

第八章—矩阵

1.　三阶矩阵的最小多项式，的标准形为【】

（A）（B）（C）（D）

2．若5级矩阵的标准形＝，求的最小多项式（其中是主对角元素为的级块）。

3．求的标准形。

4．若三角形矩阵与幂零矩阵相似，求的对角线上的元素。

第九章欧氏空间

1．判断下列命题正确与否：

（1）在维欧氏空间中，度量矩阵为单位矩阵的基必是标准正交基。

【】

（2）对称变换在任意一个基下的矩阵都是对称矩阵【】

（3）欧氏空间中保持两个向量夹角不变的线性变换是正交变换【】

2．，为实空间中的任意两个向量，、是两个实数，若对内积作成欧氏空间，求、的范围。

3．在实空间中定义内积为：

。

求与的夹角。

4.设是实数域，在实空间中定义内积为：

迹,求的夹角。

5．若是正交矩阵，求。

6．求齐次线性方程组的解空间的正交补的一个标准正交基。

7．设既是3维欧几里得空间的第一类正交变换，又是对称变换，

则下列矩阵中，能成为在的一个标准正交基下的矩阵的是【】

（A）（B）（C）（D）

8．设是维欧氏空间的线性变换，下列结论正确的是【】

（A）若是正交变换则在的任意一个基下的矩阵都是正交矩阵

（B）若是对称变换，则在的任意一个基下的矩阵都是对称矩阵

（C）若是正交变换，则可以对角化

（D）若是对称变换，则可以对角化

9．三