如何证明极限不存在精选多篇证明范本docWord格式.docx

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第三篇：

证明二重极限不存在

证明二重极限不存在如何判断二重极限（即二元函数极限）不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f（x,y）不存在,通常的方法是:

找几条通过（或趋于）定点（x0,y0）的特殊曲线,如果动点（x,y）沿这些曲线趋于（x0,y0）时,f（x,y）趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f（x,y）不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过（x0,y0）,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f（x,y）g（x,y）的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f（x,y）-g（x,y）=0,这样做就很容易出错。

例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-（x2+y2）=0→（0,0）时,所得的结论就不同（这时f（x,y）→1）。

为什么会出现这种情况呢?

仔细分析一下就不难得到答案

若用沿曲线，（，y）一g（，y）=0趋近于（，y0）来讨论，一0g，y。

。

可能会出现错误，只有证明了（，）不是孤立点后才不会出错。

o13a1673-3878（2014）0l__0l02__02如何判断二重极限（即二元函数极限）不存在。

是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。

只是略谈一下在判断二重极限不存在时。

一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知，要讨论limf（x，y）不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：

找几条通过（或趋于）定点（xo，yo）的特殊曲线，如果动点（x，y）沿这些曲线趋于（xo，y。

）时，f（x，y）趋于不同的值，则可判定二重极限limf（x，y）不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过（xo，y。

），并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·

y0断其不存在时，不少人找的曲线是f（x，y）一g（x，y）：

0，这样做就很容易出错。

当沿曲线y=-x+x趋于（00）时，极限为lim（-x+x）/x=-1;

当沿直线y=x趋于（00）时，极限为limx/2x=0。

故极限不存在。

x-y+x+y

f（x,y）=————————

x+y

它的累次极限存在：

limlim————————=-1

y-0x-0x+y

limlim————————=1

x-0y-0x+y

当沿斜率不同的直线y=mx,（x,y）-（0,0）时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。

第四篇：

极限不存在的证明

不如何证明极限不存在

一、归结原则

原理:

设f在u0（x0;

?

'

）内有定义，limf（x）存在的充要条件是：

对任何含于

x?

x0

u（x0;

）且以x0为极限的数列?

xn?

极限limf（xn）都存在且相等。

n?

例如：

证明极限limsin

1x

不存在

12n?

证：

设xn?

1n?

xn?

（n?

1,2,?

），则显然有

0,xn?

0（n?

），si由归结原则即得结论。

0?

0,si?

1?

1（n?

）?

xnxn

二、左右极限法

原理：

判断当x?

x0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。

证明f（x）?

arctan（因为limarctan（

）

当x

时的极限不存在。

1x）?

x=0，limarctan（

，limarctan（

lim?

arctan（

），

所以当x?

0时，arctan（

）的极限不存在。

三、证明x?

时的极限不存在

时的极限，只要考察x?

与x?

时的极限，如果两者

相等，则极限存在，否则极限不存在。

ex在x?

xxxx

因为lime?

0，lime?

；

因此，lime?

lime

四、柯西准则

时，ex的极限不存在。

0'

设f在u（x0;

任给?

，存

在正数?

（?

），使得对任何x?

x?

u0（x0;

），使得f（x?

f（x?

0。

例如：

在方法一的例题中，取?

1，对任何?

0，设正数n?

1

，令?

2即证。

五、定义法

设函数f（x）在一个形如（a,?

）的区间中有定义，对任何a?

r，如果存在

0，使对任何x?

0都存在x0?

x,使得f（x0）?

a?

0,则f（x）在x?

时没有极限。

证明limcosx不存在

设函数f（x）?

cosx，f（x）在（0,?

）中有定义，对任何a?

r，不妨设a?

取?

120,，于是对任何?

0，取?

0反证法（利用极限定义）数学归纳法

第五篇：

极限证明

1.设f（x）在（?

?

）上无穷次可微，且f（x）?

（xn）（n?

），求证当k?

1时，?

x，limf（k）（x）?

0．x?

2.设f（x）?

0sinntdt，求证：

当n为奇数时，f（x）是以2?

为周期的周期函数；

当n为

偶数时f（x）是一线性函数与一以2?

为周期的周期函数之和．x

f（n）（x）?

0．?

{xn}?

3.设f（x）在（?

）上无穷次可微；

f（0）f?

（0）?

0xlim求证：

1，?

n，0?

1，使f（n）（xn）?

0．

sin（f（x））?

1．求证limf（x）存在．4.设f（x）在（a,?

）上连续，且xlim?

5.设a?

0,x1?

2?

a,xn?

xn,n?

1,2?

证明权限limn?

xn存在并求极限值。

6.设xn?

0,n?

.证明：

若limxn?

x,则limxn?

x.n?

n

7.用肯定语气叙述：

limx?

f?

.

8.a1?

1,an?

1,求证：

ai有极限存在。

an?

t?

x9.设函数f定义在?

a,b?

上，如果对每点x?

极限limf?

存在且有限（当x?

a或b时，

为单侧极限）。

证明：

函数f在?

上有界。

10.设limn?

an?

a,证明：

lima1?

