线性代数实验Word文件下载.docx

1、 0 1 0 -1 0 0 1 3所以 x=2 ，y=-1， z=3例16：求解方程A=1 -2 1 3;2 -3 -1 7;5 -8 -1 20;rref（A） 1 0 -5 0 0 1 -3 0 0 0 0 1对应的方程为显然，方程无解例17求解方程 A=3 4 -3 -6;-1 -1 2 4;1 2 1 2; 1 0 -5 -10 0 1 3 6 0 0 0 0对应的方程为： Z取任意值，得到的x，y，z都是方程的解，所以方程有无穷多个解（3）2用高斯消元法解下列方程组（1） （2）27 矩阵运算实验Matlab语言的基本计算对象是向量和矩阵，而把数看作一维向量1 向量的表示在Matla

2、b中，向量的赋值可用下列分式： a=1，2，3，4，5 ， b=6 7 8 9 10两种方法是等价的还可以用生成的方法表示向量： c=1：2：10上面的式子生成以1开头，以2为步长，一直到小于等于10的最大整数即 c=1，3，5，7，9一般 ，c=a：c：b生成向量 a ，a+c，a+2c ，a+Nc N为整数使得 b 在 a+Nc 与a+（N+1）c 之间 c=3：-01：253生成 3，2.9 ， 2.8 ， 2.7 ， 2.6 ， 2.5 2矩阵的与运算 在Matlan中输入一个矩阵A 在Matlab提示符后面键入：回车可得A（i，j）表示矩阵中的元，如 A（2，3） 6再对变量B赋值一

3、个矩阵 B=1，3，2;4，3，2;6，4，5B = 1 3 2 4 3 2 6 4 5求 B的转置矩阵可键入： B 1 4 6 3 3 4 2 2 5在Matlan中，矩阵的运算非常简单，如AB ，3B，AB，可直接键入算式便可的结果： A+B 2 5 5 8 8 8 13 12 14 3*B 3 9 6 12 9 6 18 12 15 A*B 27 21 21 60 51 48 93 81 752 特殊矩阵的输入在Matlan中A=zeros（n） ，B=ones（n），C=eye（n） 分别表示生成n阶零矩阵，n阶全1矩阵，n阶单位矩阵。A=zeros（m，n） ，B=ones（m，n）

4、，C=eyem，（n） 分别表示生成mn阶零矩阵，mn阶全1矩阵，mn阶主对角线为1，其余为0的矩阵例如： eye（3，4） 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0Arand（n） ，B=rand（m，n）分别生成n 阶标准均匀分布的伪随机矩阵和mn阶标准均匀分布的伪随机矩阵 A=rand（3）。 09501 04860 04565 02311 08913 00185 06068 07621 08214（1）如c为一个向量，diag（c）生成对角矩阵，例如：5c = 1 2 3 4 5 diag（c） 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0

5、0 0 0 5 （2） C=A B表示把 A 和B合并成一个矩阵（号后面为注释语句，在程序中不运行）例如A=eye（3）; %语句后面打分号，表示不显示结果， B=ones（3，4）;C=A BC = 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1（3）size（C）为检查矩阵C的阶数语句，例如： size（c） 3 6从结果可知 C为36阶矩阵（4）求矩阵A的n次冪，可用 An A=1 2 3;2 1 3;3，1，6； A3 109 62 225 110 61 225 193 107 396（5）求A的逆矩阵，用函数 inv（A），例如：3，1，6 2 1

6、 3 3 1 6 B=inv（A） -05000 15000 -05000 05000 05000 -05000 01667 -08333 05000检证一下： 1 0 0 0 1 0 0 0 1例2.13 求解矩阵方程解：A=1，3，2;3，-4，1;-3，6，7；B=3，4，-1;2，-3，6;3，0，2；C=156，-91，281;-162，44，-228;324，-100，494；X=inv（A）*C*inv（B）X = -20000 30000 10000 30000 120000 4000020000 30000 -1000036 行列式计算的Matlab实验求方阵 A的行列式调用

7、函数det（A）行列式例3.15 求矩阵 的 A=1，3，5;2，4，2;6，3，9A= 1 3 5 2 4 2 6 3 9 det（A） -94例3.16 解下列方程组： A=1，1，1，1;1，2，-1，4;2，-3，-1，-5;3，1，2，11 1 1 1 1 1 2 -1 4 2 -3 -1 -5 3 1 2 11 b=4，6，-7，17b = 4 -7 17 x=inv（A）*bx = 10000Matlab 可以进行符号运算，首先将式子将用到的符号用语句 syms 定义。例3.17 求行列式的值 syms a b c dA=a，b;c，d a， b c， da*db*c例3.18

8、求行列式 syms aA=1-a，a，0，0，0;-1，1-a，a，0，0;0，-1，1-a，a，0;0，0，-1，1-a，0;0，0，0，-1，1-aA = 1-a， a， 0， 0， 0 -1， 1-a， a， 0， 0 0， -1， 1-a， a， 0 0， 0， -1， 1-a， 0 0， 0， 0， -1， 1-aans = 1-2*a+2*a2-2*a3+2*a4-a547 秩的计算、向量的正交化实验1 矩阵秩的计算矩阵秩的计算是调用函数rank（） A=-10，4，-6，8;4，-1，6，-2;5，7，9，-6;0，9，6，-2 -10 4 -6 8 4 -1 6 -2 5 7

