三角形三条边关系Word文档下载推荐.docx
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a
b+c=a
b+c<
根据上述结果，对前面提出的问题我们可以给予明确的答复：
不是所有的三条线段都能首尾须次连结成三角形的。
二、新授
请同学们阅读课本。
课本上写道：
“由三条线段首尾须次连结所组成的图形叫做三角形。
”这句话包含着什么样的图形？
包含表格中的图1、图2这样两个图形。
用这句话作为三角形的定义确切吗？
生：
不确切。
三角形的定义：
由不同在同一条直线上的三条线段首尾须次连结所组成的图形叫做三角形。
c
我们知道不是任何三条线段都能首尾须次连结且组成三角形的，可见三角形的三边之间存在着某种关系，你能发现这个关系吗？
两边之和大于第三边。
在图2和图3中，也存在着两“边”之和大于第三“边”的事实，可见“两边之和大于第三边”这个性质不是三角形这个图形所独有的。
因此这个性质还应该进一步强化。
用观察与归纳的方法所得结论并不一定正确，需要进一步用逻辑推理的方法加以论证，正确的才能成为定理。
那么怎样来证明呢？
已知：
如图4，在△ABC中，BC=a,CA=b，AB=c。
求证：
b+c＞a，c+a＞b，a+b＞c。
证明：
BC是连结B、C两点的线段，BACJ是连结B、C两点的折线。
因为，在所有连结两点的线中，线段最短，所以，b+c＞a；
同理可证c+a＞b，a+b＞c。
由这个定理可直接推出如下的定理，称为该定理的推论。
推论三角形任何两边的差小于第三边。
同学们若对推论进一步思考一番，就不难发现两边的差，有一个谁减谁的问题，显然较长的边减去较短的边才有意义。
那么应该怎样去写这个推论的已知与结论呢？
如图5，在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，且a≥b≥c。
a-b＜c，b-c＜a，a-c＜b。
对！
请同学们回去证明这个推论，下面我们进一步来讨论三角形边与边之间的关系，从三角形边相等或不等的角度上去考察三角形的边会出现哪几种情况？
有以下三种情况：
（1）三条边各不相等；
（2）有两条边相等；
（3）三条边都相等。
（总结）三边两两不等的三角形叫做不等边三角形[图6
（1）]。
三边中有两边相等的三角形叫做等腰三角形[图6
（2）]，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
三边都相等的三角形叫做等边三角形[图6（3）]。
AAA
BCBCBC
（1）
（2）（3）
图6
三角形按边分类可以分成几类？
（三类）
哪三类？
（不等边三角形，等腰三角形，等边三角形。
）
等边三角形中有没有两边相等？
（有。
能否算做等腰三角形？
（能。
那么等边三角形既可归入第二类等腰三角形，又可归入第三类等边三角形，这种分类是不科学的，应该加以修改。
分为两类：
不等边三角形；
等腰三角形等边三角形
底腰不等的等腰三角形
如果坚持要分为三类，又该怎么分？
（教师适当地启发：
问题的关键在于怎样区别等腰和等边。
三角形{底边和腰不等的等腰三角形；
等边三角形。
教案说明
三角形三边关系是很简单的，就几何事实而言也是很直观的，像这样的教学内容，应该怎样处理，才能有利于培养能力，训练思维呢？
首先，应该突出整体性，即深刻提示概念（三角形的定义）和理论（三边关系定理及推论）之间的逻辑联系，提示理论和方法之间的内在关系，把概念、理论、方法组织成一个结构明确、逻辑和谐的整体。
一种概念之所以得到发展，其原因在于概念的内涵中蕴含着矛盾，三角形定义中的矛盾表现在不是任何三条线段都能首尾须次连结而组成三角形的，这就预示着三角形三边间应存在着某种关系，一旦和线段长公理相综合，这个关系就会明显地展现出来。
另外，有了定理和推论，要想把理论转化为解题方法，还要注意到定理的等价命题及定理和推论的综合应用。
其次，在教学中应提示解决问题4思维过程。
思维过程和思维结果的辩证统一是“教”和“学”的双方都应遵循遥基本原则。
数学教学的过程应该是思维过程不断展开的过程，思维过程展开了，就会创造出许多有利于培养能力、训练思维的学习情境。
本课中，我们把思维的起点定在三角形概念上，随着矛盾的提示，思维的深入，力争达到内化，而这个三角形概念上，随着矛盾的提示，思维的深入，力争达到内化，而这个内化是在整体性、逻辑必然性的基础上完成的。
再次，应挖掘教材中有利于能力培养，思维训练的各种因素，以指导教学方法的设计。
本课中，课本所给出的三角形定义尚不严密，定理中的“任何”两字大有文章可做，定理和推论的获得没有完整的证明格式，以及如何对三角形进行合理地分类等，都是培养能力和训练思维的用武之地。
为此，在本课的教学过程中，考虑到要让学生在动手、动脑的基础上，去锻炼他们的归纳、概括能力，同时提高语言表述能力，并注重加强思维的严密性的训练和几何证明规范化的训练。
三角形三条边的关系
教学重点和难点
三角形三边关系的定理和推论是重点;
难点是三角形按边的关系进行分类的原则.
