离散数学复习题Word下载.docx
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，其中Mn（R）为实数集n×
n阶矩阵结合，+，*是矩阵加法和乘法。
8．下列整数集对于整除关系都构成偏序集，而能构成格的是【B】。
A．{l，2，3，4，5}B．{1，2，3，6，12}
C．{2，3，7}D．{l，2，3，7}
9．结点数为奇数且所有结点的度数也为奇数的连通图必定是【D】。
A．欧拉图B．汉密尔顿图
C．非平面图D．不存在的
10．无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且【C】。
A．G中各顶点的度数均相等
B．G中各顶点的度数之和为偶数
C．G中各顶点的度数均为偶数
D．G中各顶点的度数均为奇数
11.设S={0，1}，*为普通乘法，则<
S,*>
是【B】。
A.半群，但不是独异点；
B.只是独异点，但不是群；
C.群；
D.环，但不是群；
12．设（A，+，×
）是代数系统，其中+，×
是普通的加法和乘法运算，能使（A，+，×
）成为环的集合A是【A】。
A．所有偶数组成的集合；
B．所有奇数组成的集合；
C．所有正整数组成的集合；
D．所有非负整数组成的集合。
13．设A={1，2，3}，则A上的二元关系有【C】个。
A．23；
B．32；
C．
；
D．
。
14．在【A】下有
A．
B、
C、
D、
15．下列结果正确的是【B】。
B．
C．
D．
16．设p：
我很累，q：
我去学习，命题：
“除非我很累，否则我就去学习”的符号化正确的是【B】。
A．┐p∧qB．┐p→q
C．┐p→┐qD．p→┐q
17．下列函数是双射的为【A】
A．f:
I
E,f（x）=2x；
B．f:
N
N
N,f（n）=<
n,n+1>
；
C．f:
R
I,f（x）=[x]；
D．f:
I
N,f（x）=|x|。
（注：
I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）
18．有向图中D=<
V,E>
，则
长度为2的通路有【D】条。
A．0；
B．1；
C．2；
D．3。
19．在一棵树中有7片树叶，3个度为3的结点，其余都是度为4的结点，则该树有【A】个度为4的结点。
A．1；
B．2；
C．3；
D．4。
20．下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是【B】
二、填空题
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.命题逻辑与谓词逻辑的区别是 。
2.谓词逻辑中，命题被分解为___________,_________两部分。
3.集合的常用表示方法有___________,___________,____________和图示法四种。
4.具有___________,___________和___________三种性质的二元关系叫等价关系。
5.n阶有向完全图的边数为_________,n阶无向完全图的边数为________。
6.如果一个图的每条边都是___________称为有向图，每条边都是称为无向图。
7.若图中存在____________________________的通路，该图称为半欧拉图。
8.有向图树T中，___________________称为根，__________________称为树叶。
9.设R是A上的二元关系，当有（a,b）∈R和（b,c）∈R时，必有,则称R为可传递的二元关系。
a
b
c
abc
bbc
ccb
10.设代数系统<
A，*>
，其中A={a，b，c},
则幺元是；
是否有幂等性；
是否有对称性。
11.能够判断______________________称为命题。
12.不包含任何联结词的命题叫做__________命题,至少包含一个联结词的命题叫做_________命题。
13.二元关系的表示方法有___________,___________,____________三种。
14.
（1）A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为
。
（2）设P，Q的真值为0，R，S的真值为1，则
的真值=。
（3）公式
的主合取范式为
15.
，*表示求两数的最小公倍数的运算（Z表示整数集合），对于*运算的幺元是，零元是。
16.将有向图D各边的方向去掉得无向图G,称G为D的____________。
17.若图中存在____________________________回路，该图称为欧拉图。
18.拉格朗日定理说明若<
H,*>
是群<
G,*>
的子群，则可建立G中的等价关系
R=。
若|G|=n,|H|=m则m和n关系为。
19．根据入射函数，满射函数，双射函数的定义填空。
设N是自然数集合，Z是整数集合，R是实数集合，则f1（N→N,f1（n）=n2）是函数；
f2（N→N,f2（n）=n+10）是函数；
f3（Z→Z,f3（z）=z+10）是函数；
f4（R→R,f4（r）=r+5.6）是函数；
f5（Z→{0,1},当z为偶数时，f5（z）=1;
当z为奇数时，f5（z）=0。
）是函数。
[填空题参考答案：
1.在命题逻辑中，原子命题是进行演算的基本单位，不再研究命题的内部结构。
而谓词逻辑的任务就是对原子命题作进一步的分析，研究其内部的逻辑结构。
2.个体词和谓词两部分。
3.列举法、叙述法、特定字母集和图表法。
4．自反性、对称性和传递性
5.n2和n（n-1）/2
6．有向边和无向边
7．一条通过图中各边一次且仅一次的通路。
8．入度为零的顶点称为根，出度为零的顶点称为叶子。
9．（a,c）∈R
10.a、否、有
11．能够判断内容真假的语句称为命题。
12．原子和复合。
13．表格法、矩阵法和图表法。
14.
