江苏省扬州市届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案.docx

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江苏省扬州市届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案

江苏省扬州市2020届高三上学期期中考试

数学试题

（满分160分，考试时间120分钟）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.已知i为虚数单位，若复数z满足＝1＋i，则复数z＝________．

2.函数y＝的定义域为________．

3.已知x，y∈R，直线（a－1）x＋y－1＝0与直线x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为________．

4.已知函数f（x）为偶函数，且x>0时，f（x）＝x3＋x2，则f（－1）＝________．

5.已知向量m＝（1，a），n＝（，3a＋1）．若m∥n，则实数a＝________．

6.设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝6，cosB＝－，则角A的大小为________．

7.设实数x，y满足则3x＋2y的最大值为________．

8.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝2px（p>0）上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．

9.已知条件p：

x>a，条件q：

>0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1的一个焦点为（3，0），则双曲线的渐近线方程为__________．

11.若函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，0<φ<）的部分图象如图所示，则函数f（x）在[－π，0]上的单调增区间为________．

12.在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心．若△ABC的面积为＋1，AC＝，tanC＝2，则（＋）·（＋）＝________．

13.已知正实数a，b满足2a＋b＝3，则＋的最小值是________．

14.已知函数f（x）＝2x－x2，g（x）＝lnx－ax＋5（e为自然对数的底数，e≈2.718）．对于任意的x0∈（0，e），在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）＝g（x2）＝f（x0），则整数a的取值集合是__________．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

在△ABC中，已知·＝||||，设∠BAC＝α.

（1）求tanα的值；

（2）若cosβ＝，β∈（0，），求cos（β－α）的值．

16.（本小题满分14分）

已知a∈R，函数f（x）＝a－.

（1）若f（x）≤2x对x∈（0，2）恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当a＝1时，解不等式f（x）≥2x.

17.（本小题满分15分）

在平面直角坐标系xOy中，已知直线x－3y－10＝0与圆O：

x2＋y2＝r2（r>0）相切．

（1）若直线l过点（2，1）且截圆O所得的弦长为2，求直线l的方程；

（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M，N的纵坐标之积是否为定值？

若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

18.（本小题满分15分）

江苏省园博会有一中心广场，南京园、常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为km、2km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为km.现规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园、常州园、扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图

（1）、

（2））．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2.设柏油路与正东方向的夹角，即图

（2）中∠COF为θ（θ∈（0，）），铺设三段鹅卵石路的总费用为y（万元）．

（1）求南京园到柏油路的最短距离d1关于θ的表达式；

（2）求y的最小值及此时tanθ的值．

19.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的右准线方程为直线x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）假设直线l：

y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．

①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连结OM并延长交椭圆C于点N，且＝，求OB的长；

②若原点O到直线l的距离为1，并且·＝λ，当≤λ≤时，求△OAB的面积S的范围．

20.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝，g（x）＝x2－2x.

（1）求f（x）在点P（1，f

（1））处的切线方程；

（2）若关于x的不等式f2（x）＋tf（x）>0有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；

（3）若h（x）＝g（x）＋4xf（x）存在两个正实数x1，x2，满足h（x1）＋h（x2）－xx＝0，求证：

x1＋x2≥3.

（满分40分，考试时间30分钟）

21.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋1在矩阵对应的变换下得到的直线过点P（3，2），求实数k的值．

22.（本小题满分10分）

假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次．

（1）求连续命中2次的概率；

（2）设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．

23.（本小题满分10分）

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝A1C＝2，平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系．

（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；

（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．

24.（本小题满分10分）

已知正项数列{an}满足an＋1＝an－a（n∈N*）．求证：

（1）0

（2）

江苏省扬州市2020届高三上学期期中考试

数学试题参考答案及评分标准

1.3－i　2.（－∞，2]　3.　4.2　5.1　6.　7.3　8.x＝－3　9.a≤－2　10.y＝±x

11.（－3，0）（区间开闭皆可）　12.1　13.　14.{3，4，5，6，7}

15.解：

（1）由·＝||·||，得||·||cosα＝||·||，所以cosα＝.

因为0＜α＜π，所以sinα＝＝＝.

