论文 数形结合在中学解题中的应用Word文档下载推荐.docx

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“大学生毕业论文的写作与文献资料查找”作者：

陈道兰）

一、选题的目的、意义及相关研究动态和自己的见解。

在现实世界中，形与数是不可分离的结合在一起的，这是直观与抽象的集合，感知与思维相结合的体现。

形与数相结合不仅是数学自身发展的需要，也是加深对数学知识理解，发展智力，培养能力的需要。

数形结合是解决数学问题的一个有力工具，也是中学数学中极为重要的基本方法之一，通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，缩短了思维链，简化了思维过程。

数形结合中的数应广义的理解为解析式，函数，复数等；

其中形可以是点集空间图形，进而使数形结合的思想方法焕发生机和活力，使应用的范围不断拓宽和深化。

由此可见，数形结合对发展学生由抽象到直观，再由直观到抽象的思维是多么的重要。

在数学教学中，数形结合思想偏重于将某些抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，这样就有助于把握数学问题的本质；

使用数形结合的方法很多问题便迎刃而解且解法简洁，运用数形结合思想不仅容易直观的发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，很大程度上简化解题过程，这在解选择题填空题时更显其优越，因此，我认为，作为教师要帮助学生逐步树立起数形结合的观点，并将这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思维工具。

二、课题的主要内容：

从数形结合在数的计算中的应用，在解方程中的应用，利用数形结合解不等式，利用数形结合思想求最值，利用数形结合思想求值域，利用数形结合确定参数取值范围，数形结合在集合证明中的应用，数形结合在解决复数中的应用，数形结合在逻辑思维中的应用等几个方面具体介绍数形结合思想在中学数学中的应用。

通过介绍这几方面的应用分析数形结合思想对提高学生能力，提高学生对数学知识的记忆，培养学生发散思维能力及创造思维能力，激发学生的学习兴趣，树立现代思维意识等方面的影响。

在此基础上结合自身的教学实践及教学思想总结数形结合思想在中学数学教学中的意义及对培养学生思维方式的意义。

三、研究方法、设计方案或论文撰写提纲：

论文采用理论分析与实践相结合的研究方法。

文章的主要提纲为：

1.前言部分；

2.简述数形结合思想；

3.数形结合思想在中学数学教学中的应用；

4.数形结合思想对学生思维的影响及对提高数学能力的帮助；

5.结论。

　摘要数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；

能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。

所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法。

通过“以形助数”和“以数辅形”这两大题型的具体分析，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，从而把问题优化，获得解决。

　　关键词

　　数形结合;

线性规划;

数量关系

　　Abstract

　　Combiningtheoperationwithfigureisthestudyofmathematicsandlearningtheimportantthinkingandproblemsolvingmethods,whichcansimplifycomplicatedproblems,specifytheabstractones,andturntheabstractshapesandthoughttobevisual,andisaccordinglyhelpfultograsptheessenceofmathematics.Thesocalledcombinationisanapproach,whichnotonlyanalyzemeaningofalgebra,butalsodisclosethesignificanceofgeometryaccordingtotheinsiderelationshipofconditionsandconclusions,andharmoniouslycombinestheformofnumberandspaceasone.Thisarticlewillsetforththetightcontactbetweenalgebraandgeometrythroughouttheanalysisoftwotypicalstyles“Geometryhelpsunderstandalgebra”and“Algebrahelpsunderstandgeometry”,inordertosolverelevantproblemswell.　

　　Keywords

　　Thecombinationofalgebraandgeometry;

Thelinearprogramming;

Quantitativerelationship

　　目录

　　1.引言1

　　2.以形助数,代数问题几何化2

　　2.1以形助数解决集合问题2

　　2.2以形助数解决取值范围问题3

　　2.3以形助数解决解含参数问题4

　　2.4以形助数解决不等式问题6

　　2.5以形助数求函数极值6

　　2.6以形助数在解析几何中的应用7

　　2.7借助于复平面上的点解决复数问题8

　　3．以数辅形,几何问题代数化8

　　3.1用代数方法解决平面几何问题8

　　3.2用代数方法解决立体几何的问题9

　　参考文献11

　　谢辞12

　　选题的背景和意义：

　早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。

我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。

17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。

后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如立方倍积、三等分任意角、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决。

即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用。

　　初等数学历来被划分为代数和几何两大分支,前者偏重于数的分析,而后者则偏重于形的研究.但是今天人们越来越认识到:

仅有代数的思想而无图形的直观,或者虽然有直观的图形而缺少数据的分析,许多数学问题都难以高质有效的解决.形是数的翅膀,数是形的灵魂.华罗庚先生曾指出:

“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事休.”

