函数的递归调用与分治策略解读文档格式.docx

1、iostream.hint f（int x） return（f（x-1）;main（） cout=1时n!= 1 当N=0时再将这种关系翻译为代码，即一个函数：long f（int n） if （n=0） return（1）; else return（n*f（n-1）;步骤4完善程序 主要的递归函数已经完成，将程序依题意补充完整即可。/ex1.cpp int n; cinn;endl=3）。从键盘输入N，输出A（N）。分析递归关系十分明显，由A（N）的表达式给出。需要注意的是本例中对于N=3，A（N）的值与A（N-1）和A（N-2）都有关。代码/ex2.cpplong fibonacci（in

2、t x） if （ （x=1） | （x=2） ） return（fibonacci（x-1）+fibonacci（x-2）; coutendlfibonacci（n）; 例3Hanoi塔问题。 问题描述在霍比特人的圣庙里，有一块黄铜板，上面插着3根宝石针（分别为A号，B号和C号）。在A号针上从下到上套着从大到小的n个圆形金片。现要将A针上的金片全部移到C针上，且仍按照原来的顺序叠置。移动的规则如下：这些金片只能在3根针间移动，一次只能一片，且任何时候都不允许将较大的金片压在较小的上面。从键盘输入n，要求给出移动的次数和方案。分析由金片的个数建立递归关系。当n=1时，只要将唯一的金片从A移到C

3、即可。当n1时，只要把较小的（n-1）片按移动规则从A移到B，再将剩下的最大的从A移到C（即中间“借助”B把金片从A移到C），再将B上的（n-1）个金片按照规则从B移到C（中间“借助”A）。本题的特点在于不容易用数学语言写出具体的递归函数，但递归关系明显，仍可用递归方法求解。/ex3.cpphanoi（int n,char t1,char t2,char t3） if （n=1）1 t1 t3endl; hanoi（n-1,t1,t3,t2）;n hanoi（n-1,t2,t1,t3）; Please enter the number of Hanoi:;Answer: hanoi（n,A,B

4、C）;函数递归调用的应用与分治策略许多算法都采用了分治策略求解，而可以说分治与递归是一对孪生兄弟，它们经常同时被应用于算法的设计中。下面讨论著名的Catalan数问题，人们在对它的研究中充分应用了分治策略。例4Catalan数问题。问题描述一个凸多边形，通过不相交于n边形内部的对角线，剖分为若干个三角形。求不同的剖分方案总数H（n）。H（n）即为Catalan数。例如，n=5时H（5）=5。分析Catalan数问题有着明显的递归子问题特征。在计算Catalan数时虽然可以推导出只关于n的一般公式，但在推导过程中却要用到递归公式。下面讨论三种不同的解法，其中第三种解法没有使用递归，它是由前两种解

5、法推导而出的。解法1对于多边形V1V2Vn，对角线V1Vi（i=3,4,n-1）将其分为两部分，一部分是i边形，另一部分是n-i+1边形。因此，以对角线V1Vi为一个剖分方案的剖分方案数为H（i）*H（n-i+1）。还有一种的特殊情形，是对角线V2Vn将其分为一个三角形V1V2Vn和一个n-2+1边形。为了让它同样符合粗体字给出的公式，规定H（2）=1。于是得到公式：H（n）=H（i）*H（n-i+1） （i=2,3,n-1） -公式（1）H（2）=1有了这个递归关系式，就可以用递推法或递归法解出H（n）。解法2从V1向除了V2和Vn外的n-3个顶点可作n-3条对角线。每一条对角线V1Vi把多

6、边形剖分成两部分，剖分方案数为H（i）*H（n-i+2），由于Vi可以是V3V4Vn-1中的任一点，且V1可换成V2，V3，Vn中任一点也有同样的结果。考虑到同一条对角线在2个顶点被重复计算了一次，于是对每个由顶点和对角线确定的剖分方案都乘以1/2，故有H（n）=n（1/2）H（i）*H（n-i+2） （i=3,4,n-1）把（1/2）提到外面，H（n）=n/（2*（n-3）H（i）*H（n-i+2） （i=3,4,n-1） -公式（2）规定H（2）=H（3）=1，这是合理的。由公式（2）和H（2）=1，同样可以用递推法或递归法解出H（n）。解法3 把公式（1）中的自变量改为n+1，再将刚刚得

