创新实验文档格式.docx
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四、调试过程
2-2-4实验一用雅可比法和高斯-赛得尔法解线性方程组
1）分析：
①雅可比（Jacobi）方法
雅可比方法可表示如下：
于是得到雅可比迭代的分量形式：
若用矩阵形式来表示，则其过程为：
②高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法
高斯-赛德尔方法本质上可雅可比方法是一致的，在雅可比迭代中，求
时是用
的所有分量来参加计算的，而在计算
的第
个分量
时，
（
）等前面
个分量已经计算好。
设想方法收敛，第
次的分量比第
次的分量更接近于真实解，为了加速收敛，在计算
个分量时，所用的
的前
个分量换成新算好的值，即用
，
，…，
来计算
，这就是Seidel迭代的思想。
高斯-赛德尔迭代的分量形式为：
其增量修正的形式为：
若用矩阵表示，则其矩阵形式为：
2）程序
用C程序编写如下：
①雅可比（Jacobi）方法
#include<
stdio.h>
math.h>
string.h>
#defineN3
floatfanshu（floata[N],floatb[N]）
{
intk;
floaty=0;
for（k=0;
k<
N;
k++）
y=y+（a[k]-b[k]）*（a[k]-b[k]）;
return（sqrt（y））;
}
main（）
floata[N][N],b[N],x[N],x0[N];
inti,j,t;
floatc;
printf（"
pleaseinputA:
\n"
）;
for（i=0;
i<
i++）
{
the%dthrow:
i+1）;
for（j=0;
j<
j++）
scanf（"
%f,"
&
a[i][j]）;
}
pleaseinputB:
b[i]）;
pleaseinputx0:
x0[i]）;
Ais:
%10.4f"
a[i][j]）;
for（t=0;
t<
1000;
t++）
c=0;
if（j==i）continue;
c=c+a[i][j]*x0[j];
x[i]=（b[i]-c）/a[i][i];
if（fanshu（x0,x）<
=0.01）break;
x0[i]=x[i];
if（t==1000）printf（"
error!
else
t=%d\n"
t）;
Xis:
%4f\n"
x[i]）;
调试结果为：
输入：
10-10
-110-2
0-410
（即：
系数阵A的值）
976
常数向量B的值）
000
迭代初始向量X的值）
结果：
Ais：
10.0000-1.00000.0000
-1.000010.0000-2.0000
0.0000-4.000010.0000
t=4
0.999190
0.997570
0.996760
floata[N][N],b[N],x[N],x0[N],x1[N];
x1[i]=x0[i];
c=c+a[i][j]*x1[j];
x1[i]=x[i];
the1throw:
10-10
the2throw:
-110-2
the3throw:
976
t=3
0.999830
0.999847
0.999939
Pressanykeytocontinue...
1）分析
对于高斯迭代法与高斯-赛得尔迭代法，有时候收敛速度很慢，于是有下面的改进：
简单迭代：
剩余向量：
得到
因此，作一次迭代相当于在第
次近似解的基础上，用剩余向量进行了修正。
可以设想，或许在修正项前面乘上一个因子，会使得迭代收敛得快一些：
其中迭代阵为
，寻找一个适当的
，使得
尽可能小一些，也就是增加收敛速度，这就是松弛法的基本思想。
于是松弛法的分量形式即为：
若写成矩阵形式，则为：
#include"
stdio.h"
string.h"
math.h"
#defineW1.03
floatfanshu（floatX1[N],floatX2[N]）
floatt,w=0;
inti,j;
w=w+（X1[i]-X2[i]）*（X1[i]-X2[i]）;
t=sqrt（w）;
return（t）;
floata[N][N],b[N],X1[N]={0},X2[N]={0},q,p;
inti,j,k=0;
pleaseinput%dnumbers:
N*N）;
for（i=0;
%f"
thecoefficientarrayoforiginalequationis:
%10.6f"
pleaseinput%dnumbersagain:
N）;
theconstantarrayoforiginalequationis:
b[i]）;
{b[i]=b[i]/a[i][i];
if（j!
=i）
a[i][j]=a[i][j]/a[i][i];
a[i][i]=0;
do
p=0;
p=p-a[i][j]*X1[j];
X1[i]=X1[i]+W*（b[i]+p-X1[i]）;
q=fanshu（X2,X1）;
k=k+1;
X2[i]=X1[i];
}while（q>
=5e-6）;
theansweroforiginalequationis:
x%d=%10.6f\n"
i+1,X1[i]）;
thetimesofoperationcycleis%d\n"
k-1）;
输入及结果：
pleaseinput9numbers:
4-10-14-10-14
4.000000-1.0000000.000000
-1.0000004.000000-1.000000
0.000000-1.0000004.000000
pleaseinput3numbersagain:
14-3
1.0000004.000000-3.000000
x1=0.500000
x2=1.000000
x3=-0.500000
thetimesofoperationcycleis5
五、总结
高斯迭代法、高斯-赛德尔迭代法的程序简单，透明度高。
通过比较知道，高斯-赛德尔迭代法的迭代次数要比高斯迭代法的次数少。
但是要注意，高斯法收敛与高斯-赛德尔法收敛并无必然联系，只是在两种方法都收敛的情况下，高斯-赛德尔迭代法要比高斯迭代法的收敛速度快。
对于松弛法的收敛及其收敛速度，则依赖于
的取值，一般称使
取最小值的
为最佳松弛因子，但是，对于大多数一般的矩阵并没有确定最佳松弛因子的方法，因此松弛法的收敛速度一般并不容易确定。
在程序中为了使其透明度高，采取了大量的矩阵作为存储空间，事实上可不必如此。
但是在输入实型的系数矩阵时，若用TurboC及TurboCForWindows软件编写，则出现scanf函数错误，不能输入数据，于是采用了另一个C程序的编写软件，即C-free软件。
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