七年级上册数学《一元一次方程》-知识点整理.doc

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一元一次方程知识要点解析

一、一元一次方程构成要素：

1、是等式；

2、含有未知数，且只能是一个；

3、未知数的次数有且为“1”（一次整式），且次数不为“0”；

二、一元一次方程的基本形式：

ax=b

三、一元方程的解：

使方程中等号左右两边相等的未知数的值

四、解方程的理论依据：

等式的基本性质：

性质

（1）：

等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等．

用式子形式表示为：

如果a＝b，那么a±c=b±c；

性质

（2）：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．

用式子形式表示为：

如果a=b那么a×c＝b×c，a÷c＝b÷c（c≠0）；

五、解一元一次方程的基本步骤：

变形步骤

具体方法

变形根据

注意事项

去分母

方程两边都乘以各个分母的最小公倍数

等式性质2

1．不能漏乘不含分母的项；

2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

乘法分配律、去括号法则

1．分配律应满足分配到每一项

2．注意符号，特别是去掉括号

移项

把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边

等式性质1

1．移项要变号；

2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边

合并同

类项

把方程中的同类项分别合并，化成“”的形式（）

合并同类项法则

合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变

未知数的系数化成“1”

方程两边同除以未知数的系数，得

等式性质2

分子、分母不能颠倒

注意：

我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班（严格按步骤）地解方程，又要善于认真观察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，随机应变（灵活打乱步骤）解方程，能达到事半功倍的效果。

对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。

解一元一次方程常用的技巧有：

1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行

2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母

3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数

4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形

六、实际问题与一元一次方程

1、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：

1）审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系.（审题，寻找等量关系）

2）根据数量关系与解题需要设出未知数，建立方程；

3）解方程；

4）检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．并作答

2、用一元一次方程解决实际问题的典型类型

1）数字问题：

①：

数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c则这个三位数表示为：

，

（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）

②：

用一个字母表示连续的自然数、奇数、偶数等规律数

2）和、差、倍、分问题：

关键词是“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率，哪个量比哪个量……”

3）工程问题：

工作总量＝工作效率×工作时间，注意产品配套问题；

4）行程问题：

路程＝速度×时间

5）利润问题：

商品利润=商品售价－商品成本价=商品利润率×商品成本价

商品售价=商品成本价×（1+利润率）

6）利息问题：

①顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的单位时间数叫做期数，利息与本金的比叫做利率．利息的20%付利息税．②利息＝本金×利率×期数，本息和＝本金＋利息，利息税＝利息×税率（20%）．

7）几何问题：

必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式，注意等积变形；

8）优化方案问题

9）浓度问题：

溶液×浓度=溶质

10）盈亏问题：

关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量

11）年龄问题：

抓住人与人的岁数是同时增长的

12）增长率问题：

原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减少率）=减少后的量

七、、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）

1）建模思想：

通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立方程的思想

2）方程思想：

用方程解决实际问题的思想就是方程思想.

3）化归思想：

解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式.体现了化“未知”为“已知”的化归思想.

4）数形结合思想：

在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.

5）分类思想：

在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.

一元一次方程

一、本节学习指导

本节我们要掌握一元一次方程的解法，需要多做一些练习题，本节有配套学习视频。

二、知识要点

1、一元一次方程

（1）、含有未知数的等式是方程。

（2）、只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

（3）、分析实际问题中的数量关系，利用其中的等量关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

（4）、列方程解决实际问题的步骤：

①设未知数；②找等量关系列方程。

（5）、求出使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

（6）、求方程的解的过程，叫做解方程。

2、等式的性质

（1）、用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式。

（2）、等式的性质1：

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果a=b，那么a±c=b±c.

（3）、等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。

如果a=b，那么ac=bc;

如果a=b且c≠0，那么.

