28现代数学及其发展Word格式.docx
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在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义（通常称为古典概率），并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数等，将概率论推向一个新的发展阶段。
到20世纪30年代，有关独立随机变量序列的极限理论日臻完备。
在这期间，由于实际问题的需要，人们开始研究随机过程。
1905年A．爱因斯坦和R．斯莫卢霍夫斯基各自独立地研究了布朗运动。
1907年马尔可夫提出了现今称之马尔可夫链的概念；
而马尔可夫过程的理论基础则由柯尔莫哥洛夫在1931年所确定。
莱维建立了独立增量过程的一般理论。
他的著作《随机过程与布朗运动》（1948）至今仍是随机过程理论的一本经典著作。
现代概率论的另外两个代表人物是J．L．杜布和伊藤清，前者创立了鞅论，后者创立了布朗运动和随机积分理论。
应用。
在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时产生级联（或倍增）现象，在研究电子一光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到最新过程的概念。
湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。
化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题，自动催化反应，单分子反应，双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程来描述。
随机过程理论所提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。
研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生勉模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等。
许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。
这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。
概率论进入其他科学领域的趋势还在不断发展。
值得指出的是，在纯数学领域内用概率论方法研究数论问题已有很好的结果。
在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率论方法。
2计算数学
计算数学是数学科学的一个分支。
它研究数值计算方法的设计、分析和有关的理论基础与软件实现问题。
另外，有一个较常用的名词“数值分析”，其包含的内容属于计算数学的一部分。
计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的、更有效的算法及其理论基础；
反过来，在许多数学分支的研究中开始探索运用计算的方法。
近年来，由于计算机的发展及其在各种科学技术领域的应用的推广与深化，计算性的学科新分支纷纷兴起，如：
计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算经济学以及众多工程科学的计算分支。
计算数学是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，因此，计算数学是一门兼具基础性、应用性和边缘性的数学学科。
历史沿革。
在每个人生活中的数学活动总是以记数和计算开始的，而且终其一生。
计算即便不一定是数学活动的全部，但总也是与生活联系最直接、最密切的一环。
在人类的数学发展历史上，计算也占有类似的地位。
数学最初源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。
中国古代数学曾有辉煌的成就，而尤以计算性和实用性见胜。
中国在公元前14世纪的商代就基本形成了十进的位值记数制，而在印度则直到公元6世纪才出现，流传到西方则更晚。
中国春秋战国时期就形成并发展了算筹，作为通用、有效的计算工具。
以后又改进演化成算盘，相应发展了珠算方法。
中式算盘及其变种在世界上许多国家一直沿用至今。
