青岛版八年级数学上册利用三角形知识解决问题专题突破讲练试题Word文档下载推荐.docx

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技巧归纳：

总结规律类习题

注意探究前面所形成的数字或图形的规律，找到相同点，此为规律中的共同内容，不同点则要寻找变化规律。

分类讨论类习题

多方位考虑问题，画出明确图形，选择正确结果，

总结结论类习题

注意研究前面含有具体数据的结论是否有变化，再总结最终结论。

求较复杂图形中多个角的度数和的问题。

总结：

1.认真审题，充分理解各定义、性质、定理，通过已知条件寻找与所学知识的联系。

2.灵活运用辅助关系，恰当添加辅助线，将复杂图形转化为所学内容进行解题。

例题1如图，平原上有A、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。

解析：

水池只有建在四边形ACBD对角线的交点处才符合要求，取任意一点Ｐ，由三角形任意两边之和大于第三边可推导出结论。

答案：

解：

连接AC、BD交点即为所求Ｈ点，任取一点Ｐ，连接AP、CP、DP、BP，则AP+CP>

AC，BP+DP>

BD，当Ｐ在AC、BD交点时，到四个顶点距离和最小。

即H点在AC、BD的交点时，它与四个村庄距离之和最小。

点拨：

本题是三角形三边关系在实际生活中的应用，注意最小距离和的条件。

例题2已知a，b，c是△ABC的三条边，化简下列式子|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|=。

要化简式子|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|的值，就要知道它们的绝对值里的数是正数还是负数，根据三角形三边的关系：

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知。

∵a-b-c＜0，a+b-c＞0，a-b+c＞0。

∴|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|

=-（a-b-c）-（a+b-c）+（a-b+c）

=3c-a-b。

故答案为：

3c-a-b

本题考查了三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，难度适中。

1.由特殊值总结结论型习题

总结结论类的习题一般题目前面会给我们一定的特殊值进行计算，然后根据多个不同数值的计算，总结出一般性的结论。

注意掌握：

（1）利用所学知识点通过数据进行基本计算，将不同数据的计算结论相比较，从中寻找一般性的结论；

（2）结论的说明过程，也就是将前面的计算过程中数据的具体值转换成字母表示。

（3）总结出的一般性结论，可以用来作为公式或定理使用，推广到同类习题的填空、选择习题中使用。

例题如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个点。

PE⊥AD交直线BC的延长线于点E。

（1）若∠B=30°

，∠ACB=70°

，则∠ADC=度，∠E=度；

（2）若∠B=58°

，∠ACB=102°

（3）若∠B=m°

，∠ACB=n°

，且n＞m，请用含m、n的式子表示∠ADC、∠E的度数。

（写出结论即可，不需要证明）

（1）由AD平分∠BAC，得到∠BAD=∠CAD=

∠BAC，根据三角形的内角和定理求出

∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，根据三角形的外角性质得到∠ADC的度数，根据三角形的内角和定理即可求出∠E的度数；

