函数的递归调用与分治策略解读文档格式.docx
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iostream.h>
intf（intx）{
return（f（x-1））;
}
main（）{
cout<
<
f（10）;
它没有规定递归边界，运行时将无限循环，会导致错误。
[步骤3]写出递归函数并译为代码将步骤1和步骤2中的递归关系与边界统一起来用数学语言来表示，即
N*（N-1）!
当N>
=1时
n!
=
1当N=0时
再将这种关系翻译为代码，即一个函数：
longf（intn）{
if（n==0）
return
（1）;
else
return（n*f（n-1））;
[步骤4]完善程序主要的递归函数已经完成，将程序依题意补充完整即可。
//ex1.cpp
intn;
cin>
>
n;
endl<
f（n）;
综上，得出构造一个递归方法基本步骤，即描述递归关系、确定递归边界、写出递归函数并译为代码，最后将程序完善。
以下继续引用一些例子来讨论递归方法的应用。
经典递归问题
以下讨论两个十分经典的递归问题。
它们的算法构造同样遵循刚刚得出的四个步骤。
了解这两个问题可加深对递归方法的理解。
[例2]Fibonacci数列（兔子繁殖）问题：
已知无穷数列A，满足：
A
（1）=A
（2）=1，A（N）=A（N-1）+A（N-2）（N>
=3）。
从键盘输入N，输出A（N）。
[分析]递归关系十分明显，由A（N）的表达式给出。
需要注意的是本例中对于N>
=3，A（N）的值与A（N-1）和A（N-2）都有关。
[代码]
//ex2.cpp
longfibonacci（intx）
{
if（（x==1）||（x==2））
return（fibonacci（x-1）+fibonacci（x-2））;
cout>
endl>
fibonacci（n）;
[例3]Hanoi塔问题。
[问题描述]在霍比特人的圣庙里，有一块黄铜板，上面插着3根宝石针（分别为A号，B号和C号）。
在A号针上从下到上套着从大到小的n个圆形金片。
现要将A针上的金片全部移到C针上，且仍按照原来的顺序叠置。
移动的规则如下：
这些金片只能在3根针间移动，一次只能一片，且任何时候都不允许将较大的金片压在较小的上面。
从键盘输入n，要求给出移动的次数和方案。
[分析]由金片的个数建立递归关系。
当n=1时，只要将唯一的金片从A移到C即可。
当n>
1时，只要把较小的（n-1）片按移动规则从A移到B，再将剩下的最大的从A移到C（即中间“借助”B把金片从A移到C），再将B上的（n-1）个金片按照规则从B移到C（中间“借助”A）。
本题的特点在于不容易用数学语言写出具体的递归函数，但递归关系明显，仍可用递归方法求解。
//ex3.cpp
hanoi（intn,chart1,chart2,chart3）{
if（n==1）
"
1"
t1<
"
t3<
endl;
{
hanoi（n-1,t1,t3,t2）;
n<
hanoi（n-1,t2,t1,t3）;
}
PleaseenterthenumberofHanoi:
;
Answer:
hanoi（n,'
A'
'
B'
C'
）;
函数递归调用的应用与分治策略
许多算法都采用了分治策略求解，而可以说分治与递归是一对孪生兄弟，它们经常同时被应用于算法的设计中。
下面讨论著名的Catalan数问题，人们在对它的研究中充分应用了分治策略。
[例4]Catalan数问题。
[问题描述]一个凸多边形，通过不相交于n边形内部的对角线，剖分为若干个三角形。
求不同的剖分方案总数H（n）。
H（n）即为Catalan数。
例如，n=5时H（5）=5。
[分析]Catalan数问题有着明显的递归子问题特征。
在计算Catalan数时虽然可以推导出只关于n的一般公式，但在推导过程中却要用到递归公式。