　　数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面,高中阶段用的较多的是以形助数,在选择、填空题的解答中更能体现其优越性。

　　研究的基本内容和拟解决的主要问题：

　　主要研究数形结合思想在中学数学解题中的应用。

解方程和解不等式问题中,在求函数的值域、最值问题中,在求复数和三角函数问题等等。

数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;

另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,能避免复杂的计算。

重难点是注意培养这种思想意识,争取胸中有图,见数想图。

开拓自己思维的视野，加大解题的透明度,避开繁琐的运算,降低解题的难度。

　　研究方法及措施：

　　数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的。

数形结合的实质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系，数形结合就是抓住数与形之间的联系，以“形”直观的表达数，以“数”精确的研究形。

数与形又是一对矛盾，它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，数形结合思想的应用形式大体可分为代数问题的几何解法与几何问题的代数解法两个方面。

常用的关系有：

实数与数轴上的点的对应关系；

函数与图像的对应关系；

曲线与方程的对应关系；

以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等。

1794

　　数形结合思想在解题中的应用+文献综述+毕业论文

　　“数形结合思想在解题中的应用”文献综述

　　学生姓名：

郭顺宗指导教师：

冯国

摘要：

早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。

　数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，数形结合可谓珠联璧合。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：

第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；

第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；

第三是正确确定参数的取值范围。

数与形是中学数学研究的两类基本对象，相互独立，又互相渗透。

尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密，而且在数学应用中若就数而论，缺乏直观性，若就形论缺乏严密性，当二者结合往往可优势互补，收到事半功倍的效果。

　　关键词：

数形结合；

数形转化；

解决问题；

基本对象

　　我在网上浏览了数百篇学术期刊，下载了一百余篇有关的文章，研读了五十余篇。

根据我的论文，概括得数形结合可分以下三类：

　　1，以形助数

　　“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性．才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，在直观中理解数学概念、构建数学模型借助图形的直观性将抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感，从已有的知识经验出发，亲历将实际问题抽象成数学模型．为理解数学概念奠定基础。

通过以“形”助“数”．突出图的形象思维，促进形象思维与抽象思维的有机结合，化繁为简，化难为易．用多种感觉器官充分感知，在形成表象的基础上进行想象、联想，达到最终理解数学概念．解决数学问题，形成数学思想的目的。

　　数形结合思想在解题中的应用

　　ApplicationoftheFigureandShapeCombinationinSolvingProblems

　　　　1.引言

　　数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的。

把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法。

　　早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。

我国宋元时期，系统地引进了几何问六^维-论~文.网题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。

17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、方程与曲线之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。

后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如三等分任意角、立方倍积、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决。

　　沟通数与形的内在联系，不仅使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数学和数学分析的课题具有了明显的直观性，在数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题的具体情形，或者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以数助形或以形助数，使数学问题简单化、抽象问题具体化。

　　数学学习中，不单纯是数的计算与形的研究，更多的是用数形结合思想解题。

恩格斯曾说过：

“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。

”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。

华罗庚先生说过：

“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

”应用数形结合解题时要注意以下两点：

其一，注意数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题应是等价的；

其二，注意利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。

有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。

　　数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题生动化、直观化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;

要注意培养这种思想意识,争取胸中有图,见数想图,以开拓自己思维的视野。

数形结合的思想方法常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域、最值问题中,在求复数和三角函数问题中。

　　以下就对数形结合思想在解题中的应用从“以形助数”和“以数辅形”这两方面试做一番探讨。

　　2.以形助数,代数问题几何化

　　几何直观能够启迪思路，帮助理解。

因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中

　　的重要方向

　　2.1以形助数解决集合问题

　　图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。

　　例:

某校由学六^维-论~文.网参加的球类运动队中，喜欢打篮球的有，欢打排球的有，欢踢足球的有.既喜欢打篮球又喜欢打排球的有既喜欢打排球又喜欢踢足球的有，即欢踢足球又喜欢打篮球的有问同时喜欢这三类球的有多少人？

（图）

分析：

如上图所示，同时喜欢三类球的有x人（阴影部分），喜欢打篮球的有：

人，只喜欢打排球的有：

人，只喜欢踢足球的有：

人，根据题意，得：

模型．为理解数学概念奠定基础。

　　分析：

　　解之

　　故同时喜欢这三类球的有人。

　　2.2以形助数解决取值范围问题

若集合集合且则的取值范围为多少？

（图）

显然表示为圆心以为半径的圆在轴上方的部分，（如图），表一条直线，其斜率，纵截距为，由图形容易知道，欲使得

　　，即是使直线与半圆有公共点，显然的最小逼近值为，最大值为，即。

　　例：

若二次函数的图象过原点,且

　　求的取值范围。

　　（图）

　　解:

∵的图象过原点,

　　∴设（a≠0）

　　∴得线性约束条件，

　　其可行域（如图3）所示:

　　∴取目标函数由图可知；

　　当直线L:

过点时,

　　当直线L过点时,所以。

　　点评:

对于某些与函数有关问题,若善于利用已知条件构造线性约束条件,将问题转化为线性规划问题求解,有时能起到事半功倍的效果。

　　2.3以形助数解决解含参数问题

如图2,抛物线与轴交于、两点,点在点的在侧,与轴交于点,且,求的值。

张握共

　　分析:

此题单从字面上看,枯燥无味,会束手无策,但若根据题意画出图形,再根据抛物线与两坐标,轴的交点的基本概念,就可以分析得出、、三点的坐标,也就是从分析:

此例通过数形结合,准确地找到解决问题的途径,揭示其解题规