公元前2世纪中叶希腊阿基米德提出曲直转化极限趋近的方法，并据此算出有一定精确度的圆周率
值。
中国北魏的刘徽也独立地提出类似的思想，发展了“割圆术”，计算出
3．1416。
5世纪中国南北朝时代的祖冲之发展了缀术，据此算出更为精确的
值，领先世界1000多年。
在代数方程解法方面，中国古代有很高的成就，公元前1世纪汉代《九章算术》一书记载了开平方和开立方的算法，书中所述的解一元二次方程的盈不足法就是13世纪后在欧洲出现的“试位法”。
关于高次代数方程的近似解法在《九章算术》中已具雏形，宋代秦九韶（1247）和元代朱世杰（1303）给以发展完善，相当于近代的霍纳算法（1819）。
15世纪欧洲资本主义工商业兴起，科学技术有了新发展，数学发展的主要舞台移至欧洲。
以解析几何学及微积分学为标志，近代数学开始形成发展，数值计算方法也有相应的进步。
到了20世纪40年代，电子计算机诞生了，这是人类计算工具的一项革命性进展。
使得以前不能设想的、难度和规模都十分大的问题，在技术上成为可行的，也使原来分散在数学各分支的计算方法组合成一门新的数学科学——计算数学。
研究内客。
概括地说，整个计算数学研究的内容大致可分为两个大的方面：
离散型方程的数值求解；
连续系统的离散化。
计算数学理论的基本概念有：
误差、稳定性、收敛性、计算量、存贮量、自适应性等。
这些概念是用来刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性。
从数学问题的来源或类型看，计算数学则可包括数值代数、最优化计算、数值逼近、计算几何、计算概率统计、数学物理方程数值解等。
3数理逻辑
数学逻辑又称符号逻辑、理论逻辑或逻辑斯蒂，是数学的一个分支，是用数学方法研究的逻辑或形式逻辑。
20世纪第一本由D.希尔伯特与W阿克曼合著的著名的数理逻辑读本称数理逻辑为理论逻辑。
所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，使用已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法；
形式的公理方法也称为逻辑斯蒂方法。
由于数理逻辑的学科性质，它自然地成为一门数学，即逻辑数学。
用数学方法研究逻辑的系统的思想，一般溯源到G.W.莱布尼茨，萌发于古希腊的亚里士多德。
后经一些数理逻辑的先驱者沿着莱布尼茨的思想对数理逻辑进行了实质性的工作，从而使其逐步完善和发展起来。
另外一些逻辑，如时态逻辑、道义逻辑、认识逻辑等等，及其它学科中涉及逻辑问题而形成的“逻辑”，如量子逻辑、计算机逻辑、程序逻辑等等，如果承认它们都是逻辑，那也都是数理逻辑。
因为它们都是用数学工具和数学方法来研究的。
在进入70年代之后，由于科学技术的发展，在各领域中都涉及思维的逻辑规律问题，从各方面要求密集各种知识，澄清各种逻辑问题，因此，数理逻辑及其应用正在迅速地发展。
在这种情况下，最广义的数理逻辑的体系结构实在难以作出明确的刻画。
但是，从总的发展趋势看，对于最广义的数理逻辑来说，数学逻辑的内容是基础，是数理逻辑发展的重点。
4数理统计学
数理统计学是通过对样本的分析来推断某一总体的特性的科学，在生产生活中有着广泛的应用。
工厂要检查所生产一批罐头的质量，是否需要将所有的罐头都打开来一一检查？
很显然，这是不合理的，因为如果那样做，尽管所有罐头的质量都得到了检验，但同时也都被破坏了。
通常的做法是从生产的罐头中抽取一部分作为样本进行检查，由此来推断整批罐头（即要研究的总体）的质量。
如果要研究一个国家的人口问题，如平均身高、平均寿命等，往往从各个地区选取一部分人作为样本，对他们进行研究，因为要对整个国家的人口进行调查将需要大量的人力、物力。
要研究一个地区某一月份的平均降雨量，因为远古岁月中这一月份的降雨量没有记录，而以后的岁月又将是无穷无尽的，我们不可能统计完所有这一月份的降雨量，所以只能根据现有的资料对总体进行研究。
当然，数理统计学并不能提供一个准确无误的结论，而是帮助我们做出某种合理的推断和决策。
正因为这样，数理统计学在20世纪得到了极大的普及，几乎渗透到了各个领域，凡是有实验和数据之处，就会有数理统计学的存在。
5数论
数论是研究整数整除性为主的数学分支。
它与几何学一样，既是最古老的数学分支，又是始终活跃着的数学研究领域。
从方法上讲，数论可分为初等数论，解析数论与代数数论。
自然数可分成1、素数和复合数。