教学过程设计
一、三角形按边的关系分类
教师拿出事先准备好的三个三角形,从边的大小关系角度来让学生观察它们有什么区别?
教师注意引导学生从分类的原则——不重不漏的角度考虑三个图形的关系:
从而发现三角形按边的关系来分类只有以上三种情况.
教师给三个图中的三角形分别命名,并让学生叙述等腰三角形各部分的名称,启发学生总结三角形按边的相等关系分类如下:
强调等腰三角形是至少有两边相等的三角形,其中包括特殊情况:
底边和腰相等的等腰三角形——等边三角形.因此等腰三角形与等边三角形是一般与特殊的关系,并注意对不等边三角形的理解.
（投影）练习1将以下四种三角形的代表字母填写在图3-15中相应的位置:
A={三角形};
B={不等边三角形};
C={等腰三角形};
D={等边三角形}.
（投影）练习2判断下列说法的正确性.
（1）不等边三角形指不是等边三角形的三角形.
（2）三角形按边分有不等边三角形、等腰三角形和等边三角形.
通过此题，让学生对比等边三角形与不等边三角形的概念，纠正三角形分类时的习惯性错误.
二、动手实验，研究三角形三边的关系.
1.实验操作，深入理解三角形的定义.
（1）让学生用事先准备好的三根木棍动手拼成三角形，量出各边的长度，并回答三角形的定义.
（2）教师引导学生思考：
不在同一条直线上的任意三条线段“都”能首尾顺次相接吗？
让学生将手中三根木棍中最短的一根截去一小段，看是否还能首尾顺次相接，是否能组成三角形，连续进行此过程，得出两点：
①
有两种情况不能构成三角形.
当较短的两条线段之和小于第三条线段长时，三角线段未能首尾顺次相接；
当较短的两条线段之和等于第三条线段长时，三条线段能首尾顺次相接，但未能构成三角形.
②
不在同一条直线上的三条线段要能首尾相接构成三角形是有条件的，其中任意两条线段的长度之和必须大于第三条线段的长.
2.猜想并证明三角形的三边关系定理.
（1）继续刚才的问题，构成三角形后，三角形的三边满足什么关系？
得出猜想.
（2）启发学生利用“两点之间，线段最短”来推导定理，并写出定理的符号表示方法.
3.
演绎推理，发现推论.
三角形的两边之和大于第三边，那么两边之差呢？
观察定理的数学表示式，如何由定理得出问题的答案？
在△ABC中，BC>
AB>
AC，AB+BC>
AC，①BC+AC>
AB，②AC+AB>
BC.③
由移项可得出三角形两边之差与第三边的关系.
教师提醒学生，为使三角形两边之差为正数，在上述三个式子中，需要挑选合适的一个来证明所需要的结论，如要证明BC-AB与AC的关系，需选择③式变形为AC>
BC-AB.由此得出：
推论1三角形的两边之差小于第三边.
结合三角形三边关系的定理及推论1，可从另一角度概括出第三边的范围.
推论2三角形的第三边大于另两边之差的绝对值，且小于另两边之生.
（投影）练习3一个三角形的两边a=3，b=6,能确定第三边c的长度码？
能确定c的范围吗？
若c为偶数，能求出c的值吗？
答：
∵|b-a|<
c<
b+a,∴3<
9.
只能求出c的范围，若c为偶数，则c=4,6或8.
三、应用举例，变式练习
例1长度为下列各组数值的三条线段能否组成一个三角形？
为什么？
（1）6,10,4
（2）5,4,8（3）5,10,4（4）5,5,8（5）a=2m,b=3m,c=5m-1（m>
1）
教师板书
（1）、
（2）的格式，让学生练习其余题目.注意总结以下两点：
（1）事实上，当三条线段两两互不相等时，只要三条线段中较小的两条之和大于第三条，就可以判断它们能构成三角形.
（2）等腰三角形的一腰大于底边的一半.
（投影）练习4以4cm长的线段为底，1cm长的线段为腰，能否构成等腰三角形？
以1cm长的段线为底，4cm长的线段为腰呢？
通过此题，让学生总结出以下结论：
已知等腰三角形的三边时，若最短边大于最长边的一半，则最长边可能为底或腰；
否则最长边只可能为腰.
（板书）例2已知：
△ABC的周长是84cm,b=6（c-a）,a:
c=7:
8.求三边a,b,c的长.
