线性代数实验Word文件下载.docx
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010-1
0013
所以x=2，y=-1，z=3
例1．6：
求解方程
A=[1-213;
2-3-17;
5-8-120];
rref（A）
10-50
01-30
0001
对应的方程为
显然，方程无解．
例1．7 求解方程
A=[34-3-6;
-1-124;
1212];
10-5-10
0136
0000
对应的方程为：
Z取任意值，得到的x，y，z都是方程的解，所以方程有无穷多个解．
（3）
2．用高斯消元法解下列方程组
（1）
（2）
2．7矩阵运算实验
Matlab语言的基本计算对象是向量和矩阵，而把数看作一维向量．
1．向量的表示
在Matlab中，向量的赋值可用下列分式：
a=[1，2，3，4，5]，>
b=[678910]
两种方法是等价的．还可以用生成的方法表示向量：
c=1：
2：
10
上面的式子生成以1开头，以2为步长，一直到小于等于10的最大整数
即c=[1，3，5，7，9]
一般，c=a：
c：
b生成向量
[a，a+c，a+2c，a+Nc]N为整数
使得b在a+Nc与a+（N+1）c之间
c=3：
-0．1：
2．53
生成[3，2.9，2.8，2.7，2.6，2.5]
2．矩阵的与运算
在Matlan中输入一个矩阵A＝
在Matlab提示符〉〉后面键入：
回车可得
A（i，j）表示矩阵中的元
，如
A（2，3）
6
再对变量B赋值一个矩阵
B=[1，3，2;
4，3，2;
6，4，5]
B=
132
432
645
求B的转置矩阵可键入：
B'
146
334
225
在Matlan中，矩阵的运算非常简单，如A＋B，3B，A＊B，可直接键入算式便可的结果：
A+B
255
888
131214
3*B
396
1296
181215
A*B
272121
605148
938175
2．特殊矩阵的输入
在Matlan中
A=zeros（n），B=ones（n），C=eye（n）
分别表示生成n阶零矩阵，n阶全1矩阵，n阶单位矩阵。
A=zeros（m，n），B=ones（m，n），C=eyem，（n）
分别表示生成m×
n阶零矩阵，m×
n阶全1矩阵，m×
n阶主对角线为1，其余为0的矩阵
例如：
eye（3，4）
1000
0100
0010
A＝rand（n），B=rand（m，n）
分别生成n阶标准均匀分布的伪随机矩阵和m×
n阶标准均匀分布的伪随机矩阵
A=rand（3）。
0．95010．48600．4565
0．23110．89130．0185
0．60680．76210．8214
（1）如c为一个向量，diag（c）生成对角矩阵，例如：
5
c=
12345
diag（c）
10000
02000
00300
00040
00005
（2）C=[AB]表示把A和B合并成一个矩阵（％号后面为注释语句，在程序中不运行）
例如
A=eye（3）;
%语句后面打分号，表示不显示结果，
B=ones（3，4）;
C=[AB]
C=
1001111
0101111
0011111
（3）size（C）为检查矩阵C的阶数语句，例如：
size（c）
36
从结果可知C为3×
6阶矩阵．
（4）求矩阵A的n次冪，可用A^n
A=[123;
213;
3，1，6]；
A^3
10962225
11061225
193107396
（5）求A的逆矩阵，用函数inv（A），例如：
3，1，6]
213
316
B=inv（A）
-0．50001．5000-0．5000
0．50000．5000-0．5000
0．1667-0．83330．5000
检证一下：
100
010
001
例2.13求解矩阵方程
解：
A=[1，3，2;
3，-4，1;
-3，6，7]；
B=[3，4，-1;
2，-3，6;
3，0，2]；
C=[156，-91，281;
-162，44，-228;
324，-100，494]；
X=inv（A）*C*inv（B）
X=
-2．00003．00001．0000
3．000012．00004．0000
2．00003．0000-1．0000
3．6行列式计算的Matlab实验
求方阵A的行列式调用函数det（A）行列式
例3.15求矩阵
的
A=[1，3，5;
2，4，2;
6，3，9]
A=
135
242
639
det（A）
-94
例3.16解下列方程组：
A=[1，1，1，1;
1，2，-1，4;
2，-3，-1，-5;
3，1，2，11]
1111
12-14
2-3-1-5
31211
b=[4，6，-7，17]'
b=
4
-7
17
x=inv（A）*b
x=
1．0000
Matlab可以进行符号运算，首先将式子将用到的符号用语句syms定义。
例3.17求行列式
的值
symsabcd
A=[a，b;
c，d]
[a，b]
[c，d]
a*d—b*c
例3.18求行列式
>
symsa
A=[1-a，a，0，0，0;
-1，1-a，a，0，0;
0，-1，1-a，a，0;
0，0，-1，1-a，0;
0，0，0，-1，1-a]
A=
[1-a，a，0，0，0]
[-1，1-a，a，0，0]
[0，-1，1-a，a，0]
