第四章 三角形与四边形 第3讲 四边形与多边形文档格式.docx
《第四章 三角形与四边形 第3讲 四边形与多边形文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章 三角形与四边形 第3讲 四边形与多边形文档格式.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
12．（2012年江苏泰州）如图X4－3－9，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：
四边形ABCD是平行四边形．
图X4－3－9
B级 中等题
13．（2011年重庆潼南）如图X4－3－10，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论：
①AO＝BO；
②OE＝OF;
③△EAM∽△EBN；
④△EAO≌△CNO，其中正确的是（ ）
图X4－3－10
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
14．（2012年辽宁沈阳）如图X4－3－11，在□ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
（1）求证：
△AEM≌△CFN；
（2）求证：
四边形BMDN是平行四边形．
图X4－3－11
C级 拔尖题
15．（2012年山东威海）
（1）如图X4－3－12
（1），□ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.
求证：
（2）如图X4－3－12
（2），将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.
EI＝FG.
（1）
（2）
图X4－3－12
选做题
16．如图X4－3－13，已知四边形ABCD是平行四边形．
△MEF∽△MBA；
（2）若AF，BE分别为∠DAB，∠CBA的平分线，求证：
DF＝EC.
图X4－3－13
1．B 2.A 3.C 4.C 5.300°
6.3 7.4 8.6 9.5
10．证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠PAE＝∠PCF.
∵点P是□ABCD的对角线AC的中点，
∴PA＝PC.
在△PAE和△PCE中，
∴△PAE≌△PCE（ASA）．∴AE＝CF.
11．解：
添加的条件是BE＝DF.证明如下：
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵BE＝DF，∴AF＝CE，
即AF＝CE，AF∥CE.
∴四边形AECF是平行四边形．
12．证明：
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°
.
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FBC，
在Rt△AED和Rt△CFB中，
∵
∴Rt△AED≌Rt△CFB.∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
13．B
14．证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD.∴∠EAM＝∠FCN.
又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F.
在△AEM与△CFN中，
∴△AEM≌△CFN.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又由
（1），得AM＝CN，
∴BM∥DN，BM＝DN.
∴四边形BMDN是平行四边形．
15．证明：
∴AD∥BC，OA＝OC.∴∠1＝∠2.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA）．∴AE＝CF.
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.
由
（1），得AE＝CF，
由折叠的性质，得AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，
∴A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D，
又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.
∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6.
在△A1IE与△CGF中，
∴△A1IE≌△CGF（AAS）．∴EI＝FG.
16．证明：
（1）在□ABCD中，CD∥AB，
∴∠MEF＝∠MBA，∠MFE＝∠MAB.
∴△MEF∽△MBA.
（2）∵在□ABCD中，CD∥AB，
∴∠DFA＝∠FAB.
又∵AF是∠DAB的平分线，
∴∠DAF＝∠FAB.∴∠DAF＝∠DFA.∴AD＝DF.
同理，得EC＝BC.
∵在□ABCD中，AD＝BC，∴DF＝EC.
第2课时 特殊的平行四边形
1．B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.3 8.
9．证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB，∠1＋∠2＝90°
又∵BE⊥AG，DF⊥AG，
∴∠1＋∠3＝90°
，∠2＋∠4＝90°
∴∠2＝∠3，∠1＝∠4.
又∵AD＝AB，∴△ADF≌△BAE.
由平移变换的性质，得
CF＝AD＝10cm，DF＝AC，
∵∠B＝90°
，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC2＝AB2＋CB2，即AC＝10cm.
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm.
∴四边形ACFD是菱形．
11．证明：
∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB.
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC.∴AE＝AF.
∴平行四边形AEDF是菱形．
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD.
∵D为BC的中点，∴CD＝BD.∴CD∥AE，CD＝AE.
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°
∴平行四边形ADCE是矩形．
13．24 14.
－1
15．
（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM.
∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.
又∵点E是AD边的中点，
∴DE＝AE.∴△NDE≌△MAE.∴ND＝MA.
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：
①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵AM＝1＝
AD，∴∠ADM＝30°
∵∠DAM＝60°
，∴∠AMD＝90°
∴四边形AMDN是矩形．
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AM＝2，∴AM＝AD＝2.
∴△AMD是等边三角形．∴AM＝DM.
∴四边形AMDN是菱形．
（1）如图D51
（1），连接AC，
图D51
∵菱形ABCD中，∠B＝60°
，
∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°
－∠B＝120°
∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°
，∴∠FEC＝90°
－∠AEF＝30°
∴∠CFE＝180°
－∠FEC－∠C＝180°
－30°
－120°
＝30°
∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.
（2）如图D51
（2），连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°
∴AB＝BC，∠D＝∠B＝60°
，∠ACB＝∠ACF.