（2）和（3）的解法与

（1）的求法类似，即可求出答案。

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=

∠BAC，

（1）∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°

，

∵∠B=30°

∴∠CAB=80°

∴∠BAD=

×

80°

=40°

∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°

+40°

=70°

∵PE⊥AD，

∴∠DPE=90°

∴∠E=90°

-70°

=20°

70，20。

（2）∵∠B=58°

，与

（1）解法类似求出∠ADC=68°

，∠E=22°

，故答案为：

68，22。

（3）∠ADC的度数是

，∠E的度数是

。

2.运动变化型习题

本类习题是将习题的图形进行不同位置的改变，图形本身所具有的基本已知条件发生一定的改变，但结论不随图形的变化而变化，不要被图形的位置变化所影响，应做到以下几点：

1.认真读题，弄清习题的条件和要求。

2.充分联想回忆所学过的知识和题型，看和我们掌握的哪部分内容有关系。

3.从各个不同的角度分析题意，不要被运动变化所影响。

4.适当的添加辅助元素。

例题

（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C、△ABC中，∠A=40°

，则∠ABC+∠ACB=　　　　140

度，∠XBC+∠XCB=　　　　90度；

（2）如图2，改变

（1）中直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？

若变化，请举例说明；

若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小。

（1）在△ABC中，利用三角形的内角和等于180°

，可求∠ABC+∠ACB=180°

-∠A，即可求出∠ABC+∠ACB；

同理，在△XBC中，∠BXC=90°

，那么∠XBC+∠XCB=180°

-∠BXC，即可求出∠XBC+∠XCB的值；

（2）不发生变化，由于在△ABC中，∠A=40°

，从而∠ABC+∠ACB是一个定值，即等于140°

，同理，在△XBC中，∠BXC=90°

，那么∠XBC+∠XCB也是一个定值，即等于90°

，于是∠ABX+∠ACX的值也不变，等于140°

-90°

=50°

；

（1）140，90。

（2）不发生变化。

∵∠A=40°

∴∠ABC+∠ACB=180°

-∠A=140°

，（三角形内角和等于180°

）

∵∠YXZ=90°

∴∠XBC+∠XCB=90°

∴∠ABX+∠ACX=140°

（答题时间：

45分钟）

一、选择题

1.在一个三角形中（　　）

A.一定有一个角等于60°

B.一定有一个角大于60°

C.一定有一个角小于60°

D.至少有一个角不小于60°

2.如图长方形中的阴影部分，左边的面积（　　）右边的面积.

A.＞B.＜C.=D.无法确定

*3.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1、∠2之间保持一种数量关系始终不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）

A.∠A=∠1-∠2B.2∠A=∠1-∠2

C.3∠A=2∠1-∠2D.3∠A=2（∠1-∠2）

**4.三角形内部有2013个点，将这2013个点与三角形的三个顶点连接，将三角形分割成互不重叠的三角形共有（　　）个。

A.2014B.4026C.4027D.4028

**5.如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，PO⊥CD，∠ABO＝40°

，则下列结论：

①∠BOE＝70°

②OF平分∠BOD；

③∠POE＝∠BOF；

④∠POB＝2∠DOF。

其中结论正确的有（）

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②④

二、填空题

*6.如图，∠ABD、∠ACD的角平分线相交于点P，若∠A=50°

，∠D=10°

，则∠P的度数为　　　　。

*7.如图，在△ABA1中，∠B=20°

，∠A=∠AA1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得∠A1A2C=∠A1CA2；

在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得∠A2A3D=∠A2DA3；

…，按此做法进行下去，则∠An的度数为　_________。

**8.将图中三角形纸片按照虚线方向折叠，原三角形面积是这个图形面积的1.5倍。

已知图中三个阴影三角形面积之和为1，那么原来三角形的面积是　　　　　　。

三、解答题

9.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°

，∠A=25°

，D是AB上一点。

将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，求∠ADB′是多少度？

*10.探究：

（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？

为什么？

（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，

填空：

∠1＋∠2_______∠B＋∠C（填“＞”“＜”“=”），

当∠A＝40°

时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝_________。

（3）如图③，是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，

如果∠A＝30°

，则x＋y＝360°

－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°

－＝，猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为。

①②③

**11.如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G。

（1）猜想：

∠BOC与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；

（2）∠DOB与∠GOC相等吗？

**12.如图1，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°

，斜边AB与y轴交于点C。

（1）若∠A=∠AOC，求证：

∠B=∠BOC；

（2）如图2，延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度数；

（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A=40°

，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？

若不变，求其度数；

若改变，请说明理由。

1.D解析：

A.不一定，例如：

90°

，45°

B.有可能是两个，例如：

70°

，70°

，40°

C.不一定，例如：

60°

，60°

D.正确。

故选D。

2.C解析：

两个阴影部分加上下面的空白三角形是同底等高的两个三角形，面积相等。

3.B解析：

连接AA'

∠DAE=∠DA'

E（它们是同一个角），∠2=∠EA'

A+∠EAA'

，∠1=∠BAA'

+∠DA'

A=∠DA'

E+∠EA'

A+∠DAE+∠EAA'