（1）
（2）1；
（3）
15．不存在、e≠θ
16.底图
17．一条通过图中各边一次且仅一次的回路。
18．
、
19．入射 、 入射 、 双射 、 双射 、满射。
三、判断说明题
判断下列各题正误，正确的在题后括号内打“√”，错误的打“×
”，并说明其正确或错误的理由。
（一）判断下列语句那些是命题
1．我是工程师。
【√】
2．计算机有空吗？
【×
】
3．6是奇数。
4．太美妙了！
5.雪是白的。
6.我是大学生【√】
7.雪是黑的。
8.外星人是存在的。
9.请打开门！
10.这束花多么好看啊！
（二）下列函数中（1～5小题），哪些是单射函数，满射函数，双射函数。
其中N是自然数集合，I是整数集合，R是实数集合。
已知集合A=｛a,b,c｝，集合B=｛1,2,3｝,下列A→B的二元关系中，R1～R5哪些可以构成函数。
1．f：
N→N,f（n）=2n【单射】
2．f：
A→B,A={0,1,2},B={0,1,2,3,4},f（a）=a2【单射】
3．f：
I→I,f（i）=i+10【双射】
4．f:
I→I,f（i）=|i| 【既不是单射，也不是满射】
5.f:
I→{0,1},当I为偶数时，f（i）=0;
当I为奇数时，f（i）=1。
【满射】
6.R1=｛（a,1）,（b,2）,（c,3）｝【√】
7.R2=｛（a,3）,（c,2）,（c,1）｝【×
】
8.R3=｛（a,2）,（b,1）,（b,2）,（c,3）｝【×
9.R4=｛（b,1）,（c,3）｝ 【×
10.R5=｛（a,1）,（b,1）,（c,3）｝【√】
四、表述题：
将下列命题符号化
（一）命题逻辑符号化
1.我美丽而又快乐。
2.如果老张和老李都不去，他就去。
3.电灯不亮，当且仅当灯泡或开关发生故障。
4.王强工作努力且身体好。
5.我是本次校运动会的跳远或100米短跑的冠军。
6.只要有学习机会，我一定用功读书。
7.两个三角形全等，当且仅当它们的三个对应边相等。
8.如果不下雨，我不乘公交车上班。
（二）谓词逻辑符号化（论域为全部个体域）
1.小张不是学生。
2.所有的有理数都是实数。
3.小张大于18岁，身体健康，无色盲，大学毕业，则他可参加飞行员考试。
4.小王不是研究生。
37．他是跳高或篮球运动员
38.晓莉非常聪明和能干
39.若m是奇数，则2m是偶数。
［四、参考答案：
（一）
1.设P表示命题“我美丽”，Q表示命题“我快乐”。
则用符号表示命题为：
P∧Q
2.P表示“老张去”；
Q表示“老李去”；
R表示“他去”。
则（P∧Q）→R。
3.设P表示“电灯不亮”，Q表示“灯泡发生故障”；
R表示“开关发生故障”。
则P
（Q∨R）。
4.设P表示命题王强工作努力，Q表示命题王强身体好。
则用联结词表示复合命题为：
5.设P：
我是本次校运动会的跳远冠军
Q：
我是本次校运动会的100米短跑的冠军，则P∨Q。
6.设P：
有学习机会，Q：
我一定用功读书，则P→Q。
7.设P：
两个三角形全等，Q：
三个对应边相等，则P⇆Q
8.P：
下雨，Q：
我不乘公交车上班。
则┒P→Q。
（二）
1.令S（x）:
x是学生；
a:
小张；
则┐S（a）
2.设Q（x）:
x是有理数；
R（x）:
x是实数，则符号化为：
∀x（Q（x）→R（x））］
3.设A（x）:
x超过18岁；
B（x）:
x身体健康；
C（x）:
x色盲；
D（x）:
x大学毕业
E（x）:
x参加飞行员考试；
则A（a）∧B（a）∧C（a）∧D（a）→E（a）。
4.设A（x）:
x是研究生；
小王，则┒A（a）。
5.设A（x）:
x是跳高运动员；
B（X）:
x是篮球运动员；
a：
他；
则A（a）∨B（a）
6.设A（x）:
x非常聪明；
x能干；
晓莉；
则A（a）∧B（a）
7.A（x）:
x是奇数；
x是偶数；
m:
某整数；
则A（m）→B（2m）。
]
五、计算题
1．构造公式：
┒P∨Q的真值表
2.已知集合A=｛1,2｝,求集合A的幂集P（A）。
3.已知集合A=｛a,b｝,求集合A上的笛卡尔积A×
A.
