人教版初中数学九年级上册期中测试题学年广东省广州市花都区Word格式.docx
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9.(3分)已知二次函数y=﹣(x﹣1)2+m(m是常数),当x分别取﹣1,1,2时,对应的函数值y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1D.y2<y3<y1
10.(3分)如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°
后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2019的坐标为( )
A.(1,1)B.
C.
D.(﹣1,1)
二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分.)
11.(3分)若方程(m﹣1)x2+mx﹣3=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 .
12.(3分)点(﹣2,5)关于原点对称的点的坐标是 .
13.(3分)设x1、x2是方程x2﹣3x+2=0的两个根,则x1+x2﹣x1•x2= .
14.(3分)把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为 .
15.(3分)抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点,则AB的长为 .
16.(3分)如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°
,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为 .
三、解答题(本大题共9题,满分102分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤,)
17.(9分)解方程:
(1)(x+3)2﹣9=0
(2)x2﹣4x+3=0
18.(9分)如图,等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°
,点D为斜边AB上一点(不与A,B重合)连接CD,将线段CD绕点C顺时针方向旋转90°
至CE,连接AB,求证:
△AEC≌△BDC.
19.(10分)已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣1=0.
(1)对于任意的实数m,判断该方程根的情况,并说明理由.
(2)若x=﹣1是这个方程的一个根,求m的值及方程的另一根.
20.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(﹣4,1),B(﹣1,2),C(﹣2,4)
(1)将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1,并写出点B1的坐标;
(2)△A2B2C2和△A1B1C1关于原点O中心对称,请画出△A2B2C2,并写出点C2的坐标;
(3)连接点A和点B2,点B和点A2,得到四边形AB2A2B,试判断四边形AB2A2B的形状(无须说明理由).
21.(12分)知抛物线y=x2﹣4x+2
(1)此抛物线与y轴的交点坐标是 ,顶点坐标是 .
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线.
x
…
y
(3)结合图象回答:
若点A(6,t)和点B(m,n)都在抛物线y=x2﹣4x+2上,且n<t,则m的取值范围是 .
22.(12分)某单位为了创建城市文明单位,准备在单位的墙(线段MN所示)外开辟一处长方形的上地进行绿化美化,除墙体外三面要用栅栏围起来,计划用栅栏50米,设AB的长为x米,长方形的面积为y平方米.
(1)请求出y与x的函数关系式(不需写出自变量的取值范围)
(2)不考虑墙体长度,问AB的长为多少时,长方形的面积最大?
(3)若墙体长度为20米,问长方形面积最大是多少?
23.(12分)2018年非洲猪瘟疫情暴发后,今年猪肉价格不断走高,引起了民众与政府的高度关注,据统计:
今年7月20日猪肉价格比今年年初上涨了60%,某市民今年7月20日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱.
(1)问:
今年年初猪肉的价格为每千克多少元?
(2)某超市将进货价为每千克65元的猪肉,按7月20日价格出售,平均一天能销售出100千克,经调查表明:
猪肉的售价每千克下降1元,其日销售量就增加10千克,超市为了实现销售猪内每天有1560元的利润,并且可能让顾客得到实惠,猪肉的售价应该下降多少元?
24.(14分)
【问题提出】如图1,四边形ABCD中,AD=CD,∠ABC=120°
,∠ADC=60°
,AB=2,BC=1,求四边形ABCD的面积.
【尝试解决】
旋转是一种重要的图形变换,当图形中有一组邻边相等时,往往可以通过旋转解决问题.
(1)如图2,连接BD,由于AD=CD,所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°
,得到△DAB′,则△BDB′的形状是 .
(2)在
(1)的基础上,求四边形ABCD的面积.
[类比应用]如图3,四边形ABCD中,AD=CD,∠ABC=75°
,AB=2,BC=
,求四边形ABCD的面积.
25.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线顶点为C(1,2),且与直线y=x交于点B(
,
);
点P为抛物线上O,B两点之间一个动点(不与O,B两点重合),过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当PQ的长度为最大值时,求点Q的坐标;
(3)点M为抛物线上O,B两点之间一个动点(不与O,B两点重合),点N为线段OB上一个动点;
当四边形PQNM为平行四边形,且PN⊥OB时,请直接写出Q点坐标.
2019-2020学年广东省广州市花都区九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案.
