八年级数学上册小结Word格式文档下载.docx

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（１）定理作用：

a.证明线段相等；

b.为证明三角形全等准备条件。

（２）点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度。

２、逆定理：

在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。

３、三角形的内心

利用角的平分线的性质定理可以导出：

三角形的三个内角的角平分线交于一点Ｉ，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。

说明：

（１）三角形三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离相等。

　　（２）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这个点到三边所在的直线的距离相等。

　　（３）三角形外角角平分线的交点共有３个，所以到三角形三边所在的直线的距离相等的点共有４个。

第十二章　轴对称　小结

一、轴对称图形的概念：

如果一个图形沿着某一条直线对折，对折的两部分能完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。

这时，我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。

如：

正方形、长方形、圆形一定是轴对称图形；

三角形、四边形、梯形不一定是轴对称图形；

平行四边形一定不是轴对称图形。

（１）一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，如正方形有４条对称轴、长方形有２条对称轴、圆形有无数条对称轴、正三角形有３条对称轴、正n边形有n条对称轴。

（２）轴对称图形需要注意的重点：

①一个图形；

②沿一条直线折叠，对折的两部分能完全重合（即重合到自身上）。

二、轴对称的概念：

　　把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点，也叫做对称点。

（１）两个图形成轴对称和轴对称图形的概念，前提不一样，前者是两个图形，后者是一个图形。

　　（２）成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。

三、轴对称的性质：

１、关于某条直线对称的图形是全等形；

２、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

３、两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；

４、如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。

（１）全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。

（２）性质４的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图形的主要依据。

四、轴对称作（画）图：

１、画图形的对称轴

（１）观察分析图形，找出轴对称图形的任意一组对称点；

（２）连结对称点；

（３）画出以对称点为端点的线段的垂直平分线。

２、如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。

对于（１）来说，对称点要找准，特别是较复杂的轴对称图形，要认真地观察、分析，必要时要动手操作实践一下；

对于对称轴有两条或两条以上的图形，要从各个角度找对称点，对于（２）是找一个轴对称图形的对称轴的方法。

３、画某点关于某直线的对称点的方法

（１）过已知点作已知直线的（对称轴）的垂线，标出垂足；

（２）在这条直线的另一侧从垂足出发截取相等的线段，那个截点就是这点关于该直线的对称点。

４、画已知图形关于某直线的对称图形

（１）画出图形的某些点关于这条直线的对称点；

（２）把这些对称点顺次连结起来，就形成了一个符合条件的对称图形。

“某些点”是指能确定图形形状和大小及位置的关键点。

如果是多边形，“某些点”就是指所有的顶点；

如果是线段，“某些点”就是指线段的两个端点；

如果是直角，“某些点”就是指角的顶点与角两边上每一边一个任意点，其余类推。

五、轴对称和轴对称图形之间的区别与联系：

轴对称

轴对称图形

区别

①指两个图形而言；

②指两个图形的一种形状与位置关系。

①对一个图形而言；

②指一个图形的特殊形状。

联系

①都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；

②把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；

反过来，把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。

六、轴对称几何图形的对称轴：

名称

是否是轴对称图形

对称轴有几条

对称轴的位置

线段

是

２条

垂直平分线或线段所在的直线

角

１条

角平分线所在的直线

长方形

对边中线所在的直线

正方形

４条

对边中线所在的直线和对角线所在的直线

圆

无数条

直径所在的直线

平行四边形

不是

０条

七、轴对称变换的概念：

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

八、轴对称变换的有关知识点：

规律：

对称轴方向、位置发生变化，得到的图形的方向、位置也发生变化；

性质：

１、由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大

小完全相同；

　　２、新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；

　　３、连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分；

　　４、成轴对称的两个图形中的任何一个可以看做由另一个图形经过轴对称变换后得到的；

　　５、一个轴对称图形也可以看做以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的。

九、线段垂直平分线的概念：

１、垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线；

２、线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

十、线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。

１、“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：

证明两条线段相等；

２、若ＣＤ垂直平分线段ＡＢ，可得到：

①△ＡＢＣ是等腰三角形；

②ＣＯ是△ＡＢＣ底边ＡＢ上的高和中线，也是顶角∠ＢＣＡ的平分线；

③不仅ＡＣ＝ＣＢ，取ＣＤ上任意一点Ｐ都有ＰＡ＝ＰＢ。

十一、线段垂直平分线的性质定理的逆定理：

和线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（１）“和线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

