人教A版理科数学《立体几何中的向量方法》最新高考总复习讲义教案Word格式文档下载.docx

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2．（2009·

西安第一次质检）如图，在正方体AC1中，M是棱DD1的中点，O是平面ABCD的中心，P是A1B1上的任意一点，则直线AM与OP所成角是

A.B.

C.D.

设正方体的棱长为2a，建立如右图所示的空间坐标系，则有A（2a,0,0），M（0,0，a），O（a，a,0）．

∵P是A1B1上任意一点，

∴不妨设P（2a，m,2a）（0≤m≤2a）．

∴＝（0,0，a）－（2a,0,0）

＝（－2a,0，a）

＝（2a，m,2a）－（a，a,0）＝（a，m－a,2a），

∴·

＝－2a×

a＋0×

（m－a）＋a×

2a＝0.

∴异面直线AM与OP所成角为.

∴选D.

D

3．如图，直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BCA＝90°

，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值为

A.B.

C.D.

以CB、CA、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立坐标系，

设BC＝CA＝CC1＝1，

则B（1,0,0），A（0,1,0），D1（，，1），F1（0，，1），

∴＝（－，，1），＝（0，－，1），

＝，||＝，||＝，

∴cos〈，〉＝.

A

4．如右图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝

A．2∶1B．3∶1

C．3∶2D．4∶3

在Rt△ABB′中，AB′＝AB·

sin＝AB.

在Rt△ABA′中，AA′＝AB·

在Rt△AA′B′中，A′B′＝＝AB.

∴AB∶A′B′＝2∶1，选A.

二、填空题

5．如右图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．

设PD＝a，则A（2,0,0），B（2,2,0），P（0,0，a），E（1,1，）

∴＝（0,0，a），＝（－1,1，）

由cos〈，〉＝，∴＝a·

，

∴a＝2.

∴E的坐标为（1,1,1）．

（1,1,1）

6．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．

如右图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，

则A（a,0,0），B（0，a,0），

C（－a,0,0），P（0，－，）．

则＝（2a,0,0），＝（－a，－，），

＝（a，a,0）．

设平面PAC的法向量为n，可求得n＝（0,1,1），

则cos〈，n〉＝＝＝.

∴〈，n〉＝60°

∴直线BC与平面PAC所成的角为90°

－60°

＝30°

.

30°

三、解答题

7．如右图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°

，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．

解：

以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则

B（0,0,0），A（2,0,0），C（0,2,0），D（0,2,1），E（0,0,2），F（1,0,1）．

∴＝（0,2,1），＝（1，－2,0）．

设平面BDF的一个法向量为

n＝（2，a，b），

∵n⊥，n⊥，

∴即

解得a＝1，b＝－2.∴n＝（2,1，－2）．

设AB与平面BDF所成的角为θ，

则sinθ＝cos〈，n〉＝＝＝，故AB与平面BDF所成角的正弦值为.

8．如下图所示的正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B（如下图

（2））．在下图

（2）中：

（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（2）求二面角E－DF－C的余弦值；

（3）在线段BC上是否存在一点P，使得AP⊥DE？

证明你的结论．

（1）在△ABC中，由E、F分别是AC、BC的中点，得EF∥AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF.

（2）以点D为坐标原点，DB、DC、DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D（0,0,0），A（0,0,2），B（2,0,0），C（0,2，0），E（0，，1），F（1，，0）．平面CDF的一个法向量为＝（0,0,2），设平面EDF的一个法向量为n＝（x，y，z），

则，即，取x＝3，则n＝（3，－，3），cos〈，n〉＝＝，∴二面角E－DF－C的余弦值为.

（3）设P（x，y,0），则·

＝y－2＝0，∴y＝，

又＝（x－2，y,0），＝（－x,2－y,0），

∵∥，∴（x－2）（2－y）＝－xy，∴x＋y＝2，

把y＝代入上式得x＝，∴＝.∴在线段BC上存在点P，使得AP⊥DE.