下面讨论三种不同的解法，其中第三种解法没有使用递归，它是由前两种解法推导而出的。
[解法1]对于多边形V1V2…Vn，对角线V1Vi（i=3,4,…,n-1）将其分为两部分，一部分是i边形，另一部分是n-i+1边形。
因此，以对角线V1Vi为一个剖分方案的剖分方案数为H（i）*H（n-i+1）。
还有一种的特殊情形，是对角线V2Vn将其分为一个三角形V1V2Vn和一个n-2+1边形。
为了让它同样符合粗体字给出的公式，规定H
（2）=1。
于是得到公式：
H（n）=∑H（i）*H（n-i+1）（i=2,3,…,n-1）----公式
（1）
H
（2）=1
有了这个递归关系式，就可以用递推法或递归法解出H（n）。
[解法2]从V1向除了V2和Vn外的n-3个顶点可作n-3条对角线。
每一条对角线V1Vi把多边形剖分成两部分，剖分方案数为H（i）*H（n-i+2），由于Vi可以是V3V4…Vn-1中的任一点，且V1可换成V2，V3，…，Vn中任一点也有同样的结果。
考虑到同一条对角线在2个顶点被重复计算了一次，于是对每个由顶点和对角线确定的剖分方案都乘以1/2，故有
H（n）=n∑（1/2）H（i）*H（n-i+2）（i=3,4,…,n-1）
把（1/2）提到∑外面，
H（n）=n/（2*（n-3））∑H（i）*H（n-i+2）（i=3,4,…,n-1）----公式
（2）
规定H
（2）=H（3）=1，这是合理的。
由公式
（2）和H
（2）=1，同样可以用递推法或递归法解出H（n）。
[解法3]把公式
（1）中的自变量改为n+1，再将刚刚得出的公式
（2）代入公式
（1），得到
H（n+1）=∑H（i）*H（n-i+2）（i=2,3,…,n）由公式
（1）
H（n+1）=2*H（n）+∑H（i）*H（n-i+2）（i=3,4,…,n-1）由H
（2）=1
H（n+1）=（4n-6）/n*H（n）由公式
（2）
H（n）=（4n-10）/（n-1）*H（n-1）----公式（3）
这是一个较之前两种解法更为简单的递归公式，还可以继续简化为
H（n）=1/（n-1）*C（n-2,2n-4）----公式（4）
这就不需要再使用递归算法了。
然而在程序设计上，公式（4）反而显得更加复杂，因为要计算阶乘。
因此最后给出由公式（3）作为理论依据范例程序代码。
代码相当简单，这都归功于刚才的推导。
如果用前两种解法中的递归关系，程序会变得复杂且容易写错。
因此，有时对具体问题将递归关系公式进行必要的化简也是至关重要的。
//ex4.cpp
#defineMAXN100
longf（intx）{
if（x==3）
return（（4*x-10）*f（x-1）/（x-1））;
\nPleaseinputNforaCatalannumber:
if（（n<
=MAXN）&
&
（n>
=3））
Theansweris:
本例编程时还有一个细节问题需要注意。
注意函数f中的斜体部分，按照公式（4）计算时一定要先进行乘法再进行除法运算，因为（4*x-10）并不总能整除（x-1），如果先进行除法则除出的小数部分将自动被舍去，从而导致得到不正确的解。
数学上许多有重要意义的计数问题都可以归结为对Catalan数的研究。
可以看到，本例中的递归关系经简化还是相当简单的。
下面讨论一个递归关系略为复杂的例子。
[例5]快速排序问题。
快速排序是程序设计中经常涉及的一种排序算法。
它的最好时间复杂度为O（nlog2n），最差为O（n2），是一种不稳定的排序方法（大小相同的数在排序后可能交换位置）。
[算法描述]快速排序的一种基本思想是：
要将n个数按由小到大排列，在待排序的n个数中选取任一个数（在本例中取第一个），称为基准数，在每一次快速排序过程中设置两个指示器i和j，对基准数左边和右边的数同时从最左（i）和最右（j）开始进行扫描（i逐1递增，j逐1递减），直到找到从左边开始的某个i大于或等于基准数，从右边开始的某个j小于或等于基准数。
