6中考数学压轴题专集答案三角形Word文件下载.docx
《6中考数学压轴题专集答案三角形Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《6中考数学压轴题专集答案三角形Word文件下载.docx（151页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
F
（1）证明：
①当点A在射线OM上时，如图1
作PE⊥OM于E，作PF⊥ON于F
则∠EPF＋∠MON＝180°
∵∠APB＋∠MON＝180°
，∴∠EPF＝∠APB
∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF
∴∠EPA＝∠FPB
∵OP平分∠MON，∴PE＝PF
∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB
E
②当点A在MO延长线上时，如图2
（2）解：
∵S△POB＝3S△PCB，∴点A在射线OM上，如图3
C
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°
－∠APB）
，∠POB＝∠MON
∴∠POB＝（180°
－∠APB），∴∠PBC＝∠POB
又∠BPC＝∠OPB，∴△POB∽△PBC
∴＝＝
（3）解：
①当点A在射线OM上时，如图4
，∠MON＝60°
∴∠APB＝120°
，∴∠PAB＝∠PBA＝30°
，∠BPD＝60°
∵∠PBD＝∠ABO，∴∠PBD＝∠ABO＝75°
作BE⊥OP于E
∵∠MON＝60°
，OP平分∠MON，∴∠BOE＝30°
∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝，∠OBE＝60°
∴∠EBP＝∠EPB＝45°
，∴PE＝BE＝1
∴OP＝OE＋PE＝＋1
②当点A在MO延长线上时，如图5
此时∠AOB＝∠DPB＝120°
∵∠PBD＝∠ABO，∠PBA＝30°
，∴∠PBD＝∠ABO＝15°
作BE⊥OP于E，则∠BOE＝30°
∴OP＝OE－PE＝－1
3．（北京模拟）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF．
（1）如图1，当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°
＜α＜90°
），其他条件不变，问
（1）中的关系是否仍然成立？
若成立，请证明；
若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；
（3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°
，BE、CD交于点G．若∠DCF＝30°
，求及的值．
图2
G
图1
（1）BE＝2CF，BE⊥CF
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点
∴AC＝BC，DC＝EC
∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC
∵F为线段AD的中点，∴CF＝AF＝DF＝AD
∴BE＝2CF
∵AF＝CF，∴∠DAC＝∠ACF
∵∠BCF＋∠ACF＝90°
，∴∠BCF＋∠EBC＝90°
H
即BE⊥CF
（2）仍然成立
如图2，延长CF到H，使HF＝CF，连接AH、DH
∵AF＝DF，∴四边形AHDC为平行四边形
∴AH＝CD＝CE，∠CAH＝180°
－∠ACD
∵∠BCE＝∠BCA＋∠DCE－∠ACD＝180°
∴∠CAH＝∠BCE
又∵AC＝BC，∴△CAH≌△BCE
∴CH＝BE，∠ACH＝∠CBE
∴BE＝CH＝2CF
∠CBE＋∠BCH＝∠ACH＋∠BCH＝90°
图3
（3）如图3，设BE、CF相交于点O，则∠GOC＝90°
作BC的垂直平分线，交BG于点M，连接CM
则BM＝CM，∠MBC＝∠MCB，∴∠OMC＝2∠MBC
∵AC⊥DE，∠CDE＝45°
，∴∠DCA＝45°
∵∠DCF＝30°
，∴∠ACH＝∠CBE＝15°
∴∠OMC＝30°
设OG＝x，则CG＝2x，OC＝x，BM＝CM＝2x
OM＝OC＝3x，MG＝3x－x＝2x
∴BG＝BM＋MG＝2x＋2x，BO＝BM＋MO＝2x＋3x
∴＝＝＋1
＝＝＋2
过E作BC的垂线，交BC的延长线于N
则Rt△BNE∽Rt△BOC，∴＝＝＋2
设EN＝t，则CN＝t，CE＝t，BN＝（＋2）t，BC＝（＋2）t－t＝（＋1）t
∴＝＝
∵AB＝BC，CD＝CE，∴＝
4．（上海模拟）如图，∠ACB＝90°
，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．
（1）当点F在射线CA上时
①求证：
PF＝PE．
②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．
（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．
