世纪金榜课时提升作业四十二 第七章 第一节Word格式文档下载.docx

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①空间中没有公共点的两条直线平行；

②互相垂直的两条直线是相交直线；

③既不平行也不相交的直线是异面直线；

④不同在任一平面内的两条直线是异面直线.

其中正确命题的序号是_________.

5.（2013·

南通模拟）下列四个条件中，能确定一个平面的有______（填写序号）.

①空间中的三点；

②空间中两条直线；

③一条直线和一个点；

④两条平行直线.

6.已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是________.

7.设P表示一个点，a,b表示两条直线，α,β表示两个平面，给出下列命题，其中正确命题的序号是_______.

①P∈a,P∈α⇒a⊂α；

②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β；

③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α；

④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.

8.如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在这个正方体中判断MN与DB的位置关系为_______.

9.已知线段AB，CD分别在两条异面直线上，M，N分别是线段AB，CD的中点，则MN_______

（AC+BD）（填“＞”“＜”或“=”）.

10.（能力挑战题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条.

11.对于四面体ABCD，下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）.

①相对棱AB与CD所在直线异面；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；

④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.

12.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，点E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为_______.

二、解答题

13.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ,CB的延长线交于M，RQ，DB的延长线交于N，RP,DC的延长线交于K，求证：

M,N,K三点共线.

14.（能力挑战题）在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°

，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°

.

（1）求四棱锥的体积.

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.

答案解析

1.【解析】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩平面ACB1=AC，

平面A1B1C1D1∩平面ACB1=l，∴AC∥l.

答案：

平行

2.【解析】由条件知当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；

若公共点不共线，则α，β重合.故①不一定成立；

②成立；

③成立；

④不成立.

2

3.【解析】∵AB⊂γ，M∈AB,∴M∈γ.

又α∩β=l，M∈l，

∴M∈β.

根据公理3可知，M在γ与β的交线上.

同理可知，点C也在γ与β的交线上.

C和M

4.【解析】没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；

互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；

既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③④正确.

③④

5.【解析】①错.应为空间中不共线的三点.②错，当两直线异面时不可以.③错，当这个点在直线上时不可以，故只有④正确.

④

6.【解析】若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；

若不共面，则直线AB与CD是异面直线.

平行、相交或异面

7.【解析】当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但aα,

∴①错;

当a∩β=P时,②错;

如图,∵a∥b,P∈b,∴P

a,

∴由直线a与点P确定惟一平面α,

又a∥b,由a与b确定惟一平面β,但β过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

【误区警示】解答本题时对平面性质不熟、不善于举出反例是致错的主要原因.

8.【解析】还原这个正方体如图，则MN和DB的位置如图所示.

由□BDNM知MN∥DB.

MN∥DB

9.【解析】如图所示，四边形ABCD是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN与AC，BD的关系，必须将它们转化到平面来考虑.取AD的中点为G，再连结MG，NG，在△ABD中，M，G分别是线段AB，AD的中点，则MG∥BD，且MG=

BD，同理，在△ADC中，NG∥AC，且NG=

AC，又根据三角形的三边关系知，MN＜MG+NG，即MN＜

BD+

AC=

（AC+BD）.

＜

10.【思路点拨】以A1D1，EF，CD为棱构造平行六面体解决.

【解析】先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线a，b，c，与直线a，b，c都相交的直线有无数条”这个结论的正确性.无论两两异面的三条直线a，b，c的相对位置如何，总可以构造一个平行六面体ABCD-A1B1C1D1，使直线AB，B1C1，DD1分别作为直线a，b，c，在棱DD1的延长线上任取一点M，由点M与直线a确定一个平面α，平面α与直线B1C1交于点P，与直线A1D1交于点Q，则PQ在平面α内，直线PM不与a平行，设直线PM与a交于点N.这样的直线MN就同时与直线a，b，c相交.由于点M的取法有无穷多种，因此在空间同时与直线a，b，c相交的直线有无数条.依题意，不难得知题中的直线A1D1，EF，CD是两两异面的三条直线，由以上结论可知，在空间与直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条.

无数

【变式备选】如图所示，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是________（填序号）.

（1）A，M，O三点共线

（2）A，M，O，A1不共面

（3）A，M，C，O不共面（4）B，B1，O，M共面

【解析】连结A1C1，AC，则A1C1∥AC，

∴A1,C1,A,C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，

∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，

∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，

同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.

∴A，M，O三点共线.

（1）

11.【解析】由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；

由顶点A作四面体的高，当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；

当DA=DB，CA=CB时，这两条高线共面，故③错误；

设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确.

①④

12.【解析】取D1C1的中点G，连结OF，OG，GE.

因为点O是底面ABCD的中心，F为AD的中点，

所以OF

CD，D1G

CD，即OF

D1G.

所以四边形OGD1F为平行四边形.

所以D1F∥GO，即OE与FD1所成角也就是OE与OG所成角.

在△OGE中，

所以GE2+OE2=OG2，即△GOE为直角三角形，所以

异面直线OE与FD1所成角的余弦值为

【变式备选】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长（包括底面边长）都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是_______.

【解析】如图，取AC中点G，连结FG，EG，则FG∥C1C，FG=C1C；

EG∥BC，EG=

BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角（或补角），

在Rt△EFG中，

13.【证明】∵M∈PQ，

直线PQ⊂平面PQR，M∈BC，直线BC⊂平面BCD，

∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，

即M在平面PQR与平面BCD的交线l上.

同理可证：

N，K也在l上，∴M，N，K三点共线.

14.【解析】

（1）在四棱锥P-ABCD中，

∵PO⊥平面ABCD，

∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，

即∠PBO=60°

在Rt△POB中，

∵BO=AB·

sin30°

=1，

又PO⊥OB，

∴PO=BO·

tan60°

=

，

∵底面菱形的面积

∴四棱锥P-ABCD的体积

（2）取AB的中点F，连结EF，DF，

∵E为PB中点，

∴EF∥PA.

∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或补角）.

在Rt△AOB中，

AO=AB·

cos30°

=OP,

∴在Rt△POA中，PA=

∴EF=

∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°

∴△ABD为正三角形.

又∵∠PBO=60°

，BO=1，

∴PB=2，∴PB=PD=BD，即△PBD为正三角形，

∴DF=DE=

∴

即异面直线DE与PA所成角的余弦值为