分析：
将三角形三边的长看成三个未知数，题目分别提供了未知数所满足的三个等量关系，可翻译成三个方程.教师必须提早培养学生具备“列方程”的意识，而根据条件a:
8,最好利用设比使解方程的计算简化，最后还要检验是否能构成三角形.（板书详细过程）
设a=7κ,c=8κ,则b=6κ,代入①得：
a=28cm,b=24cm,c=32cm.∵28+24>
32,∴它们能构成三角形.
说明：
也可直接用代入消元法解这个方程.
（投影）练习5一个等腰三角形周长为组18cm.
（1）腰长的3倍比底边长的2倍多6cm.求各边长.
（2）已知其中一边长为4cm，求其它两边长；
若一边长为5cm呢？
（3）（机动）若底边长是偶数，求三边长.
（1）利用方程的观点列出关于腰长和底边长的方程组，等腰三角形的三边一般设两个未知数即可.设腰长为xcm，底为ycm，则
解得三边长分别为6cm,6cm,6cm.
（2）因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底，所以需要分类讨论.照课本过程讲解，答案为一解；
当一边长为5cm时，答案为两解：
5cm，8cm或6.5cm,6.5cm.
（3）设腰长为xcm,底边长ycm,由等腰三角形腰长和底边长的关系列出2x>
y.结合周长2x+y=18,代入消x后,将y的范围缩小为0<
y<
9,再用列举法得出答案:
y=2cm,4cm,6cm,8cm.
四、应用定理推导边的不等关系
例3（机动）已知:
如图3-17,在△ABC中,AD为BC边中线.求证:
AD+BD>
12（AB+AC）.
分析:
根据所要证的不等式的结构,选择恰当的三角形来运用三角形三边关系的定理,结合不等式的性质来进行推理.必要时可添加辅助线构造三角形运用三边关系定理.例题见补充题4
（1）.
证明∵AD为BC边中线,∴BD=DC,（三角形中线的定义）∴2（AD+BD）=2AD+2BD=（AD+BD）+（AD+DC）.
又∵在△ABD中,AD+BD>
AB,在△ADC中,AD+DC>
AC,即2（AD+BD）>
AB+AC,∴AD+BD>
五、师生共同小结
1.
三角形按边如何分类?
需防止什么错误?
2.
三角形三边满足什么关系?
三角形中的第三边在什么范围内?
如何判断三条线段能否构成三角形?
4.
计算三角形三边经常采用什么方法?
需要注意什么问题?
5.
（机动）怎样利用三角形三边的关系来证明三角形中线段的不等关系?
补充题:
1.三角形三条边的长分别是3,1-2m和8,求m的取值范围.（答:
-5<
m<
-2）
等腰三角形中,
（1）如果底边长为4cm,求腰长a的取值范围;
（2）如果腰长为4cm,求底边长b的取值范围.（答:
a>
2;
0<
b<
8）
等腰三角形底边长为5cm,一腰上中线把其周长分为两部分之差为3cm,求腰长.
（答:
8cm）
说明:
注意周长的概念,它不包括中线长.得出腰长后,需检查腰长与已知底边能否构成三角形,注意腰长需要大于底边之半.
D为△ABC内任一点.
求证:
（1）AB+AC>
BD+DC;
（2）DA+DB+DC>
（AB+AC+BC）;
（3）DA+DB+DC＜AB+BC+AC.
提示：
（1）延长BD交AC于E，在△ABE与△CDE中使用三边关系定理；
（2）连结AD，在△ABD，△ACD及△BCD中用定理；
（3）类比第
（1）问，三式相加.
1.三角形按边的关系分类对学生来说是难点,他们经常会把等边三角形与等腰三角形并列对待.因此,教师从三个三角形的例子正面引导学生对三角形三边的大小关系进行分类,并立即用两组练习从正、反两方面强化分类的层次性,以便有效地解决这类问题.
2.三角形三边的关系定理与三角形的定义有着密切的逻辑联系,教师应注意让学生发现定理的形成过程,从中对学生进行逻辑思维的训练,来提高能力.
3.利用定理或推论来证明三角形边的不等关系,可适当增加难度,教师也可将补充题改造成填空题,以便逐步培养证明不等关系.
三角形的内角和
（2）
教学分析重难点：
三角形内角和定理的证明；
定理及推论的应用。
1、叙述三角形内角和定理及其推论1。
2、什么叫做锐角三角形、钝角三角形、直角三角形？
3、三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，则此三角形是什么三角形？
1、三角形外角定义：
讲这一概念时，结合图形指明外角的三个特征：
（1）顶点在三角形的一个顶点上，
（2）一条边是三角形的一边，（3）另一边是三角形某一边的延长线。
（完了，给出一些反例）
2、三角形外角的性质：
由三角形内角和定理证明，容易得到下面2个推论：
推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论2三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
例题讲解：
例2 按课本P15页内容讲解。
解：
略
例3 分析：
按课本P15页内容讲解。
三角形全等的判定
（一）
（1）
教学重点和难点应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式.
