学而思小升初培优三规律程序新运算原版.docx
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学而思小升初培优三规律程序新运算原版
小升初培优（三）
找规律、定义新运算和程序运算
、课堂要求
HI标軽求
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定义新运尊
能根抵題恵逬仃运4.第憨定丈新远鼻皓董權斫住
荐清舟序匀牝学表迭式之间的光垂+并准确转化为赴节阿遞进衝解魁
二、知识结构
I.找规律
解题思维过程：
从简单、局部或特殊情况人手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论•有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件，一般有下列几个类型：
（1）-列数的规律：
把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系.
（2）-列等式的规律：
用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系.
（3）图形（图表）规律：
观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关
系.
（4）图形变换的规律：
找准循环周期图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.
（5）数形结合的规律：
观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论•常见的数列规律：
（1）1,3,5,7,9,,2n1（n为正整数）.
（2）2,4,6,8,10,,2n（n为正整数）.
（3）2,4,8,16,32,,2n（n为正整数）.
⑷2,5,10,17,26,,n21（n为正整数）.
2
（5）0,3,8,15,24,,n1（n为正整数）.
（6）2,6,12,20,,n（n1）（n为正整数）.
（7）x,x,x,x,x,x,,
（1）nx（n为正整数）.
n1
（8）x,x,x,x,x,x,...,
（1）x（n为正整数）.
（9）特殊数列:
①斐波那契数列：
1,1,2,3,5,8,13,…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的
和.
②三角形数：
1,3,6,10,15,21,
2.定义新运算
n（n1）
2
（1）基本思路：
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代人，转化为加、减、乘、除的运算，然后
按照基本运算过程、运算律进行运算.
（2）注意事项：
①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序.
2每个新定义的运算符号只能在本题中使用.
3.程序计算
解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题.
4.数学能力：
探究、归纳总结和知识迁移的能力
本节重点讲解：
两大能力，三种题型（找规律、定义新运算和程序计算）•
三、全能突破
小试牛刀
1根据图2-3-1中数字的规律，在图形中填空.
2•观察下面一列整式：
ix2y,6x4y4,ii2x8y9,^0xi6yie,,照此规律第6个整式是—，第n
个（n》l且为整数）整式是
3•正整数按图2-3-2中的规律排列•请写出第45行，第46列的数字
第一列器：
列弟顶谚典列第斤列
第I251»17…
IITj
第二fj4—J»1}卅*++
QiII
饶二行9—*—*12屮-
场五打吊一2423-*—睨一£-
4•图2-3-3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正
方形的地板砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正
三角形，以此递推，第10层中含有正三角形个数是个.
5•如图2-3-4所示，给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边
顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如：
小宇在编号
为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从5^1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶
点；然后从1^2为第二次“移位”•若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处
顶点的编号是;第2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是•
6.观察下列等式:
22
14135;
2522237;
22
36339;
47242311;
则第n（n是正整数）个等式为
7•我们规定一种运算：
ab
42
adbe,若
0,则x
cd
xx1
&魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2-3-5所示的步骤操作:
魔术师立刻说出观众想的那个数.
（1）如果小明想的数是-1，那么他告诉魔术师的结果应该是,
（2）如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93,那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是
（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙.
能力提升
9.已知：
414,4216,4364,44256,451024,,以上算式结果的个位数字分别为4,6,4,6,…,
按照上面的研究方法确定2006200720072006的个位数字为（）
A.3B.4C.5D.6
10•如图2-3-6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第
n个图形需要黑色棋子的个数是.
11•古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图2-3-7（a）中的1,3,
6,10,…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2-3-7（b）中的1,
4,9,16,…，这样的数为正方形数•下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）
事•••
10
A.15B.25C.55D.1225
12.
（1）探究数字“黑洞”：
“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所
有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌.譬如：
任意找一个3的倍数，
先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的
数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T,我们称它为数字“黑洞”，T为何
具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！
此短文中的T是.
（2）任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个
数组成下一个数字串，重复上述程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为.
13.在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai,j（其中i,j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数
ai,j规定如下：
当ij时，ai,j1当ij时，ai.j0.例如：
当i2,j1时，ai,ja2J1.按
a1,5ai,5的值为
此规定，ay.；表中的25个数中，共有个1；计算ava,iai,2
口】.1
口
d1（
431,5
J：
.
血』
血肩
口4』
*
口％2
as.3
£35,1
凸$・：
5
ai,3a1,4ai,4
14.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文一密文（加密），接收方由密文一明文（解密），已
知加密规则如图2-3-8所示，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为.
15.已知m2,n2,且mn均为正整数，如果将mn进行如图2-3-9所示方式的“分解”，那么下列三
个叙述:
①在25的“分解”中最大的数是11•②在43的“分解”中最小的数是13.
3若m3的“分解”中最小的数是23,则m等于5.
其中正确的是
16•有一个运算程序，当abn（n为常数）时，则（a1）bn1,a（b1）n2,若112,
则20122012
17.按图2-3-10所示的程序计算：
若输入x=100，输出结果是501，若输入x=25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数,最后输出的结果为556，则开始输入的x的可能值为.
18•如图2-3-11所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.
9
&
#
x
-6
2
图2-3-11
（1）可求得x=•第2012个格子中的数为.
⑵判断：
前m个格子中所填整数之和是否可能为20127若能，求出m的值；若不能，请说明理由;
19.阅读图2-3-12并回答下列问题：
（1）若A为785，则E=;
（2）按框图流程，取不同的三位数A,所得E的值都相同吗？
如果相同，请说明理由；如果不同，请求
出E的所有可能的值；
（3）将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A它的百位数字减去个位数字所得
的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？
并对你猜想的结论加以证明.
中考链
A,B,C,D.请你按图中箭头所指方向（即的方式）从A开始数连续的正整数1,2,3,C第201次出现时，恰好数到的数是;
用含n的代数式表示）.
20•图2-3-13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母
ABCDCBABC
4,…，当数到12时，对应的字母是;当字母
当字母C第2n+1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是
22.
（1）如图2-3-14所示的运算程序中，若开始输入的x值为96,我们发现第1次输出的结果为48,
第2次输出的结果为24,…，第2009次输出的结果为
（2）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0〜9和字母A〜F共16个计数符号
这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示：
十六进制
O
12
34
5
67
89
A
BC
D
E
二
十进制
O
12
34
5
67
89
10
1112
13
14■
5
例如，用十六进制表示：
5AF,3F12,ED1B,则AC
24.对于两数
a和b,
给定一种运算“井”
:
a井babab,则在下列等式中:
b井a;
③（a井b）井ca井（b井c）.
正确的是
填序号）.
25.正整数，n小于100，
并满足等式
[n][n]n,其中凶表示不超过x的最大整数，这样的正整
数n有多少个?
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