∴AB＝AC，∠ACB＝60°
.∴∠B＝∠ACF＝60°
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF＋∠FAD＝60°
＋∠FAD，∠AFC＝∠D＋∠FAD＝60°
＋∠FAD.
∴∠AEB＝∠AFC.
在△ABE和△AFC中，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．∴AE＝AF.
∵∠EAF＝60°
，∴△AEF是等边三角形．
17．解：
（1）关系：
∠AFC＝∠ACB－∠DAC.
证明：
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD＝AF，∠FAD＝90°
∵∠BAC＝90°
，∠FAD＝90°
∴∠BAC＋∠CAD＝∠FAD＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
∴△ABD≌△ACF（SAS）．∴∠AFC＝∠ADB.
∵∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB＝∠ADB＋∠DAC.
∴∠ADB＝∠ACB－∠DAC.
∵∠ADB＝∠AFC，∴∠AFC＝∠ACB－∠DAC.
（2）关系：
∠AFC＋∠DAC＋∠ACB＝180°
∴∠DAF＝90°
，AD＝AF.
又∠BAC＝90°
，∴∠DAF＝∠BAC.
∴∠DAF－∠BAF＝∠BAC－∠BAF，即∠DAB＝∠FAC.
∴△ABD≌△ACF（SAS）．∴∠ADB＝∠AFC.
在△ADC中，∠ADB＋∠ACB＋∠DAC＝180°
则∠AFC＋∠ACB＋∠DAC＝180°
第3课时 梯形
1．C 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B
7．2 8.9 9.4
∴∠DEC＝∠EDA，∠BEA＝∠EAD.
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA.∴∠DEC＝∠AEB.
又∵EB＝EC，
∴△DEC≌△AEB.∴AB＝CD.
∴梯形ABCD是等腰梯形．
11．
（1）证明：
∵∠BDC＝90°
，∠BDE＝∠DBC，
∴∠EDC＝∠BDC－∠BDE＝90°
－∠BDE，∠C＝90°
－∠DBC，
∴∠EDC＝∠C.∴DE＝EC.
（2）若AD＝
BC，则四边形ABED是菱形．
∵∠BDE＝∠DBC.∴BE＝DE.
∵DE＝EC，∴BE＝EC＝
BC.∴AD＝BE.
∴四边形ABED是平行四边形．
∴□ABED是菱形．
12．
（1）证明：
在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠BAD，∠BAD＝∠CDA.
∴∠ABE＝∠CDA.
在△ABE和△CDA中，
∴△ABE≌△CDA.
由
（1），得∠AEB＝∠CAD，AE＝AC，
∴∠AEB＝∠ACE.
∵∠DAC＝40°
，∴∠AEB＝∠ACE＝40°
∴∠EAC＝180°
－40°
＝100°
13．28 14.D
15．解：
（1）设AB＝10xkm，则AD＝5xkm，CD＝2xkm，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BC＝AD＝5xkm.∴AD＋CD＋CB＝12xkm.
∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x∶10x＝6∶5.
（2）由
（1），知市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意，得
＝
＋
解方程，得x＝1.
∴10x＝10.
答：
市区公路的长为10km.
16．解：
（1）如图D52，过点D作DG⊥BC于点G.
由已知，得四边形ABGD为正方形.
∵DE⊥DC，
∴∠ADE＋∠EDG＝90°
＝∠GDC＋∠EDG.
∴∠ADE＝∠GDC.
又∵∠A＝∠DGC，且AD＝GD，
∴△ADE≌△GDC.∴DE＝DC，且AE＝GC.
在△EDF和△CDF中，
图D52
∴△EDF≌△CDF.
∴EF＝CF.
（2）∵tan∠ADE＝
∴AE＝GC＝2.
设EF＝x，则BF＝8－CF＝8－x，BE＝6－2＝4.
由勾股定理，得x2＝（8－x）2＋42.
解得x＝5,即EF＝5.
结论为：
EF∥AD∥BC，EF＝
（AD＋BC）．理由如下：
图D53
如图D53，连接AF并延长交BC于点G.
∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠G，
在△ADF和△GCF中，
∴△ADF≌△GCF.∴AF＝FG，AD＝CG.
又∵AE＝EB，∴EF∥BG，EF＝
BG，
即EF∥AD∥BC，EF＝
（AD＋BC）．
1．（2012年湖北宜昌）如图X4－3－14，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°
，则△ABC的周长等于（ ）
图X4－3－14
A．20
B．15
C．10
D．5
2．（2011年四川绵阳）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
3．（2011年江苏无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角互补
4．（2012年湖南张家界）顺次连接矩形四边的中点所得的四边形一定是（ ）
A．正方形B．矩形
C．菱形D．等腰梯形
5．（2012年天津）如图X4－3－15，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）
图X4－3－15
A.
