量子纠缠导论.docx

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量子纠缠导论

量子纠缠导论

大学物理系老校友朱德生

本文提要：

1,量子力学的基本知识；

2,量子纠缠的基本理论。

量子纠缠现象是量子力学实践中的一项重要成果,也是量子力学区别经典物理学的一个重要标旨。

经典物理学不论是经典的力学、热学、统计物理学、光学，电磁理论和引力论，还是爱因斯坦的狭义相对论、广义相对论，都是定域理论。

定域理论认为，物质的运动或变化都与时间和空间有不可分割的联系，反映物质运动属性的力学量（位移、速度、加速度、动量和能量）和时间的关系，都可以通过一定的实验手段进行测量，或者应用理论进行计算，导出物质力学量的属性与时间和空间的关系。

而量子力学中却是非定域理论。

由于量子力学是非定域理论，因而反映微观粒子的量子力学性质的力学量，不仅与微观粒子本身的性质有关，而且还与量子力学测量方法有关。

量子力学的这种特性，使微观粒子运动的力学量与时间和空间的关系，具有不确定性。

这种不确定性，来源于微观粒子具有波粒二象性。

正因为微观粒子具有波粒二象性，使我们在测量微观粒子的相关的力学量时，它们的测量值会受到测量本身的干扰。

这种干扰，在量子力学中的测量中反映为测不准关系。

量子力学的测不准关系为

------

（1）

简写为：

------

（1）'

上式

（1）中的，是坐标的均方偏差，也即；是动量的均方偏差，也即。

而，为（普朗克）常数。

由于量子力学中的微观粒子具有非定域性质，因而在研究量子纠缠现象时，必须了解量子力学的基本知识，从量子力学所特有的非定域性来考虑。

只有这样，才能理清发生量子纠缠的粒子之间，出现的一些难易理解的疑难问题。

一，量子力学的基本知识

在量子力学中，描写力学量的量子状态常用波函数表示。

波函数的具体形式可用下式表示：

------（1-1）

或用（狄拉克）矢量符号表示

-----（1-2）

因为微观粒子具有波粒二象性，受制于测不准关系，不可能同时用微观粒子的坐标和动量的确定值，描写它的量子状态。

所以，当微观粒子的量子体系处于某一状态时，它的力学量（坐标、动量等）一般可以有许多可能的值，这些值各自以一定的几率出现。

正因为如此，在量子力学中，常用在某一状态出现的几率，描写微观粒子的量子状态的性质。

解（薛定谔）方程或（海森伯）方程，可求出微观粒子的有关量子状态的波函数。

利用所求出的波函数，即可计算出所求力学量的几率

设是描写微观粒子状态的波函数，在空间一点和时刻波的强度是（是的共轭复数）.以表示在时刻,和坐标，的无限小区域找到微观粒子的几率。

那么，除了和这个区域的体积成比例外，还和在这区域每一点找到微观粒子的几率成比例。

按照波函数的统计概率，在这个区域的某一点找到微观粒子的几率，应与成比。

所以-----（1-3）

式中的是比例常数。

利用（1-3）式，可求出在时刻和点附近单位体积，找到微观粒子的几率。

设为几率密度

-----（1-4）

由（4）式，可得出在有限体积，在时刻找到微观粒子的几率

-----（1-5）

如果将将的积分体积，扩充到微观粒子出现的整个区域，在整个区域找到微观粒子的几率，肯定是1。

即

-----（1-6）

由此容易求出常数的表式

-----（1-6）’