（4）、运用等式的性质时要注意三点：

①等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算；

②等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子；

③等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母。

2、解一元一次方程——合并同类项与移项

（1）、合并同类项的依据：

乘法分配律。

合并同类项的作用：

是一种恒等变形，起到“化简”的作用，它使方程变得简单，更接近x=a（a是常数）的形式。

（2）、把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

（3）.移项依据：

等式的性质1.移项的作用：

通过移项，使含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a（a是常数）的形式。

3、解一元一次方程——去括号与去分母

（1）、方程两边都乘以各分母的最小公倍数，使方程不在含有分母，这样的变形叫做去分母。

（2）、顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。

（3）、工作总量=工作效率×工作时间。

（4）、工作量=人均效率×人数×时间。

4、实际问题与一元一次方程

（1）、售价指商品卖出去时的的实际售价。

（2）、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。

进价指商品的买入价，也称成本价。

（3）、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。

它与售价不同，它指的是原价。

（4）、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几，则称将标价打了几折。

（5）、盈亏问题：

利润=售价－成本；售价=进价+利润；售价=进价+进价×利润率；

（6）、产油量=油菜籽亩产量×含油率×种植面积。

（7）、应用：

行程问题：

路程=时间×速度；  工程问题：

工作总量=工作效率×时间；

 储蓄利润问题：

利息=本金×利率×时间；本息和=本金+利息。

三、经验之谈：

解一元一次方程过程中，在去括号、去分母时要格外细心。

去分母时等式两边都要乘以公倍数。

第一节一次函数基本概念

1、方程：

含的等式叫做方程.

2、方程的解：

使方程的等号左右两边相等的，就是方程的解。

3、解方程：

求的过程叫做解方程。

4、一元一次方程

只含有一个未知数（元），未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

5、▲等式的基本性质

·等式的性质1：

等式的两边同时加（或减）（），结果仍相等。

即：

如果a=b，那么a±c=b。

·等式的性质2：

等式的两边同时乘，或除以数，结果仍相等。

即：

如果a=b，那么ac=bc；或如果a=b（），那么a/c=b/c

6、△分数的基本的性质

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：

==（其中m≠0）

求解：

－=1.6

1、若（a－1）x|a|＋3＝－6是关于x的一元一次方程，则a＝＿＿；x＝＿＿＿。

2、当x=＿＿＿时，单项式5a2x+1b2与8ax+3b2是同类项。

3、若，则x+y=___________

1.若。

2.若是同类项，则m=，n=。

3.若的和为0，则m-n+3p=。

4.代数式x+6与3（x+2）的值互为相反数，则x的值为。

5.若与互为倒数，则x=。

6.方程，去分母可变形为＿＿＿＿＿＿。

7.代数式5m＋与5（m－）的值互为相反数，则m的值等于＿＿＿＿＿＿。

8.如果x=5是方程ax+5=10－4a的解，那么a=＿＿＿＿＿＿

9.方程的解是_______．

10当x=时，代数式与代数式的值相等．

11.代数式与互为相反数，则　　　　　．

第二节一元一次函数的解法

【解一元一次方程的一般步骤

步骤

名称

方法

依据

注意事项

1

去分母

在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）

等式性质2

1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来。

2

去括号

去括号法则（可先分配再去括号）

乘法分配律

注意正确的去掉括号前带负数的括号

3

移项

把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）

等式性质1

移项一定要改变符号

4

合并同类项

分别将未知项的系数相加、常数项相加

1、整式的加减；

2、有理数的加法法则

单独的一个未知数的系数为“±1”

5

系数化为“1

在方程两边同时除以未知数的系数（方程两边同时乘以未知数系数的倒数）

等式性质2

不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）

*6

检根

x=a

方法：

把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果。

①　若左边＝右边，则x=a是方程的解；

②　若左边≠右边，则x=a不是方程的解。

注：

当题目要求时，此步骤必须表达出来。

1、2、8（3x－1）－9（5x－11）－2（2x－7）=30

3、4、5、

说明：

1上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；

2解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；

3对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。

第三节一元一次方程与应用问题及实际问题

初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系

1、行程问题

·基本量及关系：

路程=速度×时间