B．3－
C.
＋1
D.
－1
6．（2011年湖南益阳）如图X4－3－16，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：
分别以A和B为圆心，大于
AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形B．菱形
C．正方形D．等腰梯形
图X4－3－16
图X4－3－17
图X4－3－18
7．（2012年吉林长春）如图X4－3－17，□ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为________．
8．（2012年黑龙江哈尔滨）如图X4－3－18，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为________．
9．（2011年陕西）如图X4－3－19，在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：
△ADF≌△BAE.
图X4－3－19
10．（2012年浙江温州）如图X4－3－20，在△ABC中，∠B＝90°
，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：
四边形ACFD是菱形．
图X4－3－20
11．（2012年湖北恩施）如图X4－3－21，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：
四边形AEDF是菱形．
图X4－3－21
12．如图X4－3－22，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：
四边形ADCE是矩形．
图X4－3－22
13．（2012年湖南衡阳）如图X4－3－23，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD＝
，则菱形ABCD的面积为________cm2.
图X4－3－23
图X4－3－24
14．（2012年四川宜宾）如图X4－3－24，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝____________.
15．（2012年河南）如图X4－3－25，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°
，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.
四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：
①当AM的值为________时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．
图X4－3－25
16．（2012年江苏南通）在菱形ABCD中，∠B＝60°
，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图X4－3－26
（1），若E是BC的中点，∠AEF＝60°
，求证：
BE＝DF；
（2）如图X4－3－26
（2），若∠EAF＝60°
△AEF是等边三角形．
图X4－3－26
17．（2012年黑龙江）在△ABC中，∠BAC＝90°
，AB＝AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图X4－3－27
（1），易证：
∠AFC＝∠ACB＋∠DAC；
（1）若点D在BC的延长线上，其他条件不变，写出∠AFC，∠ACB，∠DAC的关系，并结合图X4－3－27
（2）给出证明；
（2）如图X4－3－27（3），若点D在CB的延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC，∠ACB，∠DAC的关系式．
图X4－3－27
1．（2012年四川乐山）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．矩形的两条对角线互相垂直
D．等腰梯形的两条对角线相等
2．（2011年山东滨州）如图X4－3－28，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°
，∠B＝60°
，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：
①邻边不等的矩形；
②等腰梯形；
③有一个角为锐角的菱形；
④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
图X4－3－28
图X4－3－29
3．（2012年福建漳州）如图X4－3－29所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝80°
，则∠D的度数是（ ）
B．110°
C．100°
D．80°
4．（2011年广西来宾）在直角梯形ABCD中（如图X4－3－30所示），已知AB∥DC，∠A＝90°
，∠B＝60°
，EF为中位线，且BC＝EF＝4，那么AB等于（ ）
A．3B．5C．6D．8
图X4－3－30
图X4－3－31
5．（2012年江苏无锡）如图X4－3－31，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝5，BC＝9，CD的垂直平分线交BC于点E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（ ）
A．17B．18C．19D．20
6．（2012年山东烟台）如图X4－3－32，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且点B的坐标为（4,0），点D的坐标为（0,3），则AC长为（ ）
A．4B．5C．6D．不能确定
图X4－3－32
图X4－3－33
7．（2012年江苏南通）如图X4－3－33，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＋∠B＝90°
，AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，则CD＝______cm.
8．（2012年四川内江）如图X4－3－34，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝________.
图X4－3－34
图X4－3－35
9．（2012年湖南长沙）如图X4－3－35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°
，则BC的长为________．
10．（2012年湖北襄阳）如图X4－3－36，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED，AC与ED相交于点F.求证：
梯形ABCD是等腰梯形．
图X4－3－36
11．（2012年江苏盐城）如图X4－3－37所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC＝90°
，E为BC上一点，∠BDE＝∠DBC.
DE＝EC；
BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
图X4－3－37
12．（2012年江苏苏州）如图X4－3－38，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到点E，使得BE＝AD，连接AE，AC.
△ABE≌△CDA；
（2）若∠DAC＝40°
，求∠EAC的度数．
图X4－3－38
13．（2012年湖北咸宁）如图X4－3－39，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°
，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD＝2，BC＝12时，四边形BGEF的周长为________．
图X4－3－39
图X4－3－40
14．（2012年四川达州）如图X4－3－40，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点，则下列结论：
①EF∥AD；
②S△ABO＝S△DCO；
③△OGH是等腰三角形；
④BG＝DG；
⑤EG＝HF.
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．（2012年河北）如图X4－3－41，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD－DC－CB，这两条公路围
升级会员 