中考二次函数压轴试题分类汇编及答案.docx

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中考二次函数压轴题分类汇编

一．极值问题

1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；

（3）在

（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？

并求出所有满足条件的N点的坐标．

分析：

（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；

（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．

解：

（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），

根据题意得：

，解得：

，

则二次函数的解析式是：

y=﹣﹣x+1；

（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）．

∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，

则当x=﹣时，MN的最大值为；

（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，

即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，

即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：

x=1，

故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．

点评：

本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．

2.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）

（1）求该抛物线的解析式．

（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．

（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；

（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．

解答：

解：

（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，

得，

解得

∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．

（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，

∴A（﹣4，0），S△ABC=AB•OC=12．

设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△PBE∽△ABC，

∴，即，

化简得：

S△PBE=（2﹣x）2．

S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB•OC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2

=x2﹣x+

=（x+1）2+3

∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．

（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：

（I）当DM=DO时，如答图①所示．

DO=DM=DA=2，

∴∠OAC=∠AMD=45°，

∴∠ADM=90°，

∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；

（II）当MD=MO时，如答图②所示．

过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，

∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，

又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，

∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；

（III）当OD=OM时，

∵△OAC为等腰直角三角形，

∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．

∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．

综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．

点评：

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第

（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．　

二．构成图形的问题

1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C（O，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E2-1-c-n-j-y

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；

（2）设存在点K，使得四边形ABFC的面积为17，根据点K在抛物线y=-x2+2x+3上设点K的坐标为：

（x，-x2+2x+3），根据S四边形ABKC=S△AOC+S梯形ONKC+S△BNK得到有关x的一元二次方程求出x即可.．

（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y的值，确定出D坐标，将x=1代入直线BC解析式求出y的值，确定出E坐标，求出DE长，将x=m代入抛物线解析式表示出F纵坐标，将x=m代入直线BC解析式表示出P纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ，由DE与QP平行，要使四边形PEDQ为平行四边形，只需DE=PQ，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，检验即可．

解：

（1）由抛物线经过点C（O，4）可得c=4,①∵对称轴x==1，∴b=-2a，②，

又抛物线过点A（一2，O）∴0=4a-2b+c，③

由①②③解得：

a=,b=1,c=4．所以抛物线的解析式是y=x+x+4

（2）假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF、OF．

过点F分别作FH⊥x轴于H,FG⊥y轴于G．

设点F的坐标为（t,t2+t+4），其中O

∴△OBF=OB.FH=×4×（t2+4t+4）=一t2+2t+8,S△OFC=OC.FC=×4×t=2t

∴S四边形ABFC—S△AOC+S△OBF+S△OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12．

令一t2+4t+12=17，即t2-4t+5=0，则△=（一4）2-4×5=一4<0,

∴方程t2-4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F．

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠O），又过点B（4,0，）,C（0,4）

所以，解得：

，所以直线BC的解析式是y=一x+4．

由y=x2+4x+4=一（x一1）2+，得D（1，），

又点E在直线BC上，则点E（1，3），于是DE=一3=.

若以D.E.P.Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ,

设点P的坐标是（m，一m+4），则点Q的坐标是（m，一t2+m+4）．

①当O

由一m2+2m=，解得：

m=1或3．当m=1时，线段PQ与DE重合,m=-1舍去,

∴m=-3，此时P1（3,1）．

②当m4时，PQ=（一m+4）一（一m2++m+4）=m2—2m,

由m2—2m=，解得m=2±，经检验适合题意，

此时P2（2+，2一），P3（2一，2+）．

综上所述，满足条件的点P有三个，分别是P1（3,1），P2（2+，2-），P3（2—，2十）.

点评：

此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：

坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题．

2．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：

①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？

此时四边形PDCQ的面积是多少？

考点：

二次函数综合题．3338333

分析：

（1）根据一次函数解析式求出点A、点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式．

（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；

②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置．

解答：

解：

（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），

∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴D点坐标为（8，3），

将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，

解得：

，

故该二次函数解析式为：

y=x2﹣x﹣3．

（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，

解得：

t=．

即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．

②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，

∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，

当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：

=，

解得：

h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，

故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．

三．翻转问题

1．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．

（1）求k的值；

（2）当次方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；

（3）将

（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

考点：

二次函数综合题．.

分析：

（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；

（2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；

（3）根据图象的特点