一、
实例演示，发现公理
1．教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式.
2．在此过程中应注意以下几点：
（1）可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立.如图3-49（c）中，由AB=AC=3cm,可将△ABC绕A点转到B与C重合；
由于∠BAD=∠CAE=120°
，保证AD能与AE重合；
由AD=AE=5cm,可得到D与E重合.因此△BAD可与△CAE重合,说明△BAD≌△CAE.
（2）每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定.
（3）由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
3.画图加以巩固：
照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形,理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象.
二、提出公理
1.边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“SAS”，说明记号“SAS’的含义．
2．强调以下两点：
（1）使用条件：
三角形的两边及夹角分别对应相等．
（2）使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上．
3．板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程．
如图3-50，在△ABC与△A’B’C’中,（指明范围）
三、应用举例、变式练习
1．充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，
例1已知：
如图3-51，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD．求证：
△ABD≌△CBD．
分析：
将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等BD＝BD得到．
说明：
（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等．
（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）．
△ABD≌△CBD
因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB，CB夹两已知角的公共边BD．
（3）可将此题做条种变式练习：
练习1（改变结论）如图3-51，已知AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.求证：
AD=CD，BD平分∠ADC.
在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即AD=CD；
对应角相等∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC.因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等.
练习2（改变条件）如图3－51，已知BD平分∠ABC，AB＝CB．求证:
∠A＝∠C．
能直接使用的证明三角形全等的条件只有AB＝CB，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出．这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作．教师板书完整证明过程如下：
以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式．
（4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法．
练习3如图3-52（c），已知AB＝AE，AD＝AF，∠1=∠2．求证：
DB=FE．
关键由∠1＝∠2，利用等量公理证出∠BAD＝∠EAF.
练习4如图3-52（d），已知A为BC中点，AE
证：
BD=EC．
先选择BD和EC所在的两个三角形△ABD与△AEC，已知没有提供任一证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供．
四、师生共同归纳小结
1．证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？
边角边公理是哪三个
条件？
2．在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎样的？
你体会这样做有些什么优点？
3.证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条件？
课堂教学设计说明
1．课本第节内容安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问题.
2．本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标之一，目的是引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性.
3．本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目标之一，意在归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化.
4．教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练.
5．教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片（图3-52）提高课堂教学效率．教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系.
6．本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路——分析法和寻找非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤——准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达．学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。
节教学
3．8直角三角形全等的判定
教学重点和难点“斜边直角边公理”的掌握和灵活运用.
一、讨论直角三角形全等的判定方法
１．可用判定一般三角形全少的方法．
练习1判断以下各组直角三角形是否全等，为什么？
（1）两直角边对应相等的两个直角三角形；
（2）一边和一锐角对应相等的两个直角三角形.
（1）判定两直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件.
２由于直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形全等的四种判定方法对直角三角形都适用.
３由于直角三角形与一般三角形相比增加了一个特殊条件——直角，因此，判定直角三角形全等的条件可减弱到两个，“SSS”对直角三角形来说条件多余.
2．探求判定直角三角形全等的特殊方法.
（1）对直角三角形中的两对对应元素进行分类，探求有无判定全等的其它方法.
除练习1的
（1）和
（2）之外，还有以下两种情况：
两锐角对应相等；
斜边和一直角边对应相等.
（2）对第①句，由教师和学生手中的含30°
的直角三角板可说明它不成立，因此，判定直角三角形全等仍然至少需要一边对应相等.对第②句，通过画图寻找答案.
３．画图得出公理.
例1
如图3-80，已知线段a,c（a<
c）,画一个Rt△ABC,使∠C=90°
，一直角边CB=a,斜边AB=c.
注意选择合理的画图顺序来确定三角形的三个顶点：
画直角确定顶点C→在直角一边上截取线段a确定B点→以点B为圆心，线段c为半径作弧与另一直角边相交确定点A.
（1）教师按照教材所述，详细板书画法并作图.
（２）着重说明画出的直角三角形存在且唯一，因此，可以作为判定公理，称为“斜边、直角边公理”，简写为“HL”.
4．叙述公理，强调条件及格式.
“HL公理”的内容，说明它实际上就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，所以它只对直角三角形适用，对一般三角形并不一定成立，因此，在“HL公理”的使用过程中要突出直角三角形这个条件，对于图3-81，在Rt△ABC与Rt△AˊBˊC
二、应用举例
例2
如图3-82，在△ABC与
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