1、iostream.hint f(int x) return(f(x-1);main() cout=1时n!= 1 当N=0时再将这种关系翻译为代码,即一个函数:long f(int n) if (n=0) return(1); else return(n*f(n-1);步骤4完善程序 主要的递归函数已经完成,将程序依题意补充完整即可。/ex1.cpp int n; cinn;endl=3)。从键盘输入N,输出A(N)。分析递归关系十分明显,由A(N)的表达式给出。需要注意的是本例中对于N=3,A(N)的值与A(N-1)和A(N-2)都有关。代码/ex2.cpplong fibonacci(in
2、t x) if ( (x=1) | (x=2) ) return(fibonacci(x-1)+fibonacci(x-2); coutendlfibonacci(n); 例3Hanoi塔问题。 问题描述在霍比特人的圣庙里,有一块黄铜板,上面插着3根宝石针(分别为A号,B号和C号)。在A号针上从下到上套着从大到小的n个圆形金片。现要将A针上的金片全部移到C针上,且仍按照原来的顺序叠置。移动的规则如下:这些金片只能在3根针间移动,一次只能一片,且任何时候都不允许将较大的金片压在较小的上面。从键盘输入n,要求给出移动的次数和方案。分析由金片的个数建立递归关系。当n=1时,只要将唯一的金片从A移到C
3、即可。当n1时,只要把较小的(n-1)片按移动规则从A移到B,再将剩下的最大的从A移到C(即中间“借助”B把金片从A移到C),再将B上的(n-1)个金片按照规则从B移到C(中间“借助”A)。本题的特点在于不容易用数学语言写出具体的递归函数,但递归关系明显,仍可用递归方法求解。/ex3.cpphanoi(int n,char t1,char t2,char t3) if (n=1)1 t1 t3endl; hanoi(n-1,t1,t3,t2);n hanoi(n-1,t2,t1,t3); Please enter the number of Hanoi:;Answer: hanoi(n,A,B
4、C);函数递归调用的应用与分治策略许多算法都采用了分治策略求解,而可以说分治与递归是一对孪生兄弟,它们经常同时被应用于算法的设计中。下面讨论著名的Catalan数问题,人们在对它的研究中充分应用了分治策略。例4Catalan数问题。问题描述一个凸多边形,通过不相交于n边形内部的对角线,剖分为若干个三角形。求不同的剖分方案总数H(n)。H(n)即为Catalan数。例如,n=5时H(5)=5。分析Catalan数问题有着明显的递归子问题特征。在计算Catalan数时虽然可以推导出只关于n的一般公式,但在推导过程中却要用到递归公式。下面讨论三种不同的解法,其中第三种解法没有使用递归,它是由前两种解
5、法推导而出的。解法1对于多边形V1V2Vn,对角线V1Vi(i=3,4,n-1)将其分为两部分,一部分是i边形,另一部分是n-i+1边形。因此,以对角线V1Vi为一个剖分方案的剖分方案数为H(i)*H(n-i+1)。还有一种的特殊情形,是对角线V2Vn将其分为一个三角形V1V2Vn和一个n-2+1边形。为了让它同样符合粗体字给出的公式,规定H(2)=1。于是得到公式:H(n)=H(i)*H(n-i+1) (i=2,3,n-1) -公式(1)H(2)=1有了这个递归关系式,就可以用递推法或递归法解出H(n)。解法2从V1向除了V2和Vn外的n-3个顶点可作n-3条对角线。每一条对角线V1Vi把多
6、边形剖分成两部分,剖分方案数为H(i)*H(n-i+2),由于Vi可以是V3V4Vn-1中的任一点,且V1可换成V2,V3,Vn中任一点也有同样的结果。考虑到同一条对角线在2个顶点被重复计算了一次,于是对每个由顶点和对角线确定的剖分方案都乘以1/2,故有H(n)=n(1/2)H(i)*H(n-i+2) (i=3,4,n-1)把(1/2)提到外面,H(n)=n/(2*(n-3)H(i)*H(n-i+2) (i=3,4,n-1) -公式(2)规定H(2)=H(3)=1,这是合理的。由公式(2)和H(2)=1,同样可以用递推法或递归法解出H(n)。解法3 把公式(1)中的自变量改为n+1,再将刚刚得
7、出的公式(2)代入公式(1),得到H(n+1)=H(i)*H(n-i+2) (i=2,3,n) 由公式(1)H(n+1)=2*H(n)+H(i)*H(n-i+2) (i=3,4,n-1) 由H(2)=1H(n+1)=(4n-6)/n*H(n) 由公式(2)H(n)=(4n-10)/(n-1)*H(n-1) -公式(3)这是一个较之前两种解法更为简单的递归公式,还可以继续简化为H(n)=1/(n-1)*C(n-2,2n-4) -公式(4)这就不需要再使用递归算法了。然而在程序设计上,公式(4)反而显得更加复杂,因为要计算阶乘。因此最后给出由公式(3)作为理论依据范例程序代码。代码相当简单,这都归