为了刻画自然数的基本规律，早在公元前4世纪，欧几里得证明，每个复合数都可以表成素数的乘积，并指出，如果素数因子从小到大，自左至右排列，则此种分解是唯一的。
这又称为算术基本定理。
素数分布是数论最早研究的课题之一。
欧几里得曾证明素数有无穷多个。
他还给出了求两个自然数的最大公约数的算法，即欧几里得算法。
大约在公元前250年，埃拉托斯特尼发明一种筛法，可以求出不超过某个自然数
的全部素数。
后来的素数表都是通过对这一方法略加改变而得出来的。
数论中求解的不定方程，大约是在公元250年，丢番图研究过这种方程，所以又称丢番．图方程。
最简单的不定方程为一次方程
，此处
为整数，且互素。
借助于欧几里得算法，可以求出它的解。
中国古代即有关于不定方程的研究记载，如五世纪的《张丘建算经》中的“百鸡问题”及《孙子算经》中的“物不知其数”都属于一次不定方程问题。
研究将整数表为某种整数之和的问题，这一数论分支称为堆垒数论。
如，研究将整数表为正整数的
次方幂之和的问题，属于华林问题范畴。
又如，每一不小于4的偶数恒可以表为两个素数之和，就是至今尚未解决的哥德巴赫猜想。
定义于自然数集上的函数，称为数论函数。
研究数论函数阶性质，也是数论的一个重要课题。
特殊类型的数，是数论最早研究的对象之一。
例如，形如
的数，称为费马数。
当
0，1，2，3，4，时，
都是素数。
P．de费马猜测
都表示素数，但L．欧拉证明了
能被641整除。
又例如，形如
（
为素数）的素数，称为梅森素数。
是否有无穷多个梅森素数，仍是没有解决的问题。
现已知道的梅森素数有30个，其最大者为
。
这是采用特殊的方法，并借助于电子计算机，于1985年发现的，它有65050位。
整数系数的代数方程的根，称为代数数；
其它的数则称为超越数。
超越数也是数论较早研究的课题。
例如，用初等方法可以证明
与
是超越数，用复变函数论可以证明
都是超越数。
但欧拉常数与
是否为超越数，都是迄今未解决的难题。
近50年来，电子数字计算机的产生与发展给科学技术带来了无比巨大而深刻的变革，这也使数论有了更广阔的应用途径。
6图论
图论是数学的一个分支，它以因
为研究对象．图论中的图是若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物问具有这种关系．因此，在这种图中，点的位置、线的长短曲直是无关紧要的．
图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题．在柯尼斯堡（前苏联加里宁格勒）的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接（图4）．
要寻找一条路线，经过所有的桥而每座桥只经过一次，最后返回到出发点．当然，这个问题无法找到答案．1736年，L．欧拉用点表示陆地，用连接两个点的线来表示桥，以图5代替图4，提出了第一个图论问题：
对给定的图，是否存在一条路线，使得通过每条线正好一次而能回到起点．他证明了：
当且仅当，图是连通的并且每个点都与
偶数条线相关联时，才存在上述路线（这路线称作欧拉圈）．图5虽然是连通的，但是每个点都与奇数条线相关联，所以并不存在欧拉圈．
1847年，G．R．基尔霍夫在建立电网络理论时，以图G（图6）代替电网络N（图7），提出了"
连通图"
、"
树"
支撑树"
等基本概念．
1857年，A．凯莱在研究饱和碳氢化合物（CnH2n+2）同分异构体的数目时，独立地提出了"
的概念．他把这一类化合物的计数问题抽象为计算某类树的个数问题．这一问题是图的计数理论的起源．
1859年，W．R．哈密顿提出了一种叫做"
旅行世界"
的游戏．把一个正十二面体的20个顶点看作20个城市（图8）．要寻找一条沿着多面体的边走的旅行路线，经过每个顶点正好一次，最后回到出发点．例如，l→2→3→……
→20→1就是一种走法．将这个问题推广到一般图上，即：
对给定的图是否存在一条路线，使得通过每个点正好一次，最后回到起点（即哈密顿圈），这就是
哈密顿问题．哈密顿问题在许多学科（如运筹学、计算机科学以及编码理论）中都有着广泛的应用．
1936年，D．柯尼希写出了第一本图论的书．经过几十年的广泛应用，促进了图论自身的发展．例如，W．T．塔特等发展了由H．惠特尼首先提出的拟阵理论，C．伯奇等发展了超图理论，P．爱尔特希发展了极图理论．另外，代数图论，拓扑图论等方面也有了很大的进展．
7模糊数学
生活中常常有这样的说法：
“小王是个高个子的人”，“他真年轻！
”，人们听完后就会对小王有一个大体的印象。