2a2?

nana?

.n?

2n2

11.叙述数列?

发散的定义，并证明数列?

cosn?

发散。

12.证明：

若?

af?

dx收敛且limx?

，则?

0.

11?

收敛。

n?

.求证：

22an?

1an13.a?

0,b?

0.a1?

a,a2?

b,an?

14.证明公式?

k?

11k?

2n?

c?

n，其中c是与n无关的常数，limn?

15.设f?

在[a,?

）上可微且有界。

证明存在一个数列?

[a,?

）,使得limn?

且limn?

f'

16.设f?

u?

具有连续的导函数，且limu?

0,d?

x,y?

|x2?

y2?

r2,x,y?

r?

i

limu?

;

求ir?

x2?

dxdy;

3?

求limr2

d

r

17.设f?

于[a,?

）可导，且f'

c为常数?

证明：

）必有最小值。

18.设limn?

a,limn?

bn?

b,其中b?

0,用?

n语言证明lim

ana?

bbn

sn?

19.设函数列?

的每一项sn?

都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，

在u?

x0?

内闭一致收敛于s?

又limn?

lims?

20.叙述并证明limx?

存在且有限的充分必要条件?

柯西收敛原理?

a

23.设?

f（x）=0.证明xlimf（x）dx收敛,且f（x）在?

a,?

上一致连续，?

24.设a10，an?

1＝an＋，证明＝1nan25.设f?

在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?

h?

与m?

分别表示f?

在

h,a?

上的上、下确界，又设?

hn?

是一趋于0的递减数列，证明：

1）limn?

m?

与limn?

都存在；

2）limn?

0m?

limn?

limn?

3）f?

在x?

a处连续的充要条件是llimn?

imn?

26设?

满足：

|xn?

xn|?

|qn||xn?

1|,|qn|?

1|,证明?

27.设an?

a,用定义证明:

28.设x1?

0，xn?

31?

xn

（n?

），证明limxn存在并求出来。

29.用“?

语言”证明lim30.设f（x）?

（x?

2）（x?

1）

1x?

，数列?

由如下递推公式定义：

1，xn?

f（xn），（n?

0，x?

1，2，?

），求证：

limxn?

2。

31.设fn（x）?

cosx?

cos2x?

cosnx，求证：

（a）对任意自然数n，方程fn（x）?

1在[0,?

/3）内有且仅有一个正根；

（b）设xn?

[0,1/3）是fn（x）?

1的根，则limxn?

/3。

32.设函数f（t）在（a,b）连续，若有数列xn?

a,yn?

a（xn,yn?

（a,b））使

limf（xn）?

a（n?

）及limf（yn）?

b（n?

），则对a，b之间的任意数?

，

可找到数列xn?

a，使得limf（zn）?

33.设函数f在[a,b]上连续，且

0,记fvn?

f（a?

v?

n）,?

exp{

b?

，试证明：

1b

lnf（x）dx}（n?

）并利用上述等式证明下?

ab?

式

ln（1?

2rcosx?

r2）dx?

2lnr（r?

f（b）?

f（a）

k

34.设f‘（0）?

k,试证明lim

35.设f（x）连续，?

（x）?

0f（xt）dt，且lim

论?

（x）在x?

0处的连续性。

f（x）

，求?

（x），并讨?

a（常数）

x

36．给出riemann积分?

af（x）dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛

i1

（）s。

n?

ni?

0n

x322

y?

37.定义函数f?

y2.证明f?

在?

0,0?

处连续但不可微。

0,x?

b

38.设f是?

0,?

上有界连续函数，并设r1,r2,?

是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?

使得：

rn?

39.设函数f?

0连续，且limx?

2x?

a,求证：

存在且等于a.

1n

40.无穷数列?

bn?

满足limn?

b,证明:

aibn?

1-i?

ab.

41.设f是?

上具有二阶连续导数的正函数，且f'

0,f'

有界，则limt?

42.用?

分析定义证明limt?

31

x2?

92

43.证明下列各题

设an?

0,1?

，n?

试证明级数?

2nann?

n收敛；

设?

为单调递减的正项数列，级数?

n2014an收敛，试证明limn2014an?

0;

设f?

0附近有定义，试证明权限limx?

0f?

存在的充要条件是：

对任何趋于0的数列?

yn?

都有limn?

yn?

44.设?

为单调递减数列的正项数列，级数?

anln?

收敛，试证明limn?

1。

45.设an?

0，n=1,2，an?

0,（n?

）,证limn

46.设f为上实值函数，且f

（1）＝1，f?

（x）＝〔1（内容来源好范文网www.hAOword.coM），＋?

〕

limf（x）存在且小于1＋。

＋?

，证明x?

1）2

x2＋f（x）

47.已知数列{an}收敛于a，且

asn?

，用定义证明{sn}也收敛于a

48.若f?

上可微，lim

0，求证?

内存在一个单

调数列{?

n}，使得lim?

且limf?

n）?

e?

sinx?

49.设f?

2,确定常数a,b,c,使得f'

处处存在。

ax?

bx?

c,x?

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