一旦发现这样的i和j（暂且称之为一个“逆序对”），则把第i个数和第j个数交换位置，这样它们就不再是逆序对了，紧接着再将i递增1，j递减1。
如此反复，在交换过有限个逆序对后，i和j将越来越靠近，最后“相遇”，即i和j指向同一个数，暂且称之为相遇数（极端情况下，如果一开始就不存在逆序对，i和j将直接“相遇”）。
相遇后就保证数列中没有逆序对了（除了在上述的极端情况下基准数和自身也算构成一个逆序对，注意粗体字给出的逆序对的定义）。
继续扫描，非极端情况下，由于数列中已经没有逆序对，i递增1（如果相遇数小于基准数）或者j递减1（如果相遇数大于基准数）后即算完成了一趟快速排序，这时第1到第j个数中的每个都保证小于或等于基准数，第i到第n个数中的每个保证大于或等于基准数。
此时，递归调用函数，对第1到第j个数和第i到第n个数分别再进行一趟快速排序。
如果在极端情况下，程序认为基准数和自身构成逆序对，则将基准数与自身交换（这其实没有作用）之后i递增1，j递减1（注意斜体字给出的对逆序对的处理方法），同样对第1到第j个数和第i到第n个数分别再进行一趟快速排序。
最后的问题就是确定递归边界。
由于被排序的数列将不断被划分为两个至少含一个数的子列（因为在每趟排序最后进行递归调用函数时i<
j），最后子列的长度将变为1。
这就是递归的边界。
在程序实现是，本着“能排则排”的原则，只要第一个数小于j（或者第i个数小于最后一个数），即进行递归。
[主程序（递归函数体）]
//ex5.cpp（part）
qksort（intl,intr）
inti,j,v,s;
i=l;
j=r;
v=a[l];
do
while（a[i]<
v）i++;
while（a[j]>
v）j--;
if（i<
=j）
{s=a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=s;
i++;
j--;
}while（i<
=j）;
if（l<
j）qksort（l,j）;
r）qksort（i,r）;
[例6]“九宫阵”智力游戏。
[问题描述]一个9×
9方阵，由9个“九宫格”组成，每个九宫格又由3×
3共9个小格子组成。
请在每个空白小格子里面填上1～9的数字，使每个数字在每个九宫格内以及在整个九宫阵中的每行、每列上均出现一次。
（1）编程将下面图中的九宫阵补充完整。
（2）讨论是否可能给出“九宫阵”的全部解？
9
4
5
7
3
6
8
1
2
[分析]本题可利用回溯法解决，其基本思想为深度优先搜索（DFS），这也是一种以分治策略为基础的算法。
回溯法与纯粹的DFS不同的是，它在搜索过程中不断杀死不合题意的结点。
这一点保证了解法的效率。
首先考虑如何得出全部解的情况。
解空间树容易构造，只需按顺序（从第一行第一个数字开始到第一行最后一个，然后第二行……，一直到最后一行最后一个数字）“尝试”填入数字即可。
为了解决这个问题，我们需要先编写一个函数check，其原型为intcheck（inti,intj,intk），用于求第i行第j列能否填上数字k。
如果可以，返回1，否则返回0。
由于我们是按顺序填入数字的，看起来一个数字后面的数字并不在判断能否填的范围内。
但为了解决题中某个特解问题的方便，还是引入较为严谨的判断方法。
函数check代码如下：
intcheck（inti,intj,intk）{
intl,m,pi,pj;
//1.Checktheline
for（l=1;
l<
=9;
l++）
if（（l!
=j）&
（a[i][l]!
=0）&
（a[i][l]==k））
return（0）;
//2.Checkthecolumn
=i）&
（a[l][j]!
