拉格朗日插值实验报告文档格式.docx
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0.401
0.5
f（x）
0.39894
0.39695
0.39142
0.38138
0.36812
0.35206
3算法原理与流程图
〔1〕原理
设函数y=在插值区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的插值节点a≤x0,x1,…,xn≤b上分别取值y0,y1,…,yn。
目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类Φ中，求一简单函数P（x），满足插值条件P（xi）=yi（i=0,1,…,n），而在其他点x≠xi上，作为f（x）近似值。
求插值函数P（x）的方法称为插值法。
在本实验中，采用拉格朗日插值法。
分段低次插值
当给定了n+1个点x0<
x1<
…<
xn上的函数值y0,y1,…,yn后，假设要计算x≠xi处函数值f（x）的近似值，可先选取两个节点xi-1与xi使x∈[xi-1,xi]，然后在小区间[xi-1,xi]上作线性插值，即得
这种分段低次插值叫分段线性插值，又称折线插值。
类似地，我们可以选取距离x最近的三个节点xi-1，xi与xi+1，然后进展二次插值，即得
这种分段低次插值叫分段二次插值，又称分段抛物线插值。
全区间上拉格朗日插值
对节点xi（i=0,1,…,n）中任一点xk（0≤k≤n），作一n次多项式lk（x），使它在该点上的取值为1，在其余点xi（i=0,1,…,k-1,k+1,…,n）上取值为零。
对应于每一节点xk（k=0,1,…,n），都能写出一个满足此条件的多项式，这样写出了n+1个多项式l0（x）,l1（x）,…,ln（x），其中
；
由条件
可得
于是我们可以得出如下的拉格朗日n次插值多项式〔对于全区间上的插值，n取函数表的长度〕
（2）流程图
分段线性插值分段二次插值全区间拉格朗日插值
4程序代码及注释
1、分段线性插值
%分段线性插值
functiony=piece_linear（x0,y0,x）
%x0，y0为点，x为待求点
n=length（x0）;
p=length（y0）;
m=length（x）;
%n，p，m分别为x0，y0，x长度
ifn~=p
fprintf（'
Error!
Pleaseinputagain!
\n'
）;
%x0和y0长度不等时，报错
else
fori=1:
m
z=x（i）;
sum=0.0;
l=0;
%给l赋初值,根据x的值确定l
ifz<
x0
（1）|z>
x0（n）
x（%d）isoutofrange!
i）;
break;
end
%当插值点超出围时，报错
forj=2:
n
x0（j）
l=j;
ifl~=0
%一旦l有非零值，那么终止循环,选出适宜的l
fork=l-1:
l
a=1.0;
fors=l-1:
ifs~=k
a=a*（z-x0（s））/（x0（k）-x0（s））;
sum=sum+y0（k）*a;
y（i）=sum;
y（%d）=%f\nx1=%.3fy1=%.5f,x2=%.3fy2=%.5f\n\n'
i,y（i）,x0（l-1）,y0（l-1）,x0（l）,y0（l））;
%输出插值结果和所需节点
2、分段二次插值
%分段二次插值
functiony=piece_square（x0,y0,x）
forj=1:
n-2
p=0.5*（x0（j）+x0（j+1））;
p
ifl==0
l=n-1;
%输入正确时，假设l还等于零，l=n-1
l+1
fprintf（'
y（%d）=%f\nx1=%.3fy1=%.5f\nx2=%.3fy2=%.5f\nx3=%.3fy3=%.5f\n\n'
i,y（i）,x0（l-1）,y0（l-1）,x0（l）,y0（l）,x0（l+1）,y0（l+1））;
%输出插值结果与所需节点
3、拉格朗日全区间插值
%拉格朗日全区间插值
functiony=lagrange（x0,y0,x）
%x0，y0为点，x为待求点
s=0.0;
fork=1:
p=1.0;
ifj~=k
p=p*（z-x0（j））/（x0（k）-x0（j））;
s=p*y0（k）+s;
y（i）=s;
y（%d）=%.5f\n'
i,y（i））;
%输出插值结果
5算例分析
1、测试例如
>
x=[1234];
y=[234];
y2=lagrange（x,y,x0）
y=[2345];
x0=[0.55.5];
x
（1）isoutofrange!
x0=[1.55.5];
y
（1）=2.50000
x
（2）isoutofrange!
y2=
2.500000000000000
2、首先输入函数变及待求点
x=[0.00.10.1950.30.4010.5];
y=[0.398940.396950.391420.381380.368120.35206];
x0=[0.150.310.47];
注：
保证在matlab工作目录中有三个.m文件
3、分段线性插值
y0=piece_linear（x,y,x0）
y
（1）=0.394039
x1=0.100y1=0.39695,x2=0.195y2=0.39142
y
（2）=0.380067
x1=0.300y1=0.38138,x2=0.401y2=0.36812
y（3）=0.356927
x1=0.401y1=0.36812,x2=0.500y2=0.35206
y0=
0.3940394736842110.3800671287128710.356926666666667
4、分段二次插值
y1=piece_square（x,y,x0）
y
（1）=0.394460
x1=0.100y1=0.39695
x2=0.195y2=0.39142
x3=0.300y3=0.38138
y
（2）=0.380225
x1=0.195y1=0.39142
x2=0.300y2=0.38138
x3=0.401y3=0.36812
y（3）=0.357247
x1=0.300y1=0.38138
x2=0.401y2=0.36812
x3=0.500y3=0.35206
y1=
0.3944603195488720.3802246915953730.357246844884488
5、全区间拉格朗日插值
y
（1）=0.39447
y
（2）=0.38022
y（3）=0.35722
0.3944728038780610.3802190624547320.357222112339485
6讨论与结论
1、使用tic,toc函数计算以下四种方法计算上述问题所运行的时间
Function
lagrange（x0,y0,x）
piece_linear（x0,y0,x）
piece_square（x0,y0,x）
运行时间（s）
0.000272
0.000375
从三次实验结果可知，三个程序的运行时间都很短。
2、程序优化
由分段线性插值和分段二次插值的原理，x取值在函数表围时，插值结果有意义，而当x取值在函数表围以外，利用分段线性插值公式仍可以进展运算并得到一个值，但其结果不准确；
分段二次插值那么无法找到三个适宜的点以求插值，不予以输出结果；
假设输入的函数表x与y的长度不相等，那么无法插值。
所以参加以下判断以提高插值的准确性
3、作图比较
上图为三种方法的插值曲线，其中x取0到0.5，步长为0.001，由图可得，三种曲线非常接近，这说明我们用拉格朗日插值计算所给点函数值的近似值时，引起的误差还是比较小的。
参考文献
[1]易大义，云宝，有法.计算方法（第2版），大学.p.29-53.
[2]琨高思超毕靖编著MATLAB2021从入门到精通电子工业
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