学年高中数学 第一章 集合 13 集合的基本运算学案 北师大版必修1Word格式文档下载.docx

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并集

由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”）

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

2.交集、并集运算的性质

（1）交集运算性质：

A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，（A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B，A⊆B⇔A∩B＝A，（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）．

（2）并集运算性质：

A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆（A∪B），B⊆（A∪B），A⊆B⇔A∪B＝B，（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．

[问题思考]

1．数学活动课上，小强说：

“若x∉（A∩B）,则x∉A且x∉B.”小刚说：

“若x∉（A∪B），则x∉A且x∉B.”这两个同学说的都对吗？

为什么？

提示：

A∩B是由既属于A又属于B的元素确定的集合，x∉（A∩B）可分三种情况：

x∉A且x∈B，x∈A且x∉B，x∉A且x∉B，即小强同学说的不正确．A∪B是由属于A或属于B的元素确定的集合，即A、B两集合的元素都在A∪B中，若x∉（A∪B），则必有x∉A且x∉B，即小刚同学说的正确．

2．当集合A与B没有公共元素时，A与B没有交集，对吗？

不对，当A与B没有公共元素时，A与B的交集为空集，即A∩B＝∅.

3．能否认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？

不能，因为A与B可能有公共元素，上述观点违背了集合元素的互异性．

讲一讲

1．

（1）设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于（　　）

A．{0,1}　　　B．{－1,0,1}

C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2}

（2）已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B.

[尝试解答]　

（1）选B　由已知M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1，0,1,2,3}，

∴M∩N＝{－2，－1,0,1}∩{－1,0,1,2,3}＝{－1,0,1}．

（2）分别在数轴上表示集合A和B，根据A∩B、A∪B的定义，由图知，

A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}．

若本例

（2）中集合B＝{x|x≤a}，求A∩B.

解：

因为A＝{x|－4≤x＜2}，

∴当a＜－4时，A∩B＝∅，

当－4≤a＜2时，A∩B＝{x|－4≤x≤a}，

当a≥2时，A∩B＝A＝{x|－4≤x＜2}．　　　　

解决此类题目首先应看清集合中元素的属性，是数集还是点集，并化简．然后再按下列规律进行运算：

（1）如果集合是有限集，则需先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交、并集的定义分别求出；

（2）如果集合中的元素是部分连续实数构成时，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但解答过程中需注意边界问题．

练一练

1．（重庆高考）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3}，则A∩B＝　　（　　）

A．{2}　　　　　B．{1,2}

C．{1,3}D．{1,2,3}

解析：

选C　A∩B＝{1,2,3}∩{1,3}＝{1,3}．

2．已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|x＞2}，试求A∩B和A∪B.

利用数轴易知A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|x≥1}．

2．已知A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，求p，q，r的值．

[尝试解答]　∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A.

将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝

－1.∴A＝{1，－2}．

∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，

∴B＝{－2,5}．∴4－2q＋r＝0且25＋5q＋r＝0.

解得q＝－3，r＝－10.故p＝－1，q＝－3，r＝－10.

应用集合的交集、并集求解参数或确定另外集合的关键是将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系，从而构造方程，不等式（组）等求解，但当出现交集为空集的情形，应首先讨论集合是否为空集．

3．设集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}时，求A∪B.

∵2∈A，

∴|a＋1|＝2.

∴a＝1或a＝－3.

当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3.

由集合中元素的互异性知a≠1.

当a＝－3时，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，

即集合B＝{－5,3,2}．

∴A∪B＝{－5,2,3,5}．

3．设A＝{x|x2－2x＝0}；

B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．

（1）若A∩B＝B，求a的取值范围；

（2）若A∪B＝B，求a的值．

[尝试解答]　由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.

∴A＝{0,2}．

（1）∵A∩B＝B，

∴B⊆A，B＝∅，{0}，{2}，{0,2}．

当B＝∅时，Δ＝4a2－4（a2－a）＝4a<

0，∴a<

0；

当B＝{0}时，

∴a＝0；

当B＝{2}时，

无解；

当B＝{0,2}时，

得a＝1.

综上所述，得a的取值范围是{a|a＝1或a≤0}．

（2）∵A∪B＝B，∴A⊆B，

又∵A＝{0,2}，而B中方程至多有两个根，

∴A＝B，由

（1）知a＝1.

解答此类题的关键是利用交集与并集的运算性质，A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A，将运算结果转化为两集合间的关系，从而构造方程或不等式求解．

4．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}．

（1）若A∪B＝B，求实数m的取值范围；

（2）若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．

（1）∵A∪B＝B，

∴A⊆B，

由图可得

∴－6≤m≤－2为所求范围．

（2）∵A∩B≠∅，

∴

∴－11＜m＜3为所求范围．

在2016年春季召开的校运会上，某班共有28名运动员参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛．同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的运动员．则同时参加田赛和球类比赛的有多少人？

只参加径赛的运动员有多少人？

[巧思]　设同时参加田赛和球类比赛的人数为x，利用Venn图和题设条件向图中填数，然后利用总人数为28得关于x的方程求解即可．

[妙解]　设参加径赛的运动员组成集合A，参加田赛的运动员组成集合B，参加球类比赛的运动员组成集合C.根据题意画出Venn图，如图所示．设同时参加田赛和球类比赛的人数为x.由题意，得

9＋3＋3＋（8－3－x）＋x＋（14－3－x）＝28，解得x＝3.

所以，同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的有9人．