（a[l][j]==k））
//3.Checkthe3x3matrix
//3.1Firstlywewillhavetochecktheparent_i（pi）andparent_j（pj）
=3）pi=1;
elseif（i<
=6）pi=4;
elsepi=7;
if（j<
=3）pj=1;
elseif（j<
=6）pj=4;
elsepj=7;
//3.2Nowwecancheckit
for（l=0;
=2;
for（m=0;
m<
m++）{
if（（（pi+l）!
（（pj+m）!
=j））
if（（a[pi+l][pj+m]!
=0）&
（a[pi+l][pj+m]==k））
return（0）;
结合注释很容易就能接受函数的思想，不予过多说明。
下面考虑程序最重要的部分，即递归函数。
思路是这样的：
假设某一格能填入某数，把这个格子看成解空间树的一个结点，由它可以扩展出9个儿子，即下一格填什么数（由1到9逐个尝试）。
对下一格，同样这样考虑。
不断用函数check函数考察某一个能否填入某数，一旦函数check返回0，则杀死这个结点。
如果能一直填到最后一个数，结点仍未被杀死，则这是一个解。
这种思想可用伪代码表示如下：
procedurebacktrack（i,j,k:
integer）;
ifcheck（i,j,k）=truethen
begin
a[i,j]=k;
Generate_next_i_and_j;
ifi<
10then
forl:
=1to9do
backtrack（i,j,l）;
end
else
Do_Output;
a[i,j]:
=0;
end;
注意斜体的“a[i,j]:
=0”必不可少！
当对某个结点（x,y）扩展的过程中，可能在扩展到（x+m,y+n）时它的子树被完全杀死（每个结点都被杀死，亦即按照（x,y）及之前的填数方案填数，无解）。
这时需要保证（x,y）以后所填的数被重新置零，这个语句的作用即在每个结点被杀死时都将其置零。
将伪代码翻译为C++代码：
backtrack（inti,intj,intk）{
intl;
if（check（i,j,k）==1）{
a[i][j]=k;
//Fillintheokaysolution
//Generatenexti,j
9）j++;
else{i++;
j=1;
}//EndofGeneratenexti,j
10）{
backtrack（i,j,l）;
output（）;
a[i][j]=0;
/*Whenfailsandgoesupperwards,thevaluemustbecleared*/
函数output（）用双重循环完成输出。
在主函数main（）对backtrack（1,1,i）进行一个循环，i从1取到9，即可完成整个程序。
运行时发现九宫格的解相当多，即使保存到文件中也不现实。
这就回答了第2个问题。
对于第1个问题，将这个程序略加改动，即赋予全局数组a以初值，并在过程backtrack中产生下一个i和j时跳过有初值的部分，即可将程序转化为求填有部分空缺的九宫格程序。
最后给出填充有部分空缺的九宫格的完整源代码。
//ex6-1.cpp
inta[11][11]={0};
output（）{
inti,j;
Onesolutionis:
for（i=1;
i<
i++）
for（j=1;
j<
j++）
a[i][j]<
do{
}while（a[i][j]!
=0）;
//EndofGeneratenexti,j
init（）{
a[1][2]=9;
a[1][6]=4;
a[1][7]=5;
a[1][9]=7;
a[2][3]=3;
a[2][5]=7;
a[2][6]=9;
a[2][7]=4;
a[3][4]=3;
a[3][5]=6;
a[3][8]=8;
a[3][9]=9;
a[4][1]=3;
a[4][4]=1;
a[5][3]=4;
a[5][8]=2;
a[5][9]=3;
a[6][2]=1;
a[6][3]=2;
a[6][6]=3;
a[7][1]=8;
a[7][8]=5;
a[8][2]=6;
a[8][4]=2;
a[8][5]=9;
a[9][2]=2;
a[9][3]=1;
a[9][7]=8;
inti;
i++）{
init（）;
backtrack（1,1,i）;
递归方法在算法与数据结构中的应用无所不在，如动态规划（状态方程）、回溯法（深度优先搜索）等等，以上两例只是冰山一角。
只有熟悉掌握函数递归调用的编程方法，深入理解分治策略的重要思想，才能编写出功能强大、高效简明的程序。
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