[0，0，-1，1-a，0]
[0，0，0，-1，1-a]
ans=
1-2*a+2*a^2-2*a^3+2*a^4-a^5
4．7秩的计算、向量的正交化实验
1矩阵秩的计算
矩阵秩的计算是调用函数rank（）
A=[-10，4，-6，8;
4，-1，6，-2;
5，7，9，-6;
0，9，6，-2]
-104-68
4-16-2
579-6
096-2
rank（A）
3
向量组abcd的秩可用下列语句求出：
rank（[abcd]）
2向量组的线性相关性与最大无关组
对于一个m个向量组A是否线性相关，我们可以通过求向量组的秩来判断，如果rank（A）=m，则线性无关，如果rank（A）<
m，则线性相关．
例如，键入a，b，c，d四个向量
a=[1-124]'
;
b=[0312]'
c=[-33714]'
d=[4-1918]'
将a，b，c，d并为一个矩阵u：
u=[abcd]
rank（u）
３
u的秩为3，所以组a，b，c，d线性相关。
而使用下列语句，不仅可以求出t的行标准阶梯矩阵，还给出了线性无关向量组在原矩阵中的列数，这实际上就是最大无关组．
[tip]=rref（t）
u=
1004
0101
ip=
123
这表明u中第1，2，3列向量线性无关，即向量a，b，c线性无关
3.向量的内积与正交性
（1）求两个向量a，b的内积，可把a设为行向量，将b设为列向量，a与b作矩阵乘法求出a与b的内积。
a=[12-34]'
b=[2，-348]'
p=
16
（2）求向量a的模可调用函数norm（）
norm（a）
5．4772
（1）求向量a和b之间的交角
thita=acos（（a*b'
）/（norm（a）*norm（b）））
thita=
1．2630
要将线性无关的向量组a，b，c，d化为标准正交基，可先将向量组并为一个矩阵u，再调用正交分解程序[Q，R]=qr（），结果将矩阵u分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积．Q中前4个行向量，相当于施密特正交化方法得到的标准正交向量，加上最后一行补充的标准正交向量，构成五维线性空间的标准正交基．
例：
将线性无关的向量组a，b，c，d正交化，先对a，b，c，d赋值：
a=[1-1-111]'
b=[214-42]'
c=[5-4-371]'
d=[3，246-1]’；
再补充一个与a，b，c，d线性无关的向量e：
e=[23156]’；
合并个向量，再调用语句[Q，R]=qr[u]
u=[abcde]
[Q，R]=qr（u）
u=
12513
-11-423
-14-3-23
1-473-1
1213-1
Q=
-0．4472-0．5000-0．5000-0．0245-0．5472
0．4472-0．00000．0000-0．8320-0．3283
0．4472-0．5000-0．50000．02450．5472
-0．44720．5000-0．5000-0．39150．3830
-0．4472-0．50000．5000-0．39150．3830
R=
-2．23612．2361-8．9443-3．13052．2361
0-6．00002．00000．5000-3．0000
00-4．00000．5000-3．0000
000-4．0866-1．7129
0000-1．7510
验证：
Q'
*Q
1．0000-0．0000-0．0000-0．0000-0．0000
-0．00001．0000-0．00000-0．0000
-0．0000-0．00001．0000-0．0000-0．0000
-0．00000-0．00001．00000
-0．0000-0．0000-0．000001．0000
5.3解线性方程组的Matlab实验
线性方程组AX＝b的解,可以由其增广矩阵B＝［Ab］确定.
1.适定方程求解
n元线性方程组AX＝b有惟一解的充分必要条件是R（B）=R（B）＝n.
如A是n阶方阵，则
键入x=inv（A）*b便可得到解向量X；
还可以用矩阵的除法求解，x=A\b,这种方法的解的精度与运算时间都优于用逆阵方法求解.
如A不是n阶方阵，则用A的广义逆矩阵求解，A的广义逆矩阵用函数pinv（A）得到，键入x=pinv（A）*b便可得到解向量X.也可以用矩阵的除法求解，x=A\b.还可以将B化为阶梯矩阵T=rref（B）,T的最后一列前n行元便是解，
键入T=rref（B）;
X=T（1:
n,n）
例如,赋值一个方程组的增广矩阵B
B=[12341
02351
00351
000-10-20
1494-17]
A=B（1:
5,1:
4）；
b=B（:
5）；
％将系数矩阵与常数向量分离出来
x1=pinv（A）*b
x2=A\b
T=rref（B）
X3=T（1:
4,5）
三种方法都可求得方程组的解：
x1=
2.0000
0.0000
-3.0000
x2=
x3=
2
0
-3
2.超定方程求解
线性方程组AX＝b,当R（[Ab]）>
R（A）时方程无解，令e=AX-b,既不存在X使得e=0.在实际工程应用中，常常要求X,使得向量误差向量e的模达到最小，X被称为最小二乘解.用语句X＝pinv（A）*b或X=a\b求方程组AX＝b的最小二乘解，两种方法的结果可能不同，但误差向量e的模相等.