”的作用是：

判定一点在线段的垂直平分线上；

（２）等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上；

（３）如果两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是该线段的垂直平分线。

十二、三角形三边垂直平分线的性质：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等。

（１）“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等。

证明线段相等；

（２）三角形两边的垂直平分线的交点必在第三边的垂直平分线上；

（３）证明三线共点，可先找到两直线交点，再证明第三条直线也过这一点即可；

（４）锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边垂直平分线的交点恰是斜

边中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部；

（５）此定理给出了作一个点到三个不共线的点距离相等的作图方法，只需顺次连结这三点组成一个三角形，作这个三角形的两边的垂直平分线，交点即为所求。

十三、等腰三角形的概念、性质、判定：

1、概念：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形，在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，顶角是直角的等腰三角形叫做直角等腰三角形，

三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、性质：

（１）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直

线是对称轴；

（２）等腰三角形的两底角相等（简写为“等边对等角”）；

（３）等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）。

（４）等腰三角形的两边相等，即两腰相等。

3、判定：

（１）有两边相等的三角形叫做等腰三角形；

　　（２）如果一个三角形有两个角相等，那么，这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

（１）等腰三角形的判定和性质的关系：

等腰三角形的定义既体现了等腰三角形的性质，也可以作为

判定，等腰三角形的性质定理“等边对等角”和等腰三角形的判定定理“等角对等边”互为逆

定理；

（２）“等角对等边”在同一三角形内证两条边相等的应用极为广泛，往往通过计算三角形各角的度

数得角相等，则可得边相等；

（３）底角为顶角２倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形。

十四、等边三角形的定义、性质、判定：

1、定义：

三条边相等的三角形叫做等边三角形。

（１）由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，也就是说等腰三角形包括等边三角形，因而等边三角形具有等腰三角形的一切性质；