（1）①证明：
过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N
∵CD是∠ACB的平分线，∴PM＝PN
由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°
，得∠MPN＝90°
∴∠1＋∠FPN＝90°
∵∠2＋∠FPN＝90°
，∴∠1＝∠2
∴△PMF≌△PNE，∴PF＝PE
②解：
∵CP＝，∴CN＝CM＝1
∵CF＝x，△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1－x
∴CE＝2－x
∵CF∥PN，∴＝，即＝
∴CG＝
∴y＝＋2－x（0≤x＜1）
（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：
①当点F在射线CA上时
∵∠GPE＝∠FCE＝90°
，∠1≠∠PEG
∴∠G＝∠1，∴FG＝FE，∴CG＝CE＝CP
在Rt△EGP中，EG＝2CP＝2
②当点F在AC延长线上时
，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2
∵∠1＝45°
+∠5，∠1＝45°
+∠2，∴∠5＝∠2
易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4
∴CF＝CP＝，∴FM＝＋1
易证△PMF≌△PNE，∴EN＝FM＝＋1
∴GN＝－1
∴EG＝－1＋＋1＝2
5．（上海模拟）已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，sinB＝．点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？
请说明理由；
（3）如图③，当PQ经过△ABC的重心G时，求BP的长．
图①
（1）过P点作PF∥AC交BC于F
∵点P为AB的中点，∴F为BC的中点
∴FC＝BC＝3
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB
∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB
∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP
由题意，BP＝CQ，∴FP＝CQ
∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC
又∠PDF＝∠QDC，∴△PFD≌△QCD
∴CD＝DF＝FC＝
（2）当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变
分两种情况讨论：
①当点P在线段AB上时
过点P作PF∥AC交BC于F，由
（1）知PB＝PF
∵PE⊥BC，∴BE＝EF
由
（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF
∴DE＝EF＋DF＝BC＝3
②得点P在BA的延长线上时，同理可得DE＝3
∴当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变
（3）过点P作PE⊥BC于E，连接AG并延长交BC于H
∵AB＝AC，点G为△ABC的重心，∴AH⊥BC，BH＝CH＝3
设AH＝x，则AB＝＝
∵sinB＝，∴＝，解得x＝4
∴GH＝x＝
设BP＝t，则BE＝t，PE＝t
∵BH＝DE＝3，∴DH＝BE＝t
由△DGH∽△DPE，得＝
即＝，解得t＝，即BP＝
6．（上海模拟）如图，三角形纸片ABC中，∠C＝90°
，AC＝4，BC＝3．将纸片折叠，使点B落在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、F．
（1）设BE＝x，DC＝y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（2）当△ADF是直角三角形时，求BE的长；
（3）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长
（4）过C、D、E三点的圆能否与AB边相切？
若能，求BE的长；
若不能，说明理由．
（1）∵BE＝x，∴DE＝x，EC＝3－x
在Rt△DEC中，DC2＋EC2＝DE2
即y2＋（3－x）2＝x2，∴y＝
当D与C重合时，x最小
即y＝＝0，x＝
当E与C重合时，x最大，x＝3
∴≤x≤3
（2）①当∠ADF＝90°
时，则FD∥BC
∴∠AFD＝∠B，又∵∠EDF＝∠B
∴∠AFD＝∠EDF，∴DE∥AB
∴△DEC∽△ABC，∴＝
∴＝，解得x＝，即BE的长为
②当∠AFD＝90°
时，则∠BFE＝∠DFE＝45°
作EG⊥BF于G，则Rt△BEG∽Rt△BAC
∵∠C＝90°
，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5
∴＝＝，∴BG＝x，EG＝x
∴FG＝EG＝x，DF＝BF＝x＋x＝x