8、功于刚才的推导。如果用前两种解法中的递归关系,程序会变得复杂且容易写错。因此,有时对具体问题将递归关系公式进行必要的化简也是至关重要的。/ex4.cpp#define MAXN 100long f(int x) if (x=3) return(4*x-10)*f(x-1)/(x-1);nPlease input N for a Catalan number: if ( (n=3) )The answer is:本例编程时还有一个细节问题需要注意。注意函数f中的斜体部分,按照公式(4)计算时一定要先进行乘法再进行除法运算,因为(4*x-10)并不总能整除(x-1),如果先进行除法则除出的小数部分
9、将自动被舍去,从而导致得到不正确的解。数学上许多有重要意义的计数问题都可以归结为对Catalan数的研究。可以看到,本例中的递归关系经简化还是相当简单的。下面讨论一个递归关系略为复杂的例子。例5快速排序问题。快速排序是程序设计中经常涉及的一种排序算法。它的最好时间复杂度为O(nlog2n),最差为O(n2),是一种不稳定的排序方法(大小相同的数在排序后可能交换位置)。算法描述快速排序的一种基本思想是:要将n个数按由小到大排列,在待排序的n个数中选取任一个数(在本例中取第一个),称为基准数,在每一次快速排序过程中设置两个指示器i和j,对基准数左边和右边的数同时从最左(i)和最右(j)开始进行扫描
10、(i逐1递增,j逐1递减),直到找到从左边开始的某个i大于或等于基准数,从右边开始的某个j小于或等于基准数。一旦发现这样的i和j(暂且称之为一个“逆序对”),则把第i个数和第j个数交换位置,这样它们就不再是逆序对了,紧接着再将i递增1,j递减1。如此反复,在交换过有限个逆序对后,i和j将越来越靠近,最后“相遇”,即i和j指向同一个数,暂且称之为相遇数(极端情况下,如果一开始就不存在逆序对,i和j将直接“相遇”)。相遇后就保证数列中没有逆序对了(除了在上述的极端情况下基准数和自身也算构成一个逆序对,注意粗体字给出的逆序对的定义)。继续扫描,非极端情况下,由于数列中已经没有逆序对,i递增1(如果相
11、遇数小于基准数)或者j递减1(如果相遇数大于基准数)后即算完成了一趟快速排序,这时第1到第j个数中的每个都保证小于或等于基准数,第i到第n个数中的每个保证大于或等于基准数。此时,递归调用函数,对第1到第j个数和第i到第n个数分别再进行一趟快速排序。如果在极端情况下,程序认为基准数和自身构成逆序对,则将基准数与自身交换(这其实没有作用)之后i递增1,j递减1(注意斜体字给出的对逆序对的处理方法),同样对第1到第j个数和第i到第n个数分别再进行一趟快速排序。最后的问题就是确定递归边界。由于被排序的数列将不断被划分为两个至少含一个数的子列(因为在每趟排序最后进行递归调用函数时ij),最后子列的长度将
12、变为1。这就是递归的边界。在程序实现是,本着“能排则排”的原则,只要第一个数小于j(或者第i个数小于最后一个数),即进行递归。主程序(递归函数体)/ex5.cpp (part)qksort(int l,int r) int i,j,v,s; i=l; j=r; v=al; do while (aiv) j-; if (i=j) s=ai; ai=aj; aj=s; i+; j-; while (i=j); if (lj) qksort(l,j);r) qksort(i,r); 例6“九宫阵”智力游戏。问题描述一个99方阵,由9个“九宫格”组成,每个九宫格又由33共9个小格子组成。请在每个空白小
13、格子里面填上19的数字,使每个数字在每个九宫格内以及在整个九宫阵中的每行、每列上均出现一次。(1)编程将下面图中的九宫阵补充完整。(2)讨论是否可能给出“九宫阵”的全部解?945736812分析本题可利用回溯法解决,其基本思想为深度优先搜索(DFS),这也是一种以分治策略为基础的算法。回溯法与纯粹的DFS不同的是,它在搜索过程中不断杀死不合题意的结点。这一点保证了解法的效率。首先考虑如何得出全部解的情况。解空间树容易构造,只需按顺序(从第一行第一个数字开始到第一行最后一个,然后第二行,一直到最后一行最后一个数字)“尝试”填入数字即可。为了解决这个问题,我们需要先编写一个函数check,其原型为
14、int check(int i,int j,int k),用于求第i行第j列能否填上数字k。如果可以,返回1,否则返回0。由于我们是按顺序填入数字的,看起来一个数字后面的数字并不在判断能否填的范围内。但为了解决题中某个特解问题的方便,还是引入较为严谨的判断方法。函数check代码如下:int check(int i,int j,int k) int l,m,pi,pj; /1. Check the line for (l=1;l=9;l+) if ( (l!=j) & (ail!=0) & (ail=k) ) return(0); /2. Check the column=i) & (alj!
