届高三数学一轮复习 第3章 第3节 三角函数的图象与性质.docx

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届高三数学一轮复习第3章第3节三角函数的图象与性质

第三节　三角函数的图象与性质

[考纲传真]　1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性．

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：

（0,0），，（π，0），，（2π，0）．

余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：

（0,1），，（π，－1），，（2π，1）．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）常数函数f（x）＝a是周期函数，它没有最小正周期．（　　）

（2）函数y＝sinx的图象关于点（kπ，0）（k∈Z）中心对称．（　　）

（3）正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．（　　）

（4）y＝sin|x|是偶函数．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）√　（3）×　（4）√

2．（2017·云南二次统一检测）函数f（x）＝cos的图象关于（　　）

A．原点对称　　　　　B.y轴对称

C．直线x＝对称D.直线x＝－对称

A　[函数f（x）＝cos＝－sin2x是奇函数，则图象关于原点对称，故选A.]

3．函数y＝tan2x的定义域是（　　）

A.B.

C.D.

D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，

∴y＝tan2x的定义域为.]

4．（2017·长沙模拟

（一））函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是

（　　）

A.B.和

C.D.

C　[令z＝x＋，函数y＝sinz的单调递增区间为（k∈Z），由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－≤x≤4kπ＋，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是，故选C.]

5．（教材改编）函数f（x）＝4－2cosx的最小值是________，取得最小值时，x的取值集合为________．

2　{x|x＝6kπ，k∈Z}　[f（x）min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ（k∈Z），x＝6kπ（k∈Z），所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．]

三角函数的定义域与值域

（1）（2016·全国卷Ⅱ）函数f（x）＝cos2x＋6cos的最大值为（　　）

A．4　　B.5　

C.6　　D.7

（2）函数y＝lg（sin2x）＋的定义域为________．

（1）B　

（2）∪　[

（1）∵f（x）＝cos2x＋6cos＝cos2x＋6sinx

＝1－2sin2x＋6sinx＝－22＋，

又sinx∈[－1,1]，∴当sinx＝1时，f（x）取得最大值5.故选B.

（2）由得

∴－3≤x＜－或0＜x＜，

∴函数y＝lg（sin2x）＋的定义域为∪.]

[规律方法]　1.三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．求三角函数最值或值域的常用方法

（1）直接法：

直接利用sinx和cosx的值域求解．

（2）化一法：

把所给三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．

（3）换元法：

把sinx，cosx，sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数求解．

[变式训练1]　

（1）已知函数y＝2cosx的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是（　　）

A．2　　B.3　

C.＋2　　D.2－

（2）求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值.

【导学号：

01772113】

（1）B　[∵x∈，∴cosx∈，故y＝2cosx的值域为[－2,1]，

∴b－a＝3.]

（2）令t＝sinx，∵|x|≤，∴t∈，3分

∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，

∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝，7分

∴函数y＝cos2x＋sinx的最大值为，最小值为.12分

三角函数的单调性

（1）（2017·洛阳模拟）已知ω＞0，函数f（x）＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.（0,2]

（2）函数f（x）＝sin的单调减区间为________．

（1）A　

（2）（k∈Z）　[

（1）由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知⊆，

所以解得≤ω≤.

（2）由已知函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间即可．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故所求函数的单调减区间为（k∈Z）．]

[规律方法]　1.求三角函数单调区间的两种方法

（1）求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．

（2）求形如y＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错．

2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

[变式训练2]　

（1）函数f（x）＝tan的单调递增区间是________．

（2）若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.

【导学号：

01772114】

（1）（k∈Z）　

（2）　[

（1）由－＋kπ＜2x－＜＋kπ（k∈Z），

得－＜x＜＋（k∈Z）．

（2）∵f（x）＝sinωx（ω＞0）过原点，

∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sinωx是增函数；

当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sinωx是减函数．

由f（x）＝sinωx（ω＞0）在上单调递增，

在上单调递减知，＝，∴ω＝.]

三角函数的奇偶性、周期性、对称性

☞角度1　奇偶性与周期性的判断

（1）（2014·全国卷Ⅰ）在函数：

①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为（　　）

A．②④B.①③④

C．①②③D.①③

（2）函数y＝1－2sin2是（　　）

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

（1）C　

（2）A　[

（1）①y＝cos|2x|＝cos2x，T＝π.

②由图象知，函数的周期T＝π.

③T＝π.

④T＝.

综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.

（2）y＝1－2sin2＝cos2＝－sin2x，所以f（x）是最小正周期为π的奇函数．]

☞角度2　求三角函数的对称轴、对称中心

　（2016·安徽江南十校3月联考）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f（x）≤f成立，则f（x）图象的一个对称中心的坐标是（　　）

A.B.

C.D.

A　[由f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为4π，得ω＝.因为f（x）≤f恒成立，所以f（x）max＝f，

即×＋φ＝＋2kπ（k∈Z），

∴φ＝＋2kπ（k∈Z），由|φ|＜，

得φ＝，故f（x）＝sin.

令x＋＝kπ（k∈Z），

得x＝2kπ－（k∈Z），故f（x）图象的对称中心为（k∈Z），当k＝0时，f（x）图象的一个对称中心的坐标为，故选A.]

☞角度3　三角函数对称性的应用

（1）如果函数y＝3cos（2x＋φ）的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为（　　）

A.　　B.　

C.　　D.

（2）已知函数f（x）＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝对称，则实数a的值为

（　　）

A．－　　B.－　

C.　　D.

（1）A　

（2）B　[

（1）由题意得3cos

＝3cos＝3cos＝0，

∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，

∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.

（2）由x＝是f（x）图象的对称轴，

可得f（0）＝f，

即sin0＋acos0＝sin＋acos，

解得a＝－.]

[规律方法]　1.对于函数y＝Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点（x0,0）是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断．

2．求三角函数周期的方法：

（1）利用周期函数的定义．

（2）利用公式：

y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为.

（3）借助函数的图象．

[思想与方法]

1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0）的形式，再用换元法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sint的性质．

2．求三角函数值域（最值）的常用方法：

（1）将函数变形化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域（最值）．

（2）换元法：

把sinx或cosx看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域（最值）问题．

3．若f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0），则

（1）f（x）为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ（k∈Z）；

（2）f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z）．

[易错与防范]

1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．

2．求y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0）的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将“ωx＋φ”整体代入相应单调区间．

3．利用换元法求三角函数最值时，注意cosx（或sinx）的有界性．

4．正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形．