例5.7求超定方程AX＝b的最小二乘解
其中A＝
，
A=[1234;
1494;
1234];
b=[123]’;
x2=A\b
e1=A*x1-b
m1=norm（e1）
e2=A*x2-b
m2=norm（e2）
0.1117
0.1006
-0.0335
0.4469
0.5000
e1=
1.0000
-0.0000
-1.0000
m1=
1.4142
e2=
m2=
1.4142
3.欠定方程求解
欠定方程有无穷解，n元线性方程组AX＝b有无穷解的充分必要条件是R（B）=R（A）<
n
方程组AX＝b的通解由相应的齐次方程的通解加上非齐次方程的特解组成.
在Matlab函数null（A）可得到齐次方程解的基础解系，用y=pinv（A）*b可求出非齐次方程的特解.
例5.8求齐次线性方程组
的基础解系.
A=[11-1-1;
2-532;
7-731];
c=null（A,'
r'
）%‘r’表示输出结果以有理数的方式
0.28570.4286
0.71430.5714
1.00000
01.0000
说明:
c的两个行向量就是基础解系.
例5.9求非齐次线性方程组
的通解
A=[1-1-11;
1-11-3;
1-1-23];
b=[00-0.5]’
c=nul（A,’r’）
x=pinv（A）*b
11
10
02
01
0.1364
-0.1364
0.0455
-0.2273
由以上显示结果,可得方程组的通解为
6.6特征值、特征向量的计算与
矩阵对角化的Matlab实验
6.1求矩阵的特征值与特征向量
1.特征值与特征向量
求矩阵A的特征值调用函数d=eig（A）,如要求特征值与特征向量，则调用函数[V,D]=eig（A），V为方阵，D为由特征值构成的对角矩阵，V的第i列向量就是D的第i个对角元即第i个特征值所对应的特征向量.
例6.20求矩阵
的特征值与特征向量
A=[3-1-2;
20-2;
2-1-1]
eig（A）'
%转量是为了将特征值写成行向量形式.
[V,D]=eig（A）;
3-1-2
20-2
2-1-1
1.00000.00001.0000
V=
0.7276-0.57740.6230
0.4851-0.5774-0.2417
0.4851-0.57740.7439
D=
1.000000
000
001.0000
2．正定矩阵的判断
求出矩阵A的特征值，如特征值全大于零，则矩阵A为正定矩阵；
如特征值全小于零，则矩阵A为负定矩阵.
6.6.2矩阵的对角化
矩阵A可对角化的充要条件是，A是方阵，且A有n个线性无关的特征向量.
调用函数[V,D]=eig（A），如果矩阵V的行列式不等于零，则矩阵V可通过相似变换化为对角矩阵，即有
是对角矩阵.
如果矩阵V的行列式不等于零，矩阵A不能对角化，但仍可以通过相似变换化为Jordan矩阵.实现这一目的可调用函数[P,J]=jordan（A）,P是可逆方阵，J是Jordan矩阵.
例6.21化矩阵
为对角矩阵
A=[122;
212;
221]
[V,D]=eig（A）
122
212
221
0.60150.55220.5774
0.1775-0.79700.5774
-0.77890.24480.5774
D=
-1.000000
0-1.00000
005.0000
计算V的行列式:
det（V）
Ans=
-1.000
由于
所以矩阵A可对角化,即
例6.22求矩阵
的Jordan标准型.
A=[-1-26;
-103;
-1-14]
[P,J]=jordan（A）
-1-26
-103
-1-14
P=
-243
-100
-111
J=
110
如果矩阵A可对角化,调用[P,J]=jordan（A）后所得到的J将是对角矩阵.
如果A是对称矩阵，调用函数[P,D]=eig（A）的结果，P是正交矩阵，D是对角矩阵.可用正交矩阵P化A为对角矩阵.
例6.23用正交变换化对称矩
A=[122;
[P,D]=eig（A）
验证P为正交矩阵：
E=P'
*P
E=
1.0000-0.0000-0.0000
-0.00001.00000.0000
-0.00000.00001.0000
6.6.3求二次型的标准型
通过正交变换将二次型化为标准型，要先将二次型所对应的对称矩阵A求出，调用函数[P,D]=eig（A）将A对角化.
例6.24化二次型
为标准型.
A=[011-1;
10-11;
1-101;
-1110]
011-1
10-11
1-101
-1110
-0.50000.28870.78870.2113
0.5000-0.28870.21130.7887
0.5000-0.28870.5774-0.5774
-0.5000-0.866000
-3.0000000
01.000000
001.00000
0001.0000
d=P'
*A*P
d=
01.00000
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