但假如进一步追问“多高才算高个子呢？
多少岁之前算年轻人？
”人们则往往很难准确回答。
我们学习过集合的有关概念，知道一个元素要么属于一个集合，要么不属于这个集合。
但如果设想将高个子的集合用图表示，则它的边界将是模糊的。
比如对于身高170cm的人，有人觉得他是一个高个子，有人则认为它不算高，换句话说，170cm的人在某种程度上属于高个子集合，比如具有70%属于高个子的程度。
像这样的现象在生活种处处可见，事实上人们的思维也是带有模糊特色的，例如我们往往从来人的身形这一模糊信息就可以判断出他是谁，而不必用尺子去精确测量。
模糊数学就是研究和处理模糊性现象的数学理论法。
模糊数学自1965年创立以来，发展到今天已有了许多分支，比如模糊拓扑、模糊逻辑、模糊控制等，在图像识别、自动控制、信息处理、经济学、社会学、生态学等许多研究领域得到了广泛应用，尤其在计算机飞速发展的今天，人工智能技术的开发更是与模糊数学紧密相关。
所有这些新技术的开发都为人们的生产生活提供了诸多便利。
8博弈论
下棋已成为许多人茶余饭后乐此不疲的一项业余爱好．既要对弈，就必有胜负．赢棋的奥妙是-个很值得研究的问题．而研究这类问题的学问就是博弈论，又叫对策论．
博弈论是20世纪20年代才发展起来的新兴学科，由冯·
诺伊曼等人的研究开始，最先被用于考虑经济问题和军事问题，之后也被用来解决一些社会问题．下面用一个简单的例子来看看博弈论是如何考虑问题的．
例如，两人轮流在国际象棋棋盘的空格内放入"
相"
棋，一方为黑棋，一方为白棋．当任何一方放"
棋时，要保证不被对方已放入的"
吃掉，谁先无法放棋子谁为输者．问谁为输者？
（国际象棋棋盘为8×
8格的方形棋盘，"
的走法为斜飞，格数不限）
答案是先走棋者输．具体策略是：
后走者以棋盘的一条竖直平分线为对称轴，将"
放在对方棋子的对称位置．这种策略对后走棋者来说是必胜策略．因为先走者走棋后，按策略，后走者总可以走棋，而且因为"
的斜飞规则，后走者的棋不可能吃先走者的棋，同时也还可能被先走者的棋吃掉．这样按策略走下去，先走者必输无疑．
9拓扑学
拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。
起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质（所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合）；
现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。
在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。
现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。
后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。
拓扑学起初叫形势分析学，这是G．W．莱布尼茨1679年提出的名词。
拓扑学这个词（中文是音译）是J．B．利斯廷1847年提出的，源自希腊文位置、形势与学问。
1851年起，B．黎曼在复变函数的研究中提出，为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。
从此开始了拓扑学的系统研究。
组合拓扑学的奠基人是H．庞加莱。
他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题。
他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。
拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。
实数的严格定义推动了G．康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念。
如：
聚点、开集、连通性等。
在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函数（即函数的函数）的概念。
把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限，这终于导致了抽象空间的观念。
拓扑问题的一些初等例子：
柯尼斯堡七桥问题（一笔划问题）。
一个散步者怎样才能走遍七座桥而每座桥只经过一次?