【解答】解:
一次项系数为﹣1,
故选:
【点评】本题考查一元二次方程,解题的关键是正确理解一元二次方程的定义,本题属于基础题型.
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°
,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心;
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
C、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确;
D、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
【分析】直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案.
x2﹣2x=0
x(x﹣2)=0,
解得:
x1=0,x2=2.
【点评】此题主要考查了因式分解法解方程,正确分解因式是解题关键.
【分析】因为顶点式y=a(x﹣h)2+k,其顶点坐标是(h,k),对照求二次函数y=﹣(x﹣3)2+1最值.
∵二次函数y=﹣(x﹣3)2+1是顶点式,
∴顶点坐标为(3,1),函数的最大值为1,
【点评】考查了二次函数的性质,顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h,此题考查了学生的应用能力.
【分析】作AA′、CC′的垂直平分线,它们的交点为N点,从而得到正确选项.
如图,N点为旋转中心.
【点评】本题考查了旋转的性质:
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
【分析】先求出“△”的值,再根据根的判别式的内容得出即可.
x2﹣3x+4=0,
∵△=(﹣3)2﹣4×
1×
4=﹣7<0,
∴方程没有实数根,
【点评】本题考查了根的判别式,能熟记根的判别式的内容是解此题的关键.
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性,可求得答案.
∵y=3(x﹣4)2﹣2,
∴抛物线开口向上,故A不正确;
对称轴为x=4,故B正确;
当x=4时,y有最小值﹣2,故C不正确;
当x>4时,y随x的增大而增大,故D不正确;
B.
【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握抛物线的顶点式是解题的关键,即在y=a(x﹣h)2+k中,顶点坐标为(h,k),对称轴x=h.
【分析】设平均每天票房的增长率为x,根据第一天票房收入约8亿元,第三天票房收入达到了11.52亿元,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
设平均每天票房的增长率为x,
根据题意得:
8(1+x)2=11.52.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
【分析】根据二次函数图象开口方向向下,对称轴为直线x=1,然后利用增减性和对称性解答即可.
∵a=﹣1<0,
∴二次函数图象开口向下,
又∵对称轴为直线x=1,
∴x分别取﹣1,1,2时,对应的函数值分别为y2最小y1最大,
∴y2<y3<y1.
D.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,主要利用了二次函数的对称性和增减性,理解各点距离对称轴的远近是解题的关键.
【分析】根据图形可知:
点B在以O为圆心,以OB为半径的圆上运动,由旋转可知:
将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°
后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°
,可得对应点B的坐标,根据规律发现是8次一循环,可得结论.
∵四边形OABC是正方形,且OA=1,
∴B(1,1),
连接OB,
由勾股定理得:
OB=
由旋转得:
OB=OB1=OB2=OB3=…=
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°
后得到正方形OA1B1C1,
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°
,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°
∴B1(0,
),B2(﹣1,1),B3(﹣
,0),…,
发现是8次一循环,所以2019÷
8=252…余3,
∴点B2019的坐标为(﹣
,0)
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.也考查了坐标与图形的变化、规律型:
点的坐标等知识,解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法,属于中考常考题型.
11.(3分)若方程(m﹣1)x2+mx﹣3=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 m≠1 .
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解.
一元二次方程必须满足两个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0.
由这两个条件得到相应的关系式,再求解即可.
根据一元二次方程的定义可得:
m﹣1≠0,
m≠1,
故答案是:
m≠1.
【点评】此题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
12.(3分)点(﹣2,5)关于原点对称的点的坐标是 (2,﹣5) .
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y),即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数”解答.
根据关于原点对称的点的坐标的特点,
∴点(﹣2,5)关于原点过对称的点的坐标是(2,﹣5).
故答案为:
(2,﹣5).
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点,比较简单.
13.(3分)设x1、x2是方程x2﹣3x+2=0的两个根,则x1+x2﹣x1•x2= 1 .
【分析】由韦达定理可知x1+x2=3,x1•x2=2,代入计算即可;
x1、x2是方程x2﹣3x+2=0的两个根,
∴x1+x2=3,x1•x2=2,
∴x1+x2﹣x1•x2=3﹣2=1;
故答案为1;
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系;
牢记韦达定理是解题的关键.
14.(3分)把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为 y=﹣(x+1)2+3 .