（２）等边三角形有三条对称轴，故三边上均有“三线合一”的性质，其三条中线交于一点，称其为“中心”。

等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于６０°

，每一个外角都等于１２０°

。

（１）三条边都相等的三角形是等边三角形；

　　（２）三个角都相等的三角形是等边三角形；

　　（３）有一个内角是６０°

的等腰三角形是等边三角形；

　　（４）任意一腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形。

（１）四个判定定理的前提不同，判定（１）和判定（２）是在三角形的条件下，判定（３）和判定（４）是在等腰三角形的条件下；

（２）计算出三角形的各个内角的度数都相等（或都为６０°

），然后根据“等角对等边”可说明一个三角形是等边三角形。

十五、含３０°

角的直角三角形的性质：

如果在直角三角形中有一个锐角为３０°

，那么３０°

角所对的直角边等于斜边的一半。

性质是由等边三角形的性质得出的，它的主要作用是能解决直角三角形中的有关线段长度、线段关系、角的度数等的计算问题，特别在以后的学习中应用更广泛。

第十三章　实数　小结

一、平方根、算术平方根的概念及其性质

１、算术平方根的概念及其性质

（１）一般地，如果一个正数

的平方等于a，即

2=a，那么这个正数

叫做a的算术平方根，a的算术平方根记为

，读作“根号a”，a叫做被开方数。

（２）一个正数的算术平方根是一个正数；

0的算术平方根仍为0；

负数没有算术平方根，也就是说，当式子

有意义时，a一定表示一个非负数。

２、平方根的概念及其性质

（１）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，这就是说，如果x²

=a，那么

叫做a的平方根。

正数a的正的平方根表示为“²

”或“

”，其中a叫做被开放数；

“²

”中的2叫做根指数（一般可省去不写）；

”读作“二次根号a”或“根号a”；

正数a的负的平方根表示为“－²

”或“－

”；

正数a的平方根表示为±

，读作“正、负根号a”。

（２）一个正数的平方根有两个且它们互为相反数；

0的平方根是0；

负数没有平方根。

３、开平方运算

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

（１）被开方数a是非负数（非负数即指正数和零）；

（２）平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系。

４、平方根（或算术平方根）的几个公式

（１）式子±

有意义的条件为ａ≥０。

（２）ａ表示ａ的算术平方根，ａ是非负数，即　ａ≥０。

　　　　　　　　　　　ａ　ａ≥０

（３）　ａ²

＝︱ａ︱＝０　　ａ＝０

　　　　　　　　　　　－ａ　ａ＜０

（４）√（　ａ）²

＝ａ（ａ≥０），（－　ａ）²

＝ａ（ａ≥０）。

二、立方根的概念及其性质

１、如果一个数ｘ的立方等于ａ，即ｘ³

＝ａ，那么就称这个数ｘ为ａ的立方根（或三次方根）。

ａ的立方根（或三次方根）表示为³

　ａ，其中ａ为被开方数，“³

　”符号中的３为根指数（这个数不能省略）；

³

　ａ读作“三次根号ａ”或“ａ的立方根”。

２、任意数都有立方根，正数有一个正的立方根；

负数有一个负的立方根；

零的立方根仍为零。

３、有关立方根的补充说明和两个公式

（１）在³

　ａ中，被开方数ａ可为正数、零，也可为负数。

即³

　ａ的正负与ａ一致。

（２）³

　－ａ=－³

　ａ

（３）（³

　a）³

=³

　a³

＝ａ

４、开立方运算

求一个数ａ的立方根的运算叫做开立方运算。

开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系。

三、实数的有关性质

（１）实数ａ的相反数为－ａ，零的相反数是其本身，若ａ与ｂ互为相反数，则ａ＋ｂ＝０；

反之亦然。

（２）实数ａ的倒数为１/ａ（ａ≠０）。

若ａ与ｂ互为倒数，则ａｂ＝１；

（３）实数ａ的绝对值表示为︱ａ︱，正实数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负实数的绝对值是

它的相反数。

　　　　　　　ａ　ａ≥０

即︱ａ︱＝　　０　　ａ＝０

　　　　　　　－ａ　ａ＜０

（４）实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上每一个点都表示一个实数；

反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。

已知实数ａ、ｂ在数轴上对应的点分别为Ａ、Ｂ，则有︱ａ︱、︱ｂ︱分别表示点Ａ、点Ｂ到原点的距离；

︱ａ－ｂ︱表示点Ａ到点Ｂ的距离，这正是绝对值的几何意义。

在数轴上，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；

正实数大于一切负实数，０大于一切负实数，正实数都大于０；

两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即对于负数ａ、ｂ，有

︱ａ︱＜︱ｂ︱＝ａ＞ｂ。

四、实数的概念及其分类

实数是有理数和无理数的统称，有如下分类：

（１）按定义分类

　　　　　　　　　整数　　

实数　　有理数　　分数　　有限小数和无限循环小数

　　　　无理数：

即无限不循环小数

（２）按正负分类

　　　　　　　　　　　　　　正整数

　　　　　　正有理数　正分数

正实数

　　　　　　　　　正无理数

实数　　

零

　　　　　　　　　　　　　　　负整数

　　　　负实数　　负有理数　　负分数

　　　　　　　　　负无理数

五、实数的运算

　　在实数范围内，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算和它们之间的混合运算；

有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用，且满足运算律。

　　交换律：

ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，ａｂ＝ｂａ

　　结合律：

（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ），（ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ）

　　分配率：

ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ

六、实数的大小比较

　　①数轴比较法；

　　②代数比较法；

③差值比较法；

④商值比较法；

⑤倒数比较法：

若1/a＞1/b,a＞0,b＞0,则a＜b；

⑥平方比较法：

ａ＞０，ｂ＞０，ａ²

＞ｂ²

，则ａ＞ｂ；

⑦开方比较法：

若a＞0，b＞0，　ａ＞　ｂ，则ａ＞ｂ；

七、非负数的性质

ｎ

（１）已知实数ａ，则ａ²

≥0，︱ａ︱≥0，ａ²

　≥0（ｎ为正整数）。

（２）任意非负数的算术平方根和偶次方根还是非负数，即　ａ≥0，²

　　ａ≥0（ｎ为正整数）。

（３）若两个非负数的和为０，那么这两个数一定都为０，常见以下几种形式：

　　　　　　　　　　　ａ＝０，

若ａ²

＋ｂ²

＝０，则　ｂ＝０，反之亦然。

　　　　　　　　　　　　　　ａ＝０，

若︱ａ︱＋︱ｂ︱＝０，则　ｂ＝０，反之亦然。

　　　　　　　　　　　　ａ＝０，

若　ａ＋　ｂ＝０，则　ｂ＝０，反之亦然。

ａ＝０，

若²

　ａ＋²

　ｂ＝０，则　ｂ＝０，反之亦然。

可推广位：

ｎ个非负实数之和为０，则这ｎ个非负实数一定都为零。

第十四章　一次函数　小结

一、函数的有关概念

（１）变量与常量

　　在某一变化过程中，可以取不同的量叫做常量，保持不变的量叫做常量。

变量和常量往往是相对而言的，在不同研究过程中，常量和变量的身份是可以相互转换的。

　　（２）函数与自变量

　　一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如ｘ和ｙ，对于ｘ的每一个值，ｙ都有唯一的值与之对应，我们就说ｘ是自变量，ｙ是因变量，此时也称ｙ是ｘ的函数。