这个18世纪的智力游戏，被L．欧拉简化为用细线画出的网络能否一笔划出的问题，然后他证明了这是根本办不到的。
一个网络能否被一笔画出，与线条的长短曲直无关，只决定于其中的点与线的连接方式。
设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的，在它被弯曲、拉伸后，能否一笔画出的性质是不会改变的。
欧拉的多面体公式与曲面的分类。
欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数
、棱数
、面数
之间总有
这个关系。
由此可证明正多面体只有五种。
如果多面体不是凸的而呈框形（图33），则不管框的形状如何，总有
这说明，凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，通俗地说，框形里有个洞。
在连续变形下，凸体的表面可以变成球面，框的表面可以变成环面（轮胎面）。
这两者都不能通过连续变形互变（图34）。
在连续变形下封门曲面有多少种不同类型？
怎样鉴别他们？
这曾是19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题。
纽结问题。
空间中一条自身不相交的封闭曲线，会发生打结现象。
要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），或者问两个结能否互变（如图35中两个三叶结能否互变）。
同时给出严格证明，那远不是件容易的事了。
布线问题（嵌入问题）。
一个复杂的网络能否布在平面上而又不自相交叉？
做印制电路时自然会碰到这个问题。
图36左面的图，把一条对角线移到方形外面就可以布在平面上。
但图37中两个图却无论怎样移动都不能布在平面上。
1930年K·
库拉托夫斯基证明，一个网络是否能嵌入平面，就看其中是否不含有这两个图之一。
以上这些例子说明，几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。
这些性质与长度、角度无关，它们所表现的是图形整体结构方面的特征。
这种性质就是图形的所谓拓扑性质。
10运筹学
《史记·
高祖本记》中曾有这样一句话：
“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，大家此句也一定不会陌生，现代数学中的运筹学之名即是由此得来。
运筹学是这样一门数学学科，人们运用数学模型等科学的数量方法研究对人力、物力进行合理筹划和运用，寻找最优化的管理及决策。
运筹学也是一门综合性学科，它主要服务于经营管理部门。
因为面临的实际问题的多样性，运筹学不象其它数学学科一样具有一个整体的理论系统，而是包括许多分支学科，如数学规划、决策分析、排队论、对策论、计算机模拟等，各分支学科都有自己特定的研究对象、研究内容和发展方向。
运筹学研究的范围很广，几乎涉及生产生活的各个方面。
60年代以来，运筹学获得了长足的发展，被广泛应用于能源、预测、金融、医疗保健、计算机与信息系统等各个部门，已经能够处理一些大型的复杂问题，如军事问题、教育问题、人力资源管理问题、交通运输问题等。
11组合数学
组合数学又称组合学，是数学的一个分支，是研究“安排”的一门学科。
如果已经给定有限个或可数无限个物体，我们要按一定规则来安排时，自然会产生这样四个问题：
①符合要求的安排是否存在？
②这样的安排有多少种？
③怎样把这些安排做出来？
④怎样求出最优安排？
这就形成了组合数学中的存在问题、计算问题、构造问题和优化问题。
我国古代就能构造出一些组合结构。
早在大禹治水时（约公元前2200年）就发现一个“神龟”，背上有花纹，如洛书图所示，用阿拉伯数字写出就是一个三阶纵横图，即由1-9九个数组成三行三列的方阵，每行每列及每对角线三个数的和都等于15。
宋代杨辉造出过二项式系数间的基本而重要的关系，即杨辉三角形。
朱世杰得出了组合等式。
8
3
4
1
5
9
6
7
2
图3三阶纵横图
清代李善兰则证明了对一切正整数P，上述恒等式成立。
德国数学家和哲学家GW莱布尼茨于1966年在他的著作《论组合的艺术》中首次在近代数学的意义下使用“组合”一词。
从17世纪到20世纪30年代，组合数学受到娱乐、数论、概率论、化学等学科的推动而迅速发展，得到了一般的存在定理和计数原理，如抽屉原理及推论——拉姆齐理、母函数、递归关系的解法、容斥原理、波利亚计数定理等，还解决了一系列著名的组合学课题，如更列问题、家政问题、36军官问题等。
自20世纪以来，许多理论学科和应用学科向组合数学提出了大量的具有理论和实际意义的课题，促使它产生了许多新理论，如区组设计、组合优化、组合算法等，从而解决一系列理论上的以及与经济发展密切相关的课题
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