由Rt△ADF∽Rt△ABC，得＝
∴＝，即7x＋3－12＝0
令＝u，则x＝
∴7（）＋3u－12＝0，∴7u2＋18u－9＝0
解得u1＝－3＜0（舍去），u2＝
∴x＝＝，即BE的长为
（D）
综上，当△ADF是直角三角形时，BE的长为或
（3）①当AF＝DF时，则∠A＝∠FDA
∵∠FDE＝∠B，∠A＋∠B＝90°
∴∠FDA＋∠FDE＝90°
，即∠ADE＝90°
∴ED⊥AC，∴D与C重合
∴x＝BC＝，即BE的长为
②当AD＝DF时，则BF＝DF＝AD＝4－
∴AF＝5－（4－）＝1＋
作DG⊥AF于G，则Rt△ADG∽Rt△ABC
AG＝AF＝（1＋）
∴＝，∴＝
得＝，解得x＝，即BE的长为
③当AD＝AF时，则AF＝AD＝4－
∴DF＝BF＝5－（4－）＝1＋
作FH⊥AD于H，则Rt△AFH∽Rt△ABC
∴＝＝，∴＝＝
∴AH＝，FH＝
∴HC＝4－＝
∴DH＝－＝
在Rt△DFH中，DH2＋FH2＝DF2
∴（）2＋（）2＝（1＋）2
令＝t，代入上式并化简得15t2＋130t－135＝0
解得t＝（舍去负值）
∴＝，解得x＝，即BE的长为
综上，当△ADF是等腰三角形时，BE的长为或或
（4）假设过C、D、E三点的圆能与AB边相切
∵△DEC是直角三角形，∴DE是圆的直径
∴∠DFE＝90°
，∴∠BFE＝90°
∴D点在AB上，不可能
∴过C、D、E三点的圆不能与AB边相切（⊙O与AB边相离）
7．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°
，AB＝6，AC＝8，AD⊥BC于D，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°
，连接EF．
（1）求的值；
（2）设AE的长为x，△DEF的面积为S，求S关于x的函数关系式；
（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？
若能，求AE的长；
若不能，请说明理由．
（1）∵∠BAC＝90°
，∴∠1＋∠2＝90°
∵AD⊥BC，∴∠C＋∠2＝90°
∴∠1＝∠C
5
∵∠EDF＝90°
，∴∠3＋∠5＝90°
∵AD⊥BC，∴∠4＋∠5＝90°
∴∠3＝∠4
∴△ADE∽△CDF
∴＝＝tan∠C＝＝＝
（2）∵△ADE∽△CDF，∴＝＝
∴CF＝AE＝x，∴AF＝8－x
∴EF2＝x2＋（8－x）2＝x2－x＋64
∵＝，∠EDF＝∠BAC＝90°
∴△DEF∽△ABC
∴＝
∵S△ABC＝×
6×
8＝24，BC2＝62＋82＝100
∴S＝（x2－x＋64）＝x2－x＋
即S＝x2－x＋（0≤x≤6）
（3）假设△EFG能成为等腰三角形
当点G在AB延长线上时，由于∠GEF≥90°
，所以只能EF＝EG
1
∴∠G＝∠6
∵△DEF∽△ABC，∴∠6＝∠C
∵∠1＝∠C，∴∠G＝∠1
∴DA＝DG＝DF，∴EF＝AB，∴EF2＝AB2
∴x2－x＋64＝36，解得x＝6（舍去）或x＝
此时AE的长为
当点G在BA延长线上时，由于∠EFG≥90°
，所以只能FE＝FG
∴∠G＝∠AEF
而tan∠G＝＝＝＝
tan∠AEF＝＝＝
∴＝，解得x＝
综上所述，△EFG能成为等腰三角形，此时AE的长为或
8．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
，AC＝4，BC＝5，D是BC边上一点，CD＝3，P是AC边上一动点（不与A、C重合），过点P作PE∥BC交AD于点E．
（1）设AP＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式；
（2）以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D能否相切？
若能，求tan∠DPE的值；
若不能，请说明理由；
（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连接EC、B′C，当∠ACE＝∠BCB′时，求AP的长．
（1）在Rt△ACD中，AC＝4，CD＝3，∴AD＝5
∵PE∥BC，∴＝，即＝
∴y＝－x＋5（0＜x＜4）
（2）对于⊙E，rE＝EP＝x；
对于⊙D，rD＝DB＝2；
圆心距ED＝－x＋5
当两圆外切时，rE＋rD＝ED，∴x＋2＝－x＋5
解得x＝，∴PC＝
∵PE∥BC，∴∠DPE＝∠PDC
∴tan∠DPE＝tan∠PDC＝＝
当两圆内切时，|rE－rD|＝ED，∴|x－2|＝－x＋5
解得x＝或x＝6（舍去），∴PC＝
（3）延长AD交BB′于F，则AF垂直平分BB′
B′
在Rt△BDF中，BD＝2，sin∠BDF＝sin∠ADC＝＝
∴BF＝，BB′＝
∵∠ADC＝∠BDF，∴∠CAD＝∠DBF
当∠ACE＝∠BCB′时，△CAE∽△CBB′
∴＝，即＝，∴y＝5－
∴－x＋5＝5－，解得x＝
9．（上海模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，点P是边AB上的一个动点，连接CP，过点B作BD⊥CP，垂足为点D.