[高考·

模拟·

预测]

1．（2009·

成都模拟）如右图，设地球半径为R，点A、B在赤道上，O为地心，点C在北纬30°

的纬线（O′为其圆心）上，且点A、C、D、O′、O共面，点D、O′、O共线，若∠AOB＝90°

，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为

A.B．－

C.D.

分别以OB、OA、OD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，易得A（0，R,0），B（R,0,0），C（0，－R，R），D（0,0，R），∴＝（R，－R,0），＝（0，－R，R），∴cos〈，〉＝＝.∴选A.

重庆）已知二面角α—l—β的大小为50°

，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°

的直线的条数为

A．2B．3

C．4D．5

过P点作平面α、β的法向量n1、n2，过P有几条直线与α、β都成25°

角即是过P有几条直线与n1、n2都成65°

角．又∵α、β所成二面角为50°

，∴n1、n2夹角中锐角为50°

.相当于过P点有两相交直线n1、n2成50°

角，过P点与n1、n2都成65°

角的直线有3条，其中n1、n2所在平面内一条，平面外两条．

B

3．（2009·

上海模拟）设平面α与向量a＝（－1,2，－4）垂直，平面β与向量b＝（2,3,1）垂直，则平面α与β位置关系是________．

由已知a，b分别是平面α，β的法向量．

∵a·

b＝－2＋6－4＝0，

∴a⊥b，∴α⊥β.

垂直

4．（2009·

银川模拟）已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为________．

如下图建立空间直角坐标系，

则B（4,0,0），C（4,4,0），C1（4,4,2），

显然AC⊥平面BB1D1D，

∴＝（4,4,0）为平面BB1D1D的一个法向量．

又＝（0,4,2），

∴cos〈，〉＝

＝＝.

即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.

5．（2009·

全国Ⅰ）如右图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2.点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°

（1）证明：

M是侧棱SC的中点；

（2）求二面角S－AM－B的大小．

以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如右图所示的直角坐标系D－xyz.

设A（，0,0），则B（，2,0），C（0,2,0），S（0,0,2）．

（1）设＝λ（λ>

0），则

M（0，，），＝（，，）．

又＝（0,2,0），〈，〉＝60°

故·

＝||·

||cos60°

，即

＝，

解得λ＝1，即＝.

所以M为侧棱SC的中点．

（2）由M（0,1,1），A（，0,0），得AM的中点G（，，）．

又＝（，，－），＝（0，－1,1），＝（－，1,1）．

·

＝0，所以⊥，⊥.

因此〈，〉等于二面角S－AM－B的平面角．

cos〈，〉＝＝－.

所以二面角S－AM－B的大小为arccos（－）．

[备选精题]

6．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．

（1）求证：

EF⊥CD；

（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值；

（3）在平面PAD内是否存在一点G，使G在平面PCB上的射影为△PCB的外心，若存在，试确定点G的位置；

若不存在，说明理由．

以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如右图）．

设AD＝a，则D（0,0,0），A（a,0,0），

B（a，a,0），C（0，a,0），

E（a，，0），P（0,0，a），

F（，，）．

（1）∵·

＝（－，0，）·

（0，a,0）＝0，

∴⊥，∴EF⊥CD.

（2）设平面DEF的法向量为n＝（x，y，z），

由，得，

即，取x＝1，则y＝－2，z＝1，

∴n＝（1，－2,1），

∴cos〈，n〉＝＝＝.

设DB与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝.

（3）假设存在点G满足题意，

因为G∈平面PAD，可设G点坐标为（x,0，z）．

∵·

＝（a,0,0）·

（0，－a，a）＝0，

∴BC⊥PC.

在Rt△PBC中，

∵F为PB中点，∴F（，，）为Rt△PBC的外心，

＝（x－，－，z－）．

由·

＝（x－，－，z－）·

（a,0,0）

＝a（x－）＝0，得x＝.

（0，－a，a）

＝＋a（z－）＝0，得z＝0.

∴存在点G，其坐标为（，0,0），

即G点为AD的中点．