数学建模之微分方程建模与平衡点理论.docx

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数学建模之微分方程建模与平衡点理论

微分方程

列微分方程常用的方法：

（1）根据规律列方程

利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。

（2）微元分析法

利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。

（3）模拟近似法

在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

一、模型的建立与求解

传染病模型

（1）基础模型

假设：

t时刻病人人数连续可微。

每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为，时有个病人。

建模：

t到病人人数增加

（1）

（2）

解得：

（3）

所以，病人人数会随着t的增加而无限增长，结论不符合实际。

（2）SI模型

假设：

1.疾病传播时期，总人数N保持不变。

人群分为两类，健康者占总人数的比例为s（t）,病人占总人数的比例为i（t）。

2.每位病人每天平均有效接触人，为日接触率。

有效接触后健康者变为病人。

依据：

患病人数的变化率=Ni（t）（原患病人数）*s（t）（每个病人每天使健康人变为病人的人数）

建模：

（4）

由于

（5）

设t=0时刻病人所占的比例为，则可建立Logistic模型

（6）

解得：

（7）

用Matlab绘制图1，图2图形如下，

结论：

在不考虑治愈情况下

①当时达到最大值，这时

②时人类全被感染。

未考虑治愈情况。

（3）SIS模型

假设：

1.疾病传播时期，总人数N保持不变。

人群分为两类，健康者占总人数的比例为s（t）,病人占总人数的比例为i（t）。

2.每位病人每天平均有效接触人，为日接触率。

有效接触后健康者变为病人。

3.在所有病人中，每天有比例的人能被治愈，治愈后看作可被感染的健康者，传染病的平均传染期为。

依据：

患病人数的变化率=（患病人数的变化率）-（治愈率）

建模：

（8）

（9）

令为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数，。

则有

（10）

用Matlab绘制出（图3，图5）和i~t（图4，图6）。

结论：

为一个阈值。

①，极限值为增函数，的增减性由的大小确定。

②，病人比例越来越小，最终趋于0。

（4）SIR模型（某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力，不会再次被感染）

假设：

①总人数N不变，将人群分为健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他们在总人数中所占的比例依次为，，。

②为病人的日接触率，μ为日治愈率，为传染期接触数。

建模：

由假设1得

（11）

（12）

令t=0时健康者与病人所占比例分别为，则有

（13）

利用Matlab绘制出，（图7），（图8）图形，图形称为相轨线。

相轨线分析：

利用相轨线讨论解，的性质。

平面称为相平面，相轨线在其上的定义域为为

（14）

消去方程中的，并由得到

（15）

解得：

（16）

在定义域内，相轨线是上式所表示的曲线，如图9所示，其中箭头表示随着时间的增加和的变化趋势。

下面分析、和的变化情况（时它们的极限值分别记做和）

①不论初始条件如何，病人最终会消失，，证明：

首先，由式（13），，而，所以存在；由式（11），，而，所以存在；由式（11）得存在。

其次，若，则由式（11），对于充分大的有，导致，与存在相矛盾。

从图形来看，无论相轨线从何点出发，最终都将与轴相交。

②令式（16）中，则最终未被感染的健康者的比例是，为方程

（17）

在内的根，在图形上表示为相轨线与s轴在内交点的横坐标。

③若，则先增加，当时，达到最大值

（18）

然后减小且趋于0，单调减小至，如图中由出发的相轨线。

④若，则单调减小至0，单调减小至，如图中由出发的相轨线。

结论：

①若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延，则为一个阈值，时蔓延。

可以通过减小使，使传染病不蔓延。

②，减小时，增加，也能控制蔓延程度。

捕鱼模型

考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续．

①产量模型

假设：

为渔场中鱼量。

1.无捕捞时，鱼的的增长服从logistic规律，即

（19）其中：

表示固有增长率，表示环境容许的最大鱼量，表示单位时间的增长量。

2.用E表示单位时间捕捞率，单位时间捕捞量和渔场鱼量成正比，则有单位时间捕捞量为

（20）

建模：

捕捞情况下渔场鱼量满足

（21）

其中：

。

判断的稳定条件，求式（21）的平衡点，分析其稳定性。

令式（21）为0，得两个平衡点：

（22）

稳定性判断

当时，则点稳定，点不稳定。

当时，则点稳定，点不稳定。

分析：

用表示捕捞率，r表示固有增长率。

①当时，可使鱼量稳定在，获得稳定产量。

②当时，稳定，渔场干枯。

根据（19），（20）式分别绘制曲线及，使用Matlab绘制图形如下所示，

得两曲线交点为P，则P横坐标为稳定平衡点，纵坐标为稳定条件下单位时间的产量，当交点位于抛物线顶点时获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为，单位时间的最大持续产量为，捕捞率。

结论：

将捕捞率控制在固有增长率的一半，即使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时，能够获得最大的持续产量。

②效益模型（经济效益=总收入收入-成本）

假设：

鱼销售单价，单位捕捞率费用是，单位时间收入为，成本为，单位利润为，则有

（23）

建模：

在稳定条件下，将式（22）代入式（23）得

（24）

求出使利润最大的捕捞强度为

（25）

最大利润下的渔场稳定鱼量和单位时间的持续产量

（26）

（27）

结论：

当有最大效益时，捕捞率和持续产量都减小，渔场应保持的稳定鱼量增加，捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大的部分越大。

③捕捞过度：

封闭式捕捞追求利益最大，开放式捕捞只追求利润。

令式（24）中,解,则

（28）

当时，利润经营者加大捕捞强度，当，经营者减小捕捞强度，为盲目捕捞下的临界强度。

或利用Matlab绘制曲线如图（12），则交点横坐标即为。

二、微分方程与平衡点理论

一阶微分方程

设一阶微分方程为

（1）

求解方程即可出平衡点。

再判断平衡点是否稳定。

判断平衡点的常用方法有以下两种

（1）直接法

将在点作泰勒展开，仅取一次项，则得方程

（1）的近似线性方程为

（2）

所以，也是方程

（2）的平衡点。

令，则方程

（2）的一般解为

对于点的稳定性有如下结论：

如果，则对于方程

（2）和

（1）都是稳定的；

如果，则对于方程

（2）和

（1）都是不稳定的；

（2）间接法

如果存在某个邻域内的任意值，使方程

（1）的解满足

（3）

那么是稳定的，否则是不稳定的。

二阶微分方程

设二阶微分方程为

（4）

求出方程的解，即为二阶微分方程的平衡点记作

利用直接法判断平衡点的稳定性，由线性常系数微分方程组

（5）

得系数矩阵记

（6）

为求出方程（5）的惟一平衡点的稳定性，令A的行列式为

（7）

的稳定性可由方程（5）的特征方程的根决定。

即

（8）

方程（8）可以写为

（9）

用表示特征根，则。

方程（5）的一般解形式为

则当是负数或者有负实部时，为稳定平衡点；当有一个正数或者有正实部时，为不稳定平衡点。

在（7）的约束下不可能为0。