=2∠DAE+∠2=2∠A+∠2，即2∠A=∠1-∠2。

4.C解析：

因为此题点数较多，这就要求我们寻找规律，可以通过画图来寻找规律：

通过画图发现，当点数为1时，三角形的个数为3；

当点数为2时，三角形的个数为5；

当点数为3时，三角形的个数为7，……，当点数为n时，三角形的个数为2n+1。

画图如下：

（1）图①中，当△ABC内只有1个点时，可分割成3个互不重叠的小三角形。

（2）图②中，当△ABC内只有2个点时，可分割成5个互不重叠的小三角形。

（3）图③中，当△ABC内只有3个点时，可分割成7个互不重叠的小三角形。

（4）根据以上规律，当△ABC内有n（n为正整数）个点时，可以把△ABC分割成（2n+1）个互不重叠的三角形。

因此，三角形内部有2013个点时，可将三角形分割成互不重叠的三角形的个数为：

2n+1=2×

2013+1=4027（个）。

故选C。

5.B解析：

根据垂直定义、角平分线的性质、直角三角形的性质求出∠POE、∠BOF、∠BOD、∠BOE、∠DOF等角的度数，即可对①②③④进行判断。

①∵AB∥CD，∴∠BOD=∠ABO=40°

，∴∠COB=180°

-40°

=140°

，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=

∠COB=

140°

②∵PO⊥CD，∴∠POD=90°

，又∵AB∥CD，∴∠BPO=90°

，又∵∠ABO=40°

，∴∠POB=90°

，∴∠BOF=∠POF-∠POB=70°

-50°

，∠FOD=40°

-20°

，∴OF平分∠BOD。

③∵∠EOB=70°

，∠POB=90°

，∴∠POE=70°

，又∵∠BOF=∠POF-∠POB=70°

，∴∠POE=∠BOF。

④由②可知∠POB=90°

，故∠POB≠2∠DOF。

故选B。

6.20°

解析：

利用角平分线的性质计算。

延长DC，与AB相交于点E。

根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°

+∠AEC=50°

+∠ABD+10°

，整理得∠ACD-∠ABD=60°

设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+

∠ACD=∠A+

∠ABD，即∠P=50°

-

（∠ACD-∠ABD）=20°

7.

∵在△ABA1中，∠B=20°

，∠A=∠AA1B，

∴∠BA1A=

=

=80°

，∵∠A1A2C=∠A1CA2，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1=

同理可得，∠DA3A2=20°

，∠EA4A3=10°

∴∠An=

8.3解析：

设折叠后空白部分的面积是s，则折叠后图形的面积=s+s阴影，折叠前的三角形的面积=2s+s阴影，∵原三角形面积是折叠后图形面积的1.5倍，∴2s+s阴影=1.5（s+s阴影），∴s=1，∴s△=2s+s阴影=2+1=3。

9.解：

∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°

，∴∠B=90°

﹣25°

=65°

，

∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°

∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°

10.解：

（1）根据三角形的内角和是180°

，可知：

∠1+∠2=180°

-∠A，∠B+∠C=180°

-∠A，∴∠1+∠2=∠B+∠C；

（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°

∴∠1+∠2=∠B+∠C；

当∠A=40°

时，∠B+∠C+∠1+∠2=140°

2=280°

（3）如果∠A=30°

，则∠BDA+∠CEA=360°

-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°

-300°

=60°

∴∠BDA+∠CEA与∠A的关系为：

∠BDA+∠CEA=2∠A。

11.解：

（1）∠BOC＝90°

＋

∠BAC

∵AD、BE、CF是角平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝

（∠ABC＋∠ACB）＝

（180°

－∠BAC）＝90°

－

∴∠BOC＝180°

－（90°

∠BAC）＝90°

（2）∠DOB与∠GOC相等，理由如下：

∠DOB=∠EBA+∠BAD，

∠DOB=

（∠ABC+∠BAC）（角平分线）

∠GOC=180°

-∠OCG，

∠BOD＝∠COG

12.

（1）证明：

∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B=90°

，∠AOC+∠BOC=90°

∵∠A=∠AOC，∴∠B=∠BOC；

（2）解：

∵∠A+∠ABO=90°

，∠DOB+∠ABO=90°

，∴∠A=∠DOB，

又∵∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，∴∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA，

∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°

，∴∠A=30°

（3）∠P的度数不变，∠P=25°

理由如下：

∵∠AOM=90°

-∠AOC，∠BCO=∠A+∠AOC，又∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，

∴∠FOM=45°

∠AOC①，∠PCO=

∠A+

∠AOC②，①+②得：

∠PCO+∠FOM=45°

+

∠A，∴∠P=180°

-（∠PCO+∠FOM+90°

=180°

-（45°

∠A+90°

）=180°

+20°

+90°

）=25°