事实上,波函数乘上或除上某一常数，其结果只是改变波函数的振幅，并不改变在有限体积，在时刻找到微观粒子的几率。

因而，在量子力学中，为了简化，往往通过将替代

-----（1-7）

将常数从几率表式中除去。

这样在时刻，区域找到微观粒子的几率可写为

-----（1-8）

而-----（1-9）

在量子力学中，将（1-6）和（1-9）称为归一化条件。

将换成称为归一化。

使换成的常数，称为归一化常数。

满足关系式（1-9）的波函数，称为归一化波函数。

在量子力学中，描写微观粒子量子状态的波函数，还有一个重要的原理：

叠加原理。

根据叠加原理，若波函数，是描写微观粒子体系中的几个可能的量子状态的波函数，则由这些波函数线性叠加所得出的波函数

（）----（1-10）

也是这个微观粒子体系中的一个可能的量子状态。

为了演算方便和书写简化，在量子力学中，微观粒子的力学量常用算符表示。

例如，动量可用算符,,或表示

，----（1-11）

------（1-12）

角动量用算符表示

-----（1-13）

而角动量的分量的算符为

----（1-14）

动能用算符表示。

-----（1-15）

能量的算符为，它又称（哈密顿）算符。

当微观粒子的势能仅是粒子位置到力场中心距离的函数时，能量算符可写成

----（1-16）

在量子力学中，将表述微观粒子的状态和力学量的方式，称为表象。

微观粒子体系的一个态，既可用以坐标（包含的全部变量,,）为变量的波函数来描写，也可用以动量的波函数来描写

-----（1-17）

-----（1-18）

式中的是动量的本征函数，是的共轭复数。

-----（1-19）

称是在坐标表象的波函数，而称由（1-17）和（1-18）给出的是同一个态在动量表象中的波函数。

利用坐标表象中的波函数，就可求出处于一个态中所有微观

粒子的坐标在到之间的几率

-----（1-20）

同样，利用动量表象中的波函数，可求出处于一个态中所有

微观粒子的动量到之间的几率

-----（1-21）

前面说过,解（薛定谔）方程或（海

森伯）方程，可求出微观粒子的有关量子状态的波函数。

对于自由粒子，它的能量等于它的动能。

所以，它和动

量满足如下的关系式

-----（1-22）

而自由粒子的波函数是平面波，即

-----（1-23）

因而有-----（1-24）

对二次微分有

,

而

-----（1-25）

比较（24）、（25）两式和应用（22）式，可得到自由粒子的

波函数所满足的微分方程

-----（1-26）

对于在中心力场中运动的微观粒子，它的能量应是动能和势

能之和。

所以有

-----（1-27）

这样，（26）式应改写成

-----（1-28）

称（1-28）为波动方程，简称方程。

由于势能与时间无关，方程（1-28）可以简化。

设

----（1-29）

（1-19）是方程（1-28）的特解。

方程（1-28）的通解可以表示为许

多这样的解之和。

将（1-29）代入（1-28）：

，并用除

等式两边，可得

---（1-30）

显然，（1-30）右方是个与时间无关的常数。

故可用表示此常

数，即

或----（1-31）

于是有

----（1-32）

方程（1-31）的解为

将上式代入（1-29）中，并将常数包含到中，最后可得

（薛定谔）方程（28）的特解

------（1-33）

具有（1-33）形式的波函数所描写的状态，称为定态。

在定态

中的几率密度与时间无关。

方程（1-31）称为定态

（薛定谔）方程。

用乘方程（1-32）两边，且，可得

-----（1-34）

用乘方程（1-31）两边，可得

-----（1-34）’

比较（1-34）和（1-34）知，算符和算符[]

相当，作用在波函数上，都得到一个相同的数字乘

，即。

在量子力学中，将这种类型的方程为本征

值方程，称为算符的本征值，称为算符的本征函数。

在上述介绍的例子中，和这两个算符

的作用相同，同称为能量算符。

方程的特点是，各种表象中的波函数，都是时

间的函数。

例如，在坐标表象中，波函数与时间有关。

而

算符，，等都与时间无关。

在量子力学中，将波函数与时

间有关，算符与时间无关的表象，称为（薛定谔）

表象；而将另一种表象称为（海森伯）表象。

（海森伯）表象的特点是：

它的波函数与时间无关，

而算符与时间有关。

下面来说表象与表象之间的联系。

用表示表象中的波函数，用表示

表象中的波函数。

因为表象中的波函数

与时间无关，所以，始终等于初始状态的波函数即

。

至于在时刻,表象中的波函数，

可从下面的论述中得出：

前面已说过，在表象中描写体系状态的波函

数随时间变化的规律,满足方程

-----（1-35）

于是，知道了初始时刻的波函数后，就可由（1-35）式确

定何时刻的。

和的这种关系，可简化为

-----（1-36）

（1-35）和（1-36）中的、都是算符。

将（1-36）代入（1-35）

得

即-----（1-37）？

由式（1-36）知，算符应满足时

-----（38）

所以，由（1-37）式求出算符后，代入（1-36）式后，即可由

求出。

利用式（1-36），即可求得表象中的波函数

，与表象中的波函数之间的关联。

-----（1-39）

或-----（1-40）

是的共轭算符，。

在量子力学中，有一种不依赖于坐标系的选取或表象的选取，在任意坐标系中或表象中表示力学量的方法。

这种方法是由（狄拉克）引进的，他用他创造的（狄拉克）矢量符号表示波函数，并将它称为刃矢，简称刃。

若表示处于第A状态的波函数，则写成。

描写量子的状态，也可用另一种（狄拉克）矢量符号表示，并将它称为刁矢，简称刁。

表示处于第B状态的波函数，可写成。

刁在任一量子表象中的分量，是刃在同一量子表象中的共轭复数。

一个刃和一个刁的标积：

，在量子力学中定义为这两个矢量所对应的分量的乘积之和。

是一个数字，且和为共轭复数。

即

-----（1-41）

如果一个状态是算符（或一组相互对易的算符）的本征态（或本征矢），对应的本征值，我们把表示本征态的刃和刁写为和。

若的本征态对应的本征值只有一个，则可将这个本征态的刃和刁写为和。

和的正交归一化条件写为

-----（1-42）

若的本征值组成连续谱，则表示本征态的刃和刁：

和的正交归一化条件写为

-----（1-43）

在量子力学中，任何一个算符的全部本征函数，组成一个完整的微观粒子的量子体系，表示这些本征函数的本征态的刃（或刁）也组成一个完全系。

所以称组成完全系的刃（或刁），为表象中的基刃（或基刁）。

以表示算符的本征态（即基刃），表示某一状态的刃，这个态在表象中以波函数描写，就是刃在表象中的分量。

由于基刃组成一完全系，所以可按展开：

-----（1-44）

同样，若算符的基刃分，是在表象中的分量，-----（1-45）

根据（1-43）式连续基矢的归一化性质，可得

-----（1-46）

-----（1-46）’

由（1-44）、（1-46）和（1-45）、（1-46）’,可得

-----（1-47）

-----（1-48）

仔细研究（1-44）和（1-45）式容易发现，若是动量

本征矢在表象中的分量，的本征矢可按的本征矢展开即

则

----（1-49）

这样就可以将（1-44）、（1-45）之类的刃或刁写成符号的形式

------（1-50）

------（1-50）’

-----（1-51）

-----（1-51）’

类似（1-51）和（1-51）',可以将量子力学的关系式全

部用符号来表示。

设算符作用在刃上得到刃，则可写成

-----（1-52）

设算符有分立的本征谱，则和可按的基及展

开：

-----（1-53）

-----（