高中数学 333函数的最大小值与导数学案 新人教A版选修11.docx

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高中数学333函数的最大小值与导数学案新人教A版选修11

2019-2020年高中数学3.3.3函数的最大（小）值与导数学案新人教A版选修1-1

►基础梳理

1．函数的最大值与最小值．

一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．函数的最值必在极值点或区间端点取得．

2．求函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤：

（1）求函数y＝f（x）在区间（a，b）内的极值；

（2）将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

3．极值与最值的区别与联系：

（1）极值与最值是不同的，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对于整个定义域或所研究问题的整体性质；

（2）函数的最值通常在极值点或区间端点取得，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值；

（3）求函数的最值一般需要先确定函数的极值．因此函数极值的判断是关键，如果仅仅是求最值，可将导数值为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较，也可以根据函数的单调性求最值．,►自测自评

1．函数f（x）＝x3－3x（|x|＜1）（C）

A．有最大值，但无最小值

B．有最大值，也有最小值

C.无最大值，也无最小值

D．无最大值，但有最小值

解析：

f′（x）＝3x2－3.当|x|＜1，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（－1，1）上单调递减，故选C.

2．函数f（x）＝－x2＋4x＋1在区间[3，5]上的最大值和最小值分别是4，－4．

解析：

令f′（x）＝－2x＋4＝0，则x＝2，f（x）在[3，5]上是单调函数，排除f

（2），比较f（3），f（5），即得．

3．函数y＝xlnx在[1，3]内的最小值为0．

解析：

y′＝lnx＋1，∵x∈[1，3]，∴y′＞0，

∴函数y＝xlnx在[1，3]内是递增函数，

∴当x＝1时，ymin＝0.

1.函数f（x）＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（C）

A．1，－1　　　　　　　　B．1，－17

C．3，－17D．9，－19

解析：

根据求最值的步骤，直接计算即可得答案为C.

2．已知f（x）＝x2－cosx，x∈[－1，1]，则导函数f′（x）是（D）

A．仅有最小值的奇函数

B．既有最大值又有最小值的偶函数

C．仅有最大值的偶函数

D．既有最大值又有最小值的奇函数

解析：

求导可得f′（x）＝x＋sinx，显然f′（x）是奇函数，令h（x）＝f′（x），则h（x）＝x＋sinx，求导得h′（x）＝1＋cosx，当x∈[－1，1]时，h′（x）＞0，所以h（x）在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．

所以f′（x）是既有最大值又有最小值的奇函数．故选D.

3．函数f（x）＝x2＋ax＋1在点[0，1]上的最大值为f（0），则实数a的取值范围是________．

解析：

依题意有：

f（0）≥f

（1），即1≥2＋a，所以a≤－1.

答案：

（－∞，－1]

4．求下列函数的最值：

（1）f（x）＝x3＋2x，x∈[－1，1]；

（2）f（x）＝（x－1）（x－2）2，x∈[0，3]，

解析：

（1）当x∈[－1，1]时，f′（x）＝3x2＋2＞0，

则f（x）＝x3＋2x在x∈[－1，1]上单调递增．因而f（x）的最小值时f（－1）＝－3，最大值是f

（1）＝3.

（2）因为f（x）＝（x－1）（x－2）2＝x3－5x2＋8x－4，所以f′（x）＝（3x－4）（x－2）

令f′（x）＝（3x－4）（x－2）＝0，得x＝或x＝2，

∵f（0）＝－4，f＝，f

（2）＝0，f（3）＝2，

∴f（x）的最大值是2，最小值时－4.

5．已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，求f（m）＋f′（n）的最小值．

解析：

求导得f′（x）＝－3x2＋2ax，

由函数f（x）在x＝2处取得极值知f′

（2）＝0，

即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.

由此可得f（x）＝－x3＋3x2－4，

f′（x）＝－3x2＋6x，

易知f（x）在（－1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，

∴当m∈[－1，1]时，f（m）min＝f（0）＝－4.

又f′（x）＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1.

∴当n∈[－1，1]时，f′（n）min＝f′（－1）＝－9.

故f（m）＋f′（n）的最小值为－13.

1．函数f（x）＝x3＋在（0，＋∞）上的最小值是（A）

A．4B．5

C．3D．1

2．当x∈[－1，2]时，x3－x2－2x＜m恒成立，则实数m的取值范围是（B）

A．[2，＋∞）B．（2，＋∞）

C．（－∞，2]D．（－∞，2）

解析：

这是函数最值的简单应用，

令f（x）＝x3－x2－2x，x∈[－1，2]，则问题转化为求f（x）得最大值，不难求得f（x）max＝f

（2）＝2，则m＞2.

3．函数y＝的最大值为（A）

A．e－1B．e

C．e2D.

解析：

令y′＝＝＝0，x＝e，当x＞e时，y′＜0；当x＜e时，y′＞0，y极大值＝f（e）＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.

4．在区间上，函数f（x）＝x2＋px＋q与g（x）＝2x＋在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在上的最大值是（D）

A.B.

C．8D．4

解析：

由g′（x）＝2－＝0，得，x＝1，因为g＝5，g

（1）＝3，g

（2）＝，所以，当x＝1时，g（x）min＝g

（1）＝3.于是－＝1，1＋p＋q＝3，解得，p＝－2，q＝4.因此，f（x）＝x2－2x＋4＝（x－1）2＋3，故当x＝2时，f（x）max＝f

（2）＝4.