7、出的公式（2）代入公式（1），得到H（n+1）=H（i）*H（n-i+2） （i=2,3,n） 由公式（1）H（n+1）=2*H（n）+H（i）*H（n-i+2） （i=3,4,n-1） 由H（2）=1H（n+1）=（4n-6）/n*H（n） 由公式（2）H（n）=（4n-10）/（n-1）*H（n-1） -公式（3）这是一个较之前两种解法更为简单的递归公式，还可以继续简化为H（n）=1/（n-1）*C（n-2,2n-4） -公式（4）这就不需要再使用递归算法了。然而在程序设计上，公式（4）反而显得更加复杂，因为要计算阶乘。因此最后给出由公式（3）作为理论依据范例程序代码。代码相当简单，这都归

8、功于刚才的推导。如果用前两种解法中的递归关系，程序会变得复杂且容易写错。因此，有时对具体问题将递归关系公式进行必要的化简也是至关重要的。/ex4.cpp#define MAXN 100long f（int x） if （x=3） return（4*x-10）*f（x-1）/（x-1）;nPlease input N for a Catalan number: if （ （n=3） ）The answer is:本例编程时还有一个细节问题需要注意。注意函数f中的斜体部分，按照公式（4）计算时一定要先进行乘法再进行除法运算，因为（4*x-10）并不总能整除（x-1），如果先进行除法则除出的小数部分

9、将自动被舍去，从而导致得到不正确的解。数学上许多有重要意义的计数问题都可以归结为对Catalan数的研究。可以看到，本例中的递归关系经简化还是相当简单的。下面讨论一个递归关系略为复杂的例子。例5快速排序问题。快速排序是程序设计中经常涉及的一种排序算法。它的最好时间复杂度为O（nlog2n），最差为O（n2），是一种不稳定的排序方法（大小相同的数在排序后可能交换位置）。算法描述快速排序的一种基本思想是：要将n个数按由小到大排列，在待排序的n个数中选取任一个数（在本例中取第一个），称为基准数，在每一次快速排序过程中设置两个指示器i和j，对基准数左边和右边的数同时从最左（i）和最右（j）开始进行扫描

10、（i逐1递增，j逐1递减），直到找到从左边开始的某个i大于或等于基准数，从右边开始的某个j小于或等于基准数。一旦发现这样的i和j（暂且称之为一个“逆序对”），则把第i个数和第j个数交换位置，这样它们就不再是逆序对了，紧接着再将i递增1，j递减1。如此反复，在交换过有限个逆序对后，i和j将越来越靠近，最后“相遇”，即i和j指向同一个数，暂且称之为相遇数（极端情况下，如果一开始就不存在逆序对，i和j将直接“相遇”）。相遇后就保证数列中没有逆序对了（除了在上述的极端情况下基准数和自身也算构成一个逆序对，注意粗体字给出的逆序对的定义）。继续扫描，非极端情况下，由于数列中已经没有逆序对，i递增1（如果相

11、遇数小于基准数）或者j递减1（如果相遇数大于基准数）后即算完成了一趟快速排序，这时第1到第j个数中的每个都保证小于或等于基准数，第i到第n个数中的每个保证大于或等于基准数。此时，递归调用函数，对第1到第j个数和第i到第n个数分别再进行一趟快速排序。如果在极端情况下，程序认为基准数和自身构成逆序对，则将基准数与自身交换（这其实没有作用）之后i递增1，j递减1（注意斜体字给出的对逆序对的处理方法），同样对第1到第j个数和第i到第n个数分别再进行一趟快速排序。最后的问题就是确定递归边界。由于被排序的数列将不断被划分为两个至少含一个数的子列（因为在每趟排序最后进行递归调用函数时ij），最后子列的长度将

12、变为1。这就是递归的边界。在程序实现是，本着“能排则排”的原则，只要第一个数小于j（或者第i个数小于最后一个数），即进行递归。主程序（递归函数体）/ex5.cpp （part）qksort（int l,int r） int i,j,v,s; i=l; j=r; v=al; do while （aiv） j-; if （i=j） s=ai; ai=aj; aj=s; i+; j-; while （i=j）; if （lj） qksort（l,j）;r） qksort（i,r）; 例6“九宫阵”智力游戏。问题描述一个99方阵，由9个“九宫格”组成，每个九宫格又由33共9个小格子组成。请在每个空白小