4.知集合A=｛a,b,c,d｝,R=｛（a,a）,（a,c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,d）,（c,a）,（d,b）,（d,c）｝是A上的关系，试用矩阵表示法表示R。
5.试画出树叶权为1，2，3，5，7，12的最优二元树，并求出该树的权。
6.求公式（┒P∧Q）∨（P∧┒Q）的真值表。
7．已知集合A=｛1,2,3｝,求集合A的幂集P（A）。
8．已知集合A=｛a,b,c｝,求集合A上的笛卡尔积A×
A.
9．画出一个3阶有向完全图
10．（A，R）是偏序集，A={2，3，4，5，6，8，12，16，24}，R是A上的整除关系。
试写出A中的所有极大元和极小元，它有没有最大元和最小元？
［五、参考答案：
1.
P
Q
┒P∨Q
F
T
2.因为｜A｜＝2，所以A的幂集｜P（A）｜＝2＾2＝4。
P（A）＝｛Φ，｛1｝,{2},{1,2}｝
3.
A×
A={a,b}×
{a,b}={（a,a）,（a,b）,,（b,a）,（b,b）,}
4.A=｛a,b,c,d｝,R=｛（a,a）,（a,c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,d）,（c,a）,（d,b）,（d,c）｝
矩阵表示：
1 0 1 1
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 0
5.最优二元树为：
最优二元树的权为：
W=12+18+2*（7+11）+3*（5+6）+4*（3+3）+5*（1+2）=138］
6.
┒P
┒P∧Q
P∧┒Q
（┒P∧Q）∨（P∧┒Q）
7.因为｜A｜＝3，所以A的幂集｜P（A）｜＝2＾3＝8。
P（A）＝｛Φ，｛1｝,{2},{3},{1,2}{1,3},{2,3},{1,2,3}｝
8．
A={a,b,c}×
{a,b,c}={（a,a）,（a,b）,（a,c）,（b,a）,（b,b）,（b,c）,（c,a）,（c,b）,（c,c）}
9.
10．极大元为：
5，16，24；
极小元为：
2，3，5。
无最大和最小元。
六、证明题
1．设R是A上的反自反关系和可传递关系，证明R是A上的反对称关系。
2.若图G中恰有两个奇数顶点，则这两个顶点是连通的。
3.设A和B是集合，证明A∪（B-A）=A∪B。
4．R是集合X上的一个自反关系，求证：
R是对称和传递的，当且仅当
<
a,b>
和<
a,c>
在R中，则有<
.b,c>
在R中。
［六、参考答案：
1.证：
因为当a≠b，且（a,b）∈R时，必有（b,a）∉R,否则如果（b,a）∈R,根据传递性，应有（a,a）,（b,b）∈R,这与反自反矛盾。
故反对称性成立。
2.证：
设G中两个奇数度结点分别为u，v。
若u，v不连通，即它们中无任何通路，则至少有两个连通分支G1、G2，使得u，v分别属于G1和G2。
于是G1与G2中各含有一个奇数度结点，与握手定理矛盾。
因而u，v必连通。
3..证：
A∪（B-A）=A∪（B∩—A）
=（A∪B）∩（A∪—A）
=（A∪B）∩U
=（A∪B）
4．证：
“
”
若
由R对称性知
，由R传递性得
”若
，
有
任意
，因
所以R是对称的。
若
则
即R是传递的。
］
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