5．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）·f′（x）≥0，则必有（C）

A．f（0）＋f

（2）＜2f

（1）

B．f（0）＋f

（2）≤2f

（1）

C．f（0）＋f

（2）≥2f

（1）

D．f（0）＋f

（2）＞2f

（1）

解析：

依题意，当x≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数；当x＜1时，f′（x）≤0，f（x）在（－∞，1）上是减函数．故f（x）在x＝1时取得最小值，即有f（0）≥f

（1），f

（2）≥f

（1）．

6．函数f（x）＝ex（sinx＋cosx）在区间上的值域为（A）

A.B.

C.D.

7．函数y＝x2－（x＜0）的最小值是________．

解析：

直接计算，得ymin＝.

答案：

8．若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别是m、n，则m－n的值为________．

解析：

令f′（x）＝3x2－3＝0，

解得x＝1或x＝－1.

因为f（0）＝－a，f

（1）＝－2－a，f（3）＝18－a，

所以n＝－2－a，m＝18－a，

所以m－n＝20.

答案：

20

9．已知函数f（x）＝－x2－2x＋3在区间[a，2]上的最大值为，则a等于________．

解析：

f（x）＝－（x＋1）2＋4.

f（x）的开口向下，对称轴为x＝－1，

当x＝－1，f（－1）＝4＞，∴a＞－1.

∴f（x）在[a，2]是减函数．

∴f（a）＝，解得a＝－，或a＝－（舍去）．

答案：

－

10．设函数f（x）＝lnx＋ln（2－x）＋ax（a＞0）．

（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．

解析：

函数f（x）的定义域为（0，2），

f′（x）＝－＋a.

（1）当a＝1时，f′（x）＝，

所以f（x）的单调递增区间为（0，），

单调递减区间为（，2）．

（2）当x∈（0，1]时，f′（x）＝＋a＞0，

即f（x）在（0，1]上单调递增，

故f（x）在（0，1]上的最大值为f

（1）＝a，

因此a＝.

11．设函数f（x）＝ax3＋bx＋c（a＞0）为奇函数，其图象在点（1，f

（1））处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′（x）的最小值为－12.

（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[－1，3]上的最大值和最小值．

解析：

（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），

即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.

∵f′（x）＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.

又直线x－6y－7＝0的斜率为，

因此f′

（1）＝3a＋b＝－6，解得a＝2.

故a＝2，b＝－12，c＝0.

（2）f（x）＝2x3－12x，

f′（x）＝6x2－12＝6（x＋）（x－），

令f′（x）＝0，得x＝－或x＝.

在[－1，3]上，当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

∴函数f（x）的单调递增区间为（－∞，），（，＋∞）．

∵f（－1）＝10，f（3）＝18，f（）＝－8；

∴当x＝时，f（x）取得最小值为－8.

当x＝3时，f（x）取得最大值为18.

12．设α∈R，函数f（x）＝ax3－3x2.

（1）若x＝2时函数y＝f（x）的极值点，求a的值；

（2）若函数g（x）＝f（x）＋f′（x），x∈[0，2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．

解析：

（1）f′（x）＝3ax2－6x＝3x（ax－2）．

因为x＝2是函数y＝f（x）的极值点，所以f′

（2）＝0，即6（2a－2）＝0，因此a＝1.

经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f（x）的极值点．

（2）由题设，g（x）＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝

ax2（x＋3）－3x（x＋2）．

当g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）时，

g（0）≥g

（2），即0≥20a－24.故得a≤.

反之，当a≤时，对任意x∈[0，2]，

g（x）≤x2（x＋3）－3x（x＋2）＝

（2x2＋x＋10）＝（2x＋5）（x－2）≤0，而g（0）＝0，故g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）．

综上，a的取值范围为.

►体验高考

1．（xx·安徽卷）设函数f（x）＝1＋（1＋a）x－x2－x3，其中a＞0.

（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（2）当x∈[0，1]时，求f（x）取最大值和最小值时的x的值．

解析：

（1）f（x）的定义域为（－∞，＋∞），

f′（x）＝1＋a－2x－3x2.

令f′（x）＝0，得x1＝，

x2＝，x1＜x2，

所以f′（x）＝－3（x－x1）（x－x2）．

当x＜x1或x＞x2时，f′（x）＜0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0.

故f（x）在（－∞，x1）和（x2，＋∞）内单调递减，在（x1，x2）内单调递增．

（2）因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0.

①当a≥4时，x2≥1，由

（1）知，f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．

②当0＜a＜4，时，x2＜1，由

（1）知，f（x）在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，所以f（x）在

x＝x2＝处取得最大值．

又f（0）＝1，f

（1）＝a，所以

当0＜a＜1时，f（x）在x＝1处取最小值；

当a＝1时，f（x）在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；

当1＜a＜4时，f（x）在x＝0处取得最小值．

2．（xx·江西卷）已知函数f（x）＝（4x2＋4ax＋a2），其中a＜0.

（1）当a＝－4时，求f（x）的单调递增区间；

（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．

解析：

（1）当a＝－4时，由f′（x）＝＝0得x＝或x＝2.

由f′（x）＞0得x∈或x∈（2，＋∞），故函数f（x）的单调递增区间为和（