备战高考数学一轮热点难点一网打尽专题27 求数列通项公式必备的方法和技巧答案解析.docx

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备战高考数学一轮热点难点一网打尽专题27求数列通项公式必备的方法和技巧答案解析

【备战高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】

第26讲求数列通项公式必备的方法和技巧

考纲要求:

1.了解数列的概念（定义、数列的项、通项公式、前n项和）

2.了解数列三种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）；

3.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,了解数列的分类（按项数分、按项间的大小等）．

基础知识回顾:

1．数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫作首项）．

2．数列与函数的关系

（1）从函数观点看，数列可以看成是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．

（2）数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种表示方法．

3.数列的通项公式：

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式（提示：

不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一）．

4.数列的通项an与前n项和Sn的关系：

数列的前n项和通常用Sn表示，记作Sn＝a1＋a2＋…＋an，则通项an＝（提示：

若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示）．

5.递推公式：

如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an－1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

应用举例:

类型一：

由数列的前几项来求数列的通项公式

【例1】【2017贵州省贵阳市一中高三月考】数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于（　　）

A.B．cosC．cosπD．cosπ

【答案】D

【解析】令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．

【例2】根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：

（1）4,6,8,10，…；

（2）－，，－，，…；

（3）a，b，a，b，a，b，…（其中a，b为实数）；（4）9,99,999,9999，….

【答案】见解析

点评：

由数列的前几项求数列通项公式的策略

（1）根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：

①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．

（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（－1）n或（－1）n＋1来调整．

类型二、已知递推关系式求通项公式

（1）形如an＋1＝anf（n），求an

【例3】【2017浙江省温州市高三月考试题】在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1（n≥2），则数列{an}的通项公式是__________.

【答案】an＝.

【解析】∵an＝an－1（n≥2），∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.以上（n－1）个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝.

（2）形如an＋1＝an＋f（n），求an

【例4】【2017河北省定州中学高三月考】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，则数列{an}的通项公式是__________.

【答案】an＝

【解析】由题意得an＋1－an＝＝－，an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1

＝

【例5】【2017河南郑州一中高三月考】若数列{an}满足：

a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列{an}的通项公式是_______.

【答案】an＝2n－1.

【解析】由题意知an＋1－an＝2n，an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.

（3）形如an＋1＝Aan＋B（A≠0且A≠1），求an

【例6】【2017江苏泰兴中学高三月考】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式是______．

【答案】an＝2·3n－1－1.

（4）形如an＋1＝（A，B，C为常数），求an

【例7】【2017江苏泰兴中学高三月考】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式是_________.

【答案】an＝（n∈N*）．

【解析】∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，

∴是以1为首项，为公差的等差数列．∴＝＋（n－1）×＝＋，∴an＝（n∈N*）．

点评：

典型的递推数列及处理方法

递推式

方法

示例

an＋1＝an＋f（n）

叠加法

a1＝1，an＋1＝an＋2n

an＋1＝anf（n）

叠乘法

a1＝1，＝2n

an＋1＝Aan＋B

（A≠0,1，B≠0）

化为等比数列

a1＝1，an＋1＝2an＋1

an＋1＝

（A，B，C为常数）

化为等差数列

a1＝1，an＋1＝

类型三、已知数列的前n项和Sn或Sn与an的关系求通项公式

【例8】【2017湖北黄冈高三月考】已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为（　　）

A．an＝2n－3B．an＝2n＋3C．an＝D．an＝

【答案】C

【解析】当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故通项公式为C.

【例9】【2017河北省沧州市高三月考】数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1（n≥1,n∈N*），则数列{an}的通项公式是__________.

【答案】an=3n-1.

【例10】【2017湖南省永州市高三月考】数列{an}满足a1＝，a1＋a2＋…＋an＝n2·an，则数列{an}的通项公式是__________.