9、9 -6 0 9 6 -2 rank（A） 3向量组 a b c d的秩可用下列语句求出：rank（a b c d）2 向量组的线性相关性与最大无关组对于一个m个向量组A是否线性相关，我们可以通过求向量组的秩来判断，如果rank（A）=m，则线性无关，如果rank（A）R（A） 时方程无解，令e=AX-b,既不存在X使得e=0.在实际工程应用中，常常要求X,使得向量误差向量e 的模达到最小，X被称为最小二乘解.用语句 Xpinv（A）*b 或 X=ab 求方程组 AXb的最小二乘解，两种方法的结果可能不同，但误差向量e 的模相等.例5.7 求超定方程AXb的最小二乘解其中A， A=1 2 3

10、4;1 4 9 4;1 2 3 4;b=1 2 3;x2=Abe1=A*x1-bm1=norm（e1）e2=A*x2-bm2=norm（e2） 0.1117 0.1006 -0.0335 0.4469 0.5000e1 = 1.0000 -0.0000 -1.0000m1 = 1.4142e2 =m2 =1.41423. 欠定方程求解欠定方程有无穷解，n元线性方程组 AXb 有无穷解的充分必要条件是R（B）=R（A）n方程组 AXb的通解由相应的齐次方程的通解加上非齐次方程的特解组成.在Matlab函数 null（A）可得到齐次方程解的基础解系，用y=pinv（A）*b可求出非齐次方程的特解.

11、例5.8 求齐次线性方程组的基础解系.A=1 1 -1 -1;2 -5 3 2;7 -7 3 1;c=null（A,r）% r表示输出结果以有理数的方式 0.2857 0.4286 0.7143 0.57141.0000 0 0 1.0000说明:c的两个行向量就是基础解系.例5.9 求非齐次线性方程组的通解A=1 -1 -1 1;1 -1 1 -3;1 -1 -2 3;b=0 0 -0.5c=nul（A,r）x=pinv（A）*b 1 1 1 0 0 2 0 1 0.1364 -0.1364 0.0455 -0.2273由以上显示结果,可得方程组的通解为6.6 特征值、特征向量的计算与矩阵对

12、角化的Matlab实验6.1 求矩阵的特征值与特征向量1.特征值与特征向量 求矩阵A的特征值调用函数 d=eig（A）,如要求特征值与特征向量，则调用函数V,D=eig（A） ，V为方阵，D为由特征值构成的对角矩阵，V的第i列向量就是D的第i个对角元即第i个特征值所对应的特征向量.例6.20 求矩阵的特征值与特征向量A=3 -1 -2;2 0 -2;2 -1 -1eig（A） %转量是为了将特征值写成行向量形式.V,D=eig（A）; 3 -1 -2 2 0 -2 2 -1 -1 1.0000 0.0000 1.0000V = 0.7276 -0.5774 0.6230 0.4851 -0.5

13、774 -0.2417 0.4851 -0.5774 0.7439D= 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 1.00002正定矩阵的判断求出矩阵A的特征值，如特征值全大于零，则矩阵A为正定矩阵；如特征值全小于零，则矩阵A为负定矩阵.6.6.2矩阵的对角化矩阵A可对角化的充要条件是，A是方阵，且A有n个线性无关的特征向量.调用函数V,D=eig（A），如果矩阵V的行列式不等于零，则矩阵V可通过相似变换化为对角矩阵，即有,是对角矩阵.如果矩阵V的行列式不等于零，矩阵A不能对角化，但仍可以通过相似变换化为Jordan矩阵.实现这一目的可调用函数 P,J=jordan（A）,P 是可逆方阵，J是

14、Jordan矩阵.例6.21 化矩阵为对角矩阵A =1 2 2;2 1 2;2 2 1V,D=eig（A） 1 2 2 2 1 2 2 2 1 0.6015 0.5522 0.5774 0.1775 -0.7970 0.5774 -0.7789 0.2448 0.5774D = -1.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 5.0000计算V的行列式:det（V）Ans= -1.000由于,所以矩阵A可对角化,即例6.22 求矩阵的Jordan标准型.A=-1 -2 6;-1 0 3;-1 -1 4P,J=jordan（A） -1 -2 6 -1 0 3 -1 -1 4P = -2

15、4 3 -1 0 0 -1 1 1J = 1 1 0如果矩阵A可对角化,调用P,J=jordan（A）后所得到的J将是对角矩阵.如果A是对称矩阵，调用函数P,D=eig（A）的结果，P是正交矩阵，D是对角矩阵.可用正交矩阵P化A为对角矩阵.例6.23 用正交变换化对称矩A=1 2 2;P,D=eig（A）验证P为正交矩阵：E=P*PE = 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.00006.6.3求二次型的标准型通过正交变换将二次型化为标准型，要先将二次型所对应的对称矩阵A求出，调用函数P,D=eig（A）将A对角化.例6.24 化二次型为标准型.A=0 1 1 -1;1 0 -1 1;1 -1 0 1;-1 1 1 0 0 1 1 -1 1 0 -1 1 1 -1 0 1 -1 1 1 0 -0.5000 0.2887 0.7887 0.2113 0.5000 -0.2887 0.2113 0.7887 0.5000 -0.2887 0.5774 -0.5774 -0.5000 -0.8660 0 0 -3.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000d=P*A*Pd = 0 1.0000 0