【分析】抛物线的平移问题,实质上是顶点的平移,原抛物线y=﹣x2顶点坐标为(0,0),向左平移1个单位,然后向上平移3个单位后,顶点坐标为(﹣1,3),根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式.
根据题意,
原抛物线顶点坐标为(0,0),平移后抛物线顶点坐标为(﹣1,3),
∴平移后抛物线解析式为:
y=﹣(x+1)2+3.
【点评】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系.关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移,运用顶点式求抛物线的解析式.
15.(3分)抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点,则AB的长为 1 .
【分析】首先求出抛物线与x轴的交点,进而得出AB的长.
当y=0,则0=x2﹣5x+6,
x1=2,x2=3,
故AB的长为:
3﹣2=1.
1.
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点,得出图象与x轴交点是解题关键.
,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为 ﹣
.
【分析】连接OB,根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC=45°
,过点B作BD⊥x轴于D,然后求出∠BOD=30°
,根据直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=
OB,再利用勾股定理列式求出OD,从而得到点B的坐标,再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可.
如图,连接OB,
∵四边形OABC是边长为1的正方形,
∴∠BOC=45°
,OB=1×
=
过点B作BD⊥x轴于D,
∵OC与x轴正半轴的夹角为15°
∴∠BOD=45°
﹣15°
=30°
∴BD=
OD=
∴点B的坐标为(
,﹣
),
∵点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,
∴a(
)2=﹣
解得a=﹣
.
﹣
【点评】本题是二次函数综合题型,主要利用了正方形的性质,直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半的性质,勾股定理的应用,二次函数图象上点的坐标特征,熟记正方形性质并求出OB与x轴的夹角为30°
,然后求出点B的坐标是解题的关键.
【分析】
(1)利用直接开平方法求解可得;
(2)利用因式分解法求解可得.
(1)∵(x+3)2=9,
∴x+3=3或x+3=﹣3,
解得x1=0,x2=﹣6;
(2)∵x2﹣4x+3=0,
∴(x﹣1)(x﹣3)=0,
则x﹣1=0或x﹣3=0,
解得x1=1,x2=3.
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
【分析】由旋转的性质可得:
CD=CE,再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠ACE,再根据全等三角形的判定方法即可证明△AEC≌△BDC
∵将线段CD绕点C顺时针方向旋转90°
至CE,
∴∠ACB=∠DCE=90°
,DC=CE,
∴∠BCD=∠ACE
而BC=AC,
∴△AEC≌△BDC(SAS).
【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质、熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
(1)先计算根的判别式得到△=(﹣m)2﹣4×
2×
(﹣1)=m2+8,根据非负数的性质得到m2+8>0,即△>0,然后根据判别式的意义判断根的情况.
(2)把x=﹣1代入已知方程,得到关于m的一元一次方程,通过解该方程来求m的值.利用根与系数的关系求得另一根.
(1)方程有两个不相等的实数根,理由如下:
根据题意得△=(﹣m)2﹣4×
(﹣1)=m2+8,
∵m2≥0,
∴m2+8>0,即△>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)把x=﹣1代入方程,得:
2+m﹣1=0,
m=﹣1.
设方程的另一根为x,则﹣x=﹣
x=
则方程的另一根为
【点评】本题考查了根的判别式和方程的解的定义.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△<0时,方程无实数根.
上面的结论反过来也成立.
(1)利用网格特点和点平移的坐标规律写出A1、B1、C1的坐标,然后描点即可得到△A1B1C1;
(2)利用网格特点和关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标,然后描点即可得到△A2B2C2;
(3)证明四条相等且对角线相等可判断四边形AB2A2B为正方形.
(1)如图,△A1B1C1为所作;
点B1的坐标为(3,2);
(2)如图,△A2B2C2为所作;
点C2的坐标为(﹣2,﹣4);
(3)如图,四边形AB2A2B为正方形.
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:
根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.
(1)此抛物线与y轴的交点坐标是 (0,2) ,顶点坐标是 (2,﹣2) .
若点A(6,t)和点B(m,n)都在抛物线y=x2﹣4x+2上,且n<t,则m的取值范围是 ﹣1<m<6 .
(1)利用待定系数法配方法即可解决问题;
(2)利用描点法即可解决问题;
(3)根据二次函数的性质以及对称性