函数定义域与值域经典类型总结练习题含答案.docx

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函数定义域与值域经典类型总结练习题含答案

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳

一、基础知识整合

1.函数的定义：

设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）与之对应。

则称f:

为A到B的一个函数。

2.由定义可知：

确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f）,②集合A的取值范围。

由这两个条件就决定了f（x）的取值范围③{y|y=f（x）,x∈A}。

3.定义域：

由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：

（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：

注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：

是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：

{y|y=f（x）,x∈A}。

（2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。

二、求函数定义域

（一）求函数定义域的情形和方法总结

1已知函数解析式时：

只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见情况简总：

①表达式中出现分式时：

分母一定满足不为0；

②表达式中出现根号时：

开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：

当指数为0时，底数一定不能为0.

④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：

根号下大于0.

⑤表达式中出现指数函数形式时：

底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）

⑥表达式中出现对数函数形式时：

自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.（）

注：

（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。

（形如：

）

练习

1、求下列函数的定义域：

⑴

1、

（1）

⑵

（2）

⑶

（3）

2.抽象函数（没有解析式的函数）

解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。

总结为：

（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围；

（2）在同一个题中x不是同一个x；

（3）只要对应关系f不变，括号的取值范围不变。

（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f（x）的取值范围，及括号的取值范围。

例1：

已知f（x+1）的定义域为[-1,1]，求f（2x-1）的定义域。

解：

∵f（x+1）的定义域为[-1,1]；（及其中x的取值范围是[-1,1]）

∴；（x+1的取值范围就是括号的取值范围）

∴f（x）的定义域为[0,2]；（f不变，括号的取值范围不变）

∴f（2x-1）中

∴

∴f（2x-1）的定义域为

练习

2、设函数的定义域为，则函数的定义域为_、；_______；函数的定义域为________；

3、若函数的定义域为，则函数的定义域是；函数的定义域为。

3.复合函数定义域

复合函数形如：

理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。

例2：

分析：

由题目可以看出g（x）是由y=x+1、y=x-2和y=f（x）三个函数复合起来的新函数。

此时做加运算，所以只要求出f（x+1）和f（x-2）的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f（x+1）和f（x-2）的定义域的交集即可。

解：

由f（x）的定义域为（-2,3），则

f（x+1）的定义域为（-3,2），f（x-2）的定义域为（0,4）；

，解得0

所以，g（x）的定义域为（0,2）.

（一）求函数值域方法和情形总结

1.直接观察法（利用函数图象）

一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。

练习

（1）求值域。

2.配方法

适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a<0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。

总结为三个要点：

（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；

（2）a不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。

例1：

求

解：

配方：

f（x）的对称轴为x=2在[1,5]中间

（端点5离x=2距离较远，此时为最大值）

所以，f（x）的值域为[2,11].

练习

（2）求值域。

3.分式型

（1）分离常量法：

应用于分式型的函数，并且是自变量x的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。

具体操作：

先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为。

例2：

解：

由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到，

即：

函数f（x）的值域为.

练习

⑶求值域

（3）

（2）利用来求函数值域：

适用于函数表达式为分式形式，并且只出现形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。

例3：

求函数的值域.

解：

由于不等于0，可将原式化为

即（由于）

只需,则有

所以，函数值域.

练习

（4）求值域

（3）方程根的判别式法：

适用于分式形式，其中既出现变量x又出现混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。

对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。

例4：

求函数的值域

解：

由于函数的定义域为R，即

原式可化为

（由于x可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：

这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）

所以，

所以，函数值域为

练习：

求值域

（5）

4.换元法

通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。

而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。

注：

换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。

例5：

求函数的值域

解：

令，带入原函数解析式中得

因为，

所以，函数的值域为.

练习：

求值域

（6）

一．选择题（共10小题）

1．（2007•河东区一模）若函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则使A∩B=∅的实数a的取值范围是（　　）

A．

（﹣1，3）

B．

[﹣1，3]

C．

（﹣2，4）

D．

[﹣2，4]

2．若函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（x+1）的定义域是（　　）

A．

[﹣1，1]

B．

[0，2]

C．

[﹣2，0]

D．

[0，1]

3．（2010•重庆）函数的值域是（　　）

A．

[0，+∞）

B．

[0，4]

C．

[0，4）

D．

（0，4）

4．（2009•河东区二模）函数的值域是（　　）

A．

（0，+∞）

B．

C．

（0，2）

D．

（0，）

5．已知函数y=x2+4x+5，x∈[﹣3，3）时的值域为（　　）

A．

（2，26）

B．

[1，26）

C．

（1，26）

D．

（1，26]

6．函数y=在区间[3，4]上的值域是（　　）

A．

[1，2]

B．

[3，4]

C．

[2，3]

D．

[1，6]

7．函数f（x）=2+3x2﹣x3在区间[﹣2，2]上的值域为（　　）

A．

[2，22]

B．

[6，22]

C．

[0，20]

D．

[6，24]

8．函数的值域是（　　）

A．

{y|y∈R且y≠1}

B．

{y|﹣4≤y＜1}

C．

{y|y≠﹣4且y≠1}

D．

R

9．函数y=x2﹣2x（﹣1＜x＜2）的值域是（　　）

A．

[0，3]

B．

[1，3]

C．

[﹣1，0]

D．

[﹣1，3）

10．函数的值域为（　　）

A．

[2，+∞）

B．

C．

D．

（0，2]

二．填空题　

11．（2013•安徽）函数y=ln（1+）+的定义域为　_________　．

12．（2012•四川）函数的定义域是　_________　．（用区间表示）

13．求定义域：

．

14．函数y=x2+2x﹣1，x∈[﹣3，2]的值域是　_________　．

15．函数y=10﹣的值域是　_________　．