【答案】an＝（n∈N*）．

【解析】由题知Sn＝n2·an，当n≥2时，Sn－1＝（n－1）2·an－1，两式相减得Sn－Sn－1＝n2·an－（n－1）2·an－1

即an＝n2·an－（n－1）2·an－1；整理得（n2－1）an＝（n－1）2·an－1，∵n≥2，∴＝＝.∴····…·＝···…··＝，即＝（n≥2），∴an＝（n≥2）．∵a1＝＝也适合上式，∴an＝（n∈N*）．

点评：

已知Sn求an的三个步骤：

（1）先利用a1＝S1求出a1；

（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；

（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．

类型四、已知数列类型求其通项公式

【例11】【2017江苏省南京市高三调研】各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn．若a2－a5＝－78，S3＝13，则数列{an}的通项公式an＝．

【答案】

【名师点睛】等差数列的通项公式和前项和公式在解题是起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．在中，知三即可求二，解题时要注意方程思想的应用．

方法、规律归纳:

1.根据数列的前几项求通项公式的方法：

主要是观察项与序号的变化规律，采用不完全归纳推理完成．在归纳时注意：

（1）分式中分子、分母的特征．

（2）相邻项的变化特征．（3）拆项后的特征：

把数列的项分成变化的部分和不变的部分．（4）各项的符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸显出来．判断一个式子是不是数列的通项公式，可通过代入检验数列前几项，看是否满足给出的式子．

2.由数列递推式求通项公式常用方法有：

累加法、累积法、构造法．形如an＝pan－1＋m（p，m为常数，p≠1，m≠0）时，构造等比数列；形如an＝an－1＋f（n）（{f（n）}可求和）时，用累加法求解；形如＝f（n）（{f（n）}可求积）时，用累积法求解．

实战演练:

1．【2017北京市高三入学定位考试】数列的一个通项公式是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】原数列中的数符号一正一负，故摆动数列乘，取绝对值后通过观察得，．

2．【2017湖南长沙市长郡中学高三入学考试】已知在数列中，，且，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

3．【2017河南洛阳统考】已知数列的前项和，其中，…，那么通项公式（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】；当时，；当时，

，所以．

4．【2017山东淄博模拟】已知数列的前n项和，则的通项公式（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】令，得，，当时，，所以

，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以．

5．【2017江西吉安一中高三月考】已知数列，则数列的通项为（）

A．B．C．D．

【答案】B

6．【2017湖北省襄阳市第四中学高三月考】已知{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则的最小值为（　　）

A．21B．10C.D.

【答案】C

【解析】由已知条件可知，当n≥2时，an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝33＋2＋4＋…＋2（n－1）＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33满足此式．所以＝n＋－1.令f（n）＝＝n＋－1，则f（n）在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞）上为增函数，又f（5）＝，f（6）＝，则f（5）>f（6），故f（n）＝的最小值为.

7．【2017天津市耀华中学高三开学考试】已知数列{an}中，a1＝1，且an＋an＋1＝2n.则数列{an}的通项公式是__________.

【答案】an＝

【解析】∵an＋an＋1＝2n，①∴an＋1＋an＋2＝2n＋1，②由②－①，得an＋2－an＝2n，由a1＝1，a1＋a2＝2，得a2＝1.当n为奇数时，an＝（an－an－2）＋（an－2－an－4）＋…＋（a3－a1）＋a1＝2n－2＋2n－4＋…＋2＋1＝×2n＋；

当n为偶数时，an＝（an－an－2）＋（an－2－an－4）＋…＋（a4－a2）＋a2＝2n－2＋2n－4＋…＋22＋1＝×2n－.

故an＝

8．【2017江西省南昌高三一模】已知数列满足，则数列的通项公式______.

【答案】

9．在数列中，，

（1）求数列的通项；

（2）若存在，使得成立，求实数的最小值.

解析：

（1）由，n≥2时，

两式作差得：

，得：

（n＋1）an＋1＝3nan（n≥2），即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1,a2＝1,于是2a2＝2，故n≥2时，nan＝2·3n－2，于是

（2）由

（1）知时，设，

则，又及，所以所求实数的最小值为

10．【2017湖南衡阳八中月考】已知等差数列的公差大于0，且是方程的两根。

数列的前n项和为，且。

（1）求通项；

（2）记，求证：

。