（1）如图1，当CP经过△ABC的重心时，求证：
△BCD∽△ABC；
（2）如图2，若BC＝2厘米，cotA＝2，点P从点A向点B运动（不与点A、B重合），点P的速度是厘米/秒，设点P运动的时间为t秒，△BCD的面积为S平方厘米，求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在
（2）的条件下，若△PBC是以CP为腰的等腰三角形，求△BCD的面积．
∵CP经过△ABC的重心，∴CP为△ABC的中线
∴CP＝AB＝AP，∴∠A＝∠ACP
又∵∠ACP＋∠DCB＝90°
，∠CBD＋∠DCB＝90°
∴∠CBD＝∠A，又∠BDC＝∠ACB＝90°
∴△BCD∽△ABC
∵BC＝2，cotA＝2，∴AC＝4
过点P作PE⊥AC于E，则AP＝t，PE＝t，AE＝2t
EC＝4－2t，PC＝
由∠PCE＝∠CBD，得Rt△CPE∽Rt△BCD
∴＝（）2，即＝
∴S＝（0＜t＜2）
（3）①当PC＝PB时，有＝2－t
解得t＝1
当t＝1时，S＝＝（平方厘米）
②当PC＝BC时，有＝2
解得t1＝，t2＝2（不合题意，舍去）
当t＝时，S＝＝（平方厘米）
综上所述，当PC＝PB时，△BCD的面积为平方厘米；
当PC＝BC时，△BCD的面积为平方厘米
10．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，CE是斜边AB上的中线，AB＝10，tanA＝．点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q．设EP＝x，BQ＝y．
（1）求y关于x的函数关系式及定义域；
（2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求∠PE的长；
（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，AB＝10，tanA＝＝
∴AC＝6，BC＝8
∵CE是斜边AB上的中线，∴CE＝BE＝AB＝5
∴∠PCQ＝∠ABC
又∠PQC＝∠ACB＝90°
，∴△PCQ∽△ABC
∴＝＝，即＝
∴y＝x－4（x＞5）
（2）过点B作BH⊥PC于H
∵PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，∴BH＝BQ＝y
∵BH＝BC＝，∴x－4＝
∴x＝11
（3）∵∠BQF＝∠ACB＝90°
，∠QBF＝∠A
∴△BFQ∽△ABC
当△BEF和△QBF相似时，则△BEF和△ABC也相似
有两种情况：
①当∠BEF＝∠A时
在Rt△EBF中，∠EBF＝90°
，BE＝5，BF＝y
∴（x－4）＝×
5，解得x＝10
②当∠BEF＝∠ABC时
5，解得x＝
∴当△BEF和△QBF相似时，求x的值为10或
11．（上海模拟）如图1，在Rt△AOC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB＝6，BC＝12，∠ABO＋∠C＝90°
，动点M和N分别在线段AB和AC边上．
△AOB∽△COA，并求cosC的值；
（2）当AM＝4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；
（3）如图2，当MN∥BC时，以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN．设MN＝x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（1）∵AO⊥OC，∴∠ABO＋∠BAO＝90°
∵∠ABO＋∠C＝90°
，∴∠BAO＝∠C
∵∠AOB＝∠COA，∴△AOB∽△COA
∴OB:
OA＝OA:
OC
∵OB＝6，BC＝12，∴6:
18
∴OA＝6
∴AC＝＝＝12
∴cosC＝＝＝
（2）∵cosC＝，∴∠C＝30°
∵tan∠ABO＝＝＝，∴∠ABO＝60°
∴∠BAC＝30°
，∴AB＝BC＝12
①当∠AMN＝∠ABC时（如图1），△AMN∽△ABC
∵AM＝4，∴S△AMN:
S△ABC＝AM2:
AB2＝42:
122＝1:
9
②当∠AMN＝∠C时（如图2），△AMN∽△ACB
AC2＝42:
（12）2＝1:
27
（3）易得S△ABC＝BC·
OA＝×
12×
6＝36
∵MN/∥BC，∴△AMN∽△ABC
∴S△AMN:
S△ABC＝MN2:
BC2，∴S△AMN:
36＝x2:
122
∴S△AMN＝x2
①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3）
∵MN/∥BC，∴∠ANM＝∠C＝30°
∴∠ANM＝∠BAC，∴AM＝MN＝x
∵以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN
∴∠ENM＝∠ANM＝30°
，∴∠AFN＝90°
∴MF＝MN＝AM＝x
∴S△FMN:
S△AMN＝MF:
AM
∴y:
x2＝x:
x＝1:
2
∴y＝x2（0＜x≤8）
②当EN与线段AB不相交时，设EN与BC交于点G（如图4）
∵MN/∥BC，∴CN:
AC＝BM:
AB
∴CN:
12＝（12－x）:
12，∴CN＝12－x
∵△CNG∽△CBA，∴S△CNG:
S△ABC＝CN2:
BC2
∴S△CNG:
36＝（12－x）2:
∴S△CNG＝（12－x）2
∴S阴影＝S△ABC－S△AMN－S△CNG＝36－x2－（12－x）2
即y＝－x2＋18x－72（8＜x＜12）
12．（上海模拟）把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射
升级会员 