13、格子里面填上19的数字，使每个数字在每个九宫格内以及在整个九宫阵中的每行、每列上均出现一次。（1）编程将下面图中的九宫阵补充完整。（2）讨论是否可能给出“九宫阵”的全部解？945736812分析本题可利用回溯法解决，其基本思想为深度优先搜索（DFS），这也是一种以分治策略为基础的算法。回溯法与纯粹的DFS不同的是，它在搜索过程中不断杀死不合题意的结点。这一点保证了解法的效率。首先考虑如何得出全部解的情况。解空间树容易构造，只需按顺序（从第一行第一个数字开始到第一行最后一个，然后第二行，一直到最后一行最后一个数字）“尝试”填入数字即可。为了解决这个问题，我们需要先编写一个函数check，其原型为

14、int check（int i,int j,int k），用于求第i行第j列能否填上数字k。如果可以，返回1，否则返回0。由于我们是按顺序填入数字的，看起来一个数字后面的数字并不在判断能否填的范围内。但为了解决题中某个特解问题的方便，还是引入较为严谨的判断方法。函数check代码如下：int check（int i,int j,int k） int l,m,pi,pj; /1. Check the line for （l=1;l=9;l+） if （ （l!=j） & （ail!=0） & （ail=k） ） return（0）; /2. Check the column=i） & （alj!

15、 （alj=k） ） /3. Check the 3x3 matrix /3.1 Firstly we will have to check the parent_i（pi） and parent_j（pj）=3） pi=1; else if （i=6） pi=4; else pi=7; if （j=3） pj=1; else if （j=6） pj=4; else pj=7; /3.2 Now we can check it for （l=0;=2; for （m=0;mm+） if （ （pi+l）! （pj+m）!=j） ） if （ （ api+lpj+m!=0 ） & （ api+l

16、pj+m=k ） ） return（0）;结合注释很容易就能接受函数的思想，不予过多说明。下面考虑程序最重要的部分，即递归函数。思路是这样的：假设某一格能填入某数，把这个格子看成解空间树的一个结点，由它可以扩展出9个儿子，即下一格填什么数（由1到9逐个尝试）。对下一格，同样这样考虑。不断用函数check函数考察某一个能否填入某数，一旦函数check返回0，则杀死这个结点。如果能一直填到最后一个数，结点仍未被杀死，则这是一个解。这种思想可用伪代码表示如下：procedure backtrack（i,j,k:integer）; if check（i,j,k）=true then begin ai,

17、j=k; Generate_next_i_and_j; if i10 then for l:=1 to 9 do backtrack（i,j,l）;endelse Do_Output;ai,j:=0; end;注意斜体的“ai,j:=0”必不可少！当对某个结点（x,y）扩展的过程中，可能在扩展到（x+m,y+n）时它的子树被完全杀死（每个结点都被杀死，亦即按照（x,y）及之前的填数方案填数，无解）。这时需要保证（x,y）以后所填的数被重新置零，这个语句的作用即在每个结点被杀死时都将其置零。将伪代码翻译为C+代码：backtrack（int i,int j,int k） int l; if （c

18、heck（i,j,k）=1） aij=k; /Fill in the okay solution /Generate next i,j9） j+; else i+; j=1; /End of Generate next i,j10） backtrack（i,j,l）; output（）; aij=0; /*When fails and goes upperwards, the value must be cleared*/函数output（）用双重循环完成输出。在主函数main（）对backtrack（1,1,i）进行一个循环，i从1取到9，即可完成整个程序。运行时发现九宫格的解相当多，即使保

19、存到文件中也不现实。这就回答了第2个问题。对于第1个问题，将这个程序略加改动，即赋予全局数组a以初值，并在过程backtrack中产生下一个i和j时跳过有初值的部分，即可将程序转化为求填有部分空缺的九宫格程序。最后给出填充有部分空缺的九宫格的完整源代码。/ex6-1.cppint a1111=0;output（） int i,j;One solution is: for （i=1;ii+） for （j=1;jj+）aij do while （aij!=0）; /End of Generate next i,jinit（） a12=9; a16=4; a17=5; a19=7; a23=3;

20、a25=7; a26=9; a27=4; a34=3; a35=6; a38=8; a39=9; a41=3; a44=1; a53=4; a58=2; a59=3; a62=1; a63=2; a66=3; a71=8; a78=5; a82=6; a84=2; a85=9; a92=2; a93=1; a97=8; int i;i+） init（）; backtrack（1,1,i）; 递归方法在算法与数据结构中的应用无所不在，如动态规划（状态方程）、回溯法（深度优先搜索）等等，以上两例只是冰山一角。只有熟悉掌握函数递归调用的编程方法，深入理解分治策略的重要思想，才能编写出功能强大、高效简明的程序。