15、 (alj=k) ) /3. Check the 3x3 matrix /3.1 Firstly we will have to check the parent_i(pi) and parent_j(pj)=3) pi=1; else if (i=6) pi=4; else pi=7; if (j=3) pj=1; else if (j=6) pj=4; else pj=7; /3.2 Now we can check it for (l=0;=2; for (m=0;mm+) if ( (pi+l)! (pj+m)!=j) ) if ( ( api+lpj+m!=0 ) & ( api+l
16、pj+m=k ) ) return(0);结合注释很容易就能接受函数的思想,不予过多说明。下面考虑程序最重要的部分,即递归函数。思路是这样的:假设某一格能填入某数,把这个格子看成解空间树的一个结点,由它可以扩展出9个儿子,即下一格填什么数(由1到9逐个尝试)。对下一格,同样这样考虑。不断用函数check函数考察某一个能否填入某数,一旦函数check返回0,则杀死这个结点。如果能一直填到最后一个数,结点仍未被杀死,则这是一个解。这种思想可用伪代码表示如下:procedure backtrack(i,j,k:integer); if check(i,j,k)=true then begin ai,
17、j=k; Generate_next_i_and_j; if i10 then for l:=1 to 9 do backtrack(i,j,l);endelse Do_Output;ai,j:=0; end;注意斜体的“ai,j:=0”必不可少!当对某个结点(x,y)扩展的过程中,可能在扩展到(x+m,y+n)时它的子树被完全杀死(每个结点都被杀死,亦即按照(x,y)及之前的填数方案填数,无解)。这时需要保证(x,y)以后所填的数被重新置零,这个语句的作用即在每个结点被杀死时都将其置零。将伪代码翻译为C+代码:backtrack(int i,int j,int k) int l; if (c
18、heck(i,j,k)=1) aij=k; /Fill in the okay solution /Generate next i,j9) j+; else i+; j=1; /End of Generate next i,j10) backtrack(i,j,l); output(); aij=0; /*When fails and goes upperwards, the value must be cleared*/函数output()用双重循环完成输出。在主函数main()对backtrack(1,1,i)进行一个循环,i从1取到9,即可完成整个程序。运行时发现九宫格的解相当多,即使保
19、存到文件中也不现实。这就回答了第2个问题。对于第1个问题,将这个程序略加改动,即赋予全局数组a以初值,并在过程backtrack中产生下一个i和j时跳过有初值的部分,即可将程序转化为求填有部分空缺的九宫格程序。最后给出填充有部分空缺的九宫格的完整源代码。/ex6-1.cppint a1111=0;output() int i,j;One solution is: for (i=1;ii+) for (j=1;jj+)aij do while (aij!=0); /End of Generate next i,jinit() a12=9; a16=4; a17=5; a19=7; a23=3;
20、a25=7; a26=9; a27=4; a34=3; a35=6; a38=8; a39=9; a41=3; a44=1; a53=4; a58=2; a59=3; a62=1; a63=2; a66=3; a71=8; a78=5; a82=6; a84=2; a85=9; a92=2; a93=1; a97=8; int i;i+) init(); backtrack(1,1,i); 递归方法在算法与数据结构中的应用无所不在,如动态规划(状态方程)、回溯法(深度优先搜索)等等,以上两例只是冰山一角。只有熟悉掌握函数递归调用的编程方法,深入理解分治策略的重要思想,才能编写出功能强大、高效简明的程序。
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