　　注意：

函数体现的是一个变化的过程，在这一变化过程中，要着重把握以下三点：

　　（１）只能有两个变量。

　　（２）一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化。

（３）对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的值与之对应。

二、函数的表示方法

函数的表示方法有三种：

解析法、列表法和图像法。

（１）解析法：

两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种表示方法叫做解析式。

用解析式表示一个函数关系时，因变量ｙ放在等式的左边，自变量ｘ的代数式放在右边，其实质是用ｘ的代数式表示ｙ。

解析法简单明了，能准确地反应整个变化过程中自变量与因变量的关系，但不直观，且有的函数关系不一定能用解析法表示出来。

（２）列表法：

把自变量ｘ的一系列值和函数ｙ的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法。

列表法优点是一目了然，使用方便，但其列出的对应值是有限的而且从表中不易看出自变量和函数之间的对应规律。

（３）图像法：

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

图像法形象直观，是研究函数的一种很重要的方法。

　　　在解决问题时，我们常常综合运用三种方法来表示函数。

三、函数自变量取值范围及函数值

　　函数自变量的取值范围是指函数有意义的自变量的取值的全体。

求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：

一是要使函数的解析式有意义；

二是符合客观实际。

下面给出一些简单函数解析式中自变量范围的确定方法。

　　（１）当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数（即全体实数）。

　　（２）当函数的解析式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数。

　　（３）当函数的解析式是开平方的无理式时，自变量值是使被开放的式子为非负的实数。

　　（４）当函数解析式中自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中时，自变量值取值是使底数不为零的实数。

　　对于自变量在取值范围内的一个值，如当ｘ＝ａ时，函数有唯一确定的对应值，这个值就是当

ｘ＝ａ时的函数值。

若已知函数解析式及自变量的值求函数值，其实质就是求关于自变量ｘ的代数式的值。

　　　　　若已知函数解析式及函数值求自变量的值，其实质就是解关于自变量ｘ的方程。

四、函数的图像

（１）函数图像的意义

　一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。

图像上每一点的坐标（ｘ，ｙ）代表了函数的一对对应值，他的横坐标ｘ表示自变量的某一个值，纵坐标ｙ表示与它对应的函数值。

（２）函数图像的画法

　　在直角坐标系中，如果描出以自变量的值为横坐标、相应函数值为纵坐标的点，那么所有这样的点组成的图形叫做这个函数的图像。

　　知道了函数解析式要画出函数的图像，一般经历以下三步：

　　①列表：

取自变量的一些值，计算出对应的函数值，由这一系列的对应值得到一系列的有序实数对。

②描点：

在直角坐标系中，描出这些有序实数对的对应点。

③连线：

用平滑的曲线依次把这些点连起来，即可得到这个函数的图像。

五、数学思想方法

（１）数形结合思想

本章中比较广泛地应用数形结合的思想来研究问题。

数形结合，直观形象，由数思形，由形思数，两者巧妙结合，为分析问题和解决问题创造了有利条件，帮助我们去分析和解决问题。

（２）函数思想

研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的函数关系，然后利用函数的性质得出结论，最后把结论应用到实际问题中去，从而得到实际问题的研究结果。

将实际问题数学化，通过建立函数模型，利用函数性质解决实际问题。

（３）转化思想

将复杂问题转化为简单问题，将未知转化为已知，将抽象转化为具体，这是数学中常用的思想方法。

六、一次函数（正比例函数）的概念

解析式是用自变量的一次整式表示的函数，我们称之为一次函数。

一次函数的一般形式为

ｙ＝ｋｘ＋ｂ，其中ｋ、ｂ为常数，ｋ≠０，特别地，当ｋ＝０时，一次函数ｙ＝ｋｘ（常数

ｋ≠０）也叫做正比例函数。

（１）如果一个函数是一次函数，则含有自变量ｘ的式子是一次的，系数ｋ不等于０，而ｂ可以为任意实数。

（２）自变量ｘ的取值范围是任意实数。

（３）ｋ≠０这个条件不可忽略。

（４）正比例函数与一次函数之间的关系：

①正比例函数是特殊的一次函数，即一次函数包含正比例函数。

②一次函数不一定是正比例函数，在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中，当ｂ＝０时，

ｙ是ｘ的正比例函数；

当ｂ≠０时ｙ不是ｘ的正比例函数。

七、一次函数的图像

（１）一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图像是一条直线，通常也称为直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ，一方面，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图像可以用描点法画出；

另一方面，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，常用图像与坐标轴的两个交点（０，ｂ）和（－　　，０）

（２）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图像是经过原点（０，０）的一条直线，通常画正比例函数