所以tanα＝.（6分）

（2）因为cosβ＝，β∈（0，），所以sinβ＝.（8分）

由

（1）知sinα＝，所以cos（β－α）＝cosβcosα＋sinβsinα＝×＋×＝.（14分）

16.解：

（1）∵f（x）≤2x对x∈（0，2）恒成立，∴a≤＋2x对x∈（0，2）恒成立．

∵＋2x≥2，当且仅当＝2x，即x＝时取等号，

∴a≤2.（6分）

（2）当a＝1时，f（x）＝1－，∵f（x）≥2x，∴1－≥2x　（*）．

①若x＞0，则（*）可化为2x2－x＋1≤0，∴x∈∅；（9分）

②若x＜0，则（*）可化为2x2－x－1≥0，解得x≥1或x≤－.∵x＜0，∴x≤－.（12分）

由①②可得，（*）式的解集为（－∞，－]．（14分）

17.解：

∵直线x－3y－10＝0与圆O：

x2＋y2＝r2（r＞0）相切，

∴圆心O到直线x－3y－10＝0的距离r＝＝.（2分）

（1）记圆心到直线l的距离为d，∴d＝＝2.

当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝2，满足题意；（3分）

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y－1＝k（x－2），即kx－y＋（1－2k）＝0，

∴d＝＝2，解得k＝－，此时直线l的方程为3x＋4y－10＝0.（6分）

综上，直线l的方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.（7分）

（2）设P（x0，y0）．∵直线y＝3与圆O交于A，B两点，不妨取A（1，3），B（－1，3），

∴直线PA，PB的方程分别为y－3＝（x－1），y－3＝（x＋1）．

令x＝0，得M（0，），N（0，），则yM·yN＝·＝　（*）．（13分）

∵点P（x0，y0）在圆C上，∴x＋y＝10，即y＝10－x，代入（*）式，得yM·yN＝＝10为定值．（15分）

18.解：

（1）∵∠COF＝θ，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为km，

∴∠AOE＝－θ，∴d1＝sin（－θ）．（4分）

（2）分别设点B，C到直线EF的距离为d2，d3.由

（1）知d2＝2sin（－θ），d3＝sinθ，

∴y＝2{[sin（－θ）]2＋[2sin（－θ）]2＋（sinθ）2}

＝20

＝20－10（sin2θ＋cos2θ）＝20－10sin（2θ＋），θ∈（0，）．（9分）

∵θ∈（0，），∴2θ＋∈（，），∴当2θ＋＝时，ymin＝20－10（万元）．（12分）

此时2θ＝，∴tan2θ＝＝1，解得tanθ＝－1.（14分）

答：

铺设三条鹅卵石路的总费用为（20－10）万元，此时tanθ的值为－1.（15分）

19.解：

（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a＝c.

由右准线方程为直线x＝2，得＝2，解得a＝，c＝1，

所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.（4分）

（2）①设B（x1，y1），而A（0，1），则M（，）．

因为＝，所以N（，）．

因为点B，N都在椭圆上，所以将②式两边同时乘以再减去①式，解得y1＝，x＝.（8分）

所以OB＝＝＝.（9分）

②由原点O到直线l的距离为1，得＝1，化简得1＋k2＝m2.

联立直线l的方程与椭圆C的方程得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝，且Δ＝8k2＞0.（11分）

因为·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋m）（kx2＋m）＝（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2

＝（1＋k2）－＋m2＝＝＝＝λ，

所以k2＝.

△OAB的面积S＝×1×AB＝|x1－x2|＝

＝＝＝.（14分）

因为S＝在上为单调减函数，且当λ＝时，S＝，当λ＝时，S＝，

所以△OAB的面积S的范围是.（16分）

20.

（1）解：

因为f（x）＝，f

（1）＝0，所以P点坐标为（1，0）．

又f′（x）＝，f′

（1）＝1，则切线方程为y－0＝x－1，

所以函数f（x）在点P（1，f

（1））处的切线方程为x－y－1＝0.（3分）

（2）解：

f′（x）＝（x＞0）．

x

（0，e）

e

（e，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

f（x）

单调递增

极大值

单调递减

由f2（x）＋tf（x）>0，得f（x）[f（x）＋t]>0.

①当t>0时，f（x）>0或f（x）<－t，满足条件的整数解有无数个，舍去；

②当t＝0时，f（x）≠0，得x>0且x≠1，满足条件的整数解有无数个，舍去；

③当t<0时，f（x）<0或f（x）>－t，当f（x）<0时，无整数解；

当f（x）>－t时，不等式有且仅有三个整数解，又f（3）＝，f

（2）＝f（4）＝，f（5）＝.

因为f（x）在（0，e）上递增，在（e，＋∞）上递减，

所以f（5）≤－t

所以实数t的取值范围是－

（3）证明：

h（x）＝x2－2x＋4lnx.

因为h（x1）＋h（x2）－xx＝0，

所以x－2x1＋4lnx1＋x－2x2＋4lnx2－xx＝0，

即（x1＋