结构动力学习题解答一二章Word格式文档下载.docx

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,由上述

（1）,

（2）式求得阻尼比

万法二：

功率法：

（1）单自由度系统在

F0sint作用下的振动过程中,在一个周期内,

弹性力作功为

阻尼力做功为

cA2

激振力做作功为

Fosin

（2）由机械能守恒定理得，弹性力、

阻尼力与激振力在一个周期内所作功为零

Wc+Wd+Wf0；

cA20

进一步得：

AF0sin,c;

（3）

时，sin

Amaxxst：

2max0

1、4

求图1-35中标出参数的系统的固有频率。

此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k1、

k2竺已；

等效刚度为

简支梁

刚度为

有

右;

48Elk

48EIk1l3

L/2

则固有频率为

48EIl

48EIk1lm

图1-33（a）

⑵此系统相当于两个弹簧串联，等效刚度为：

48EI

kk1

则固有频率为：

⑶系统的等效刚度为

k1l348EI

图1-33（b）

3EI

则系统的固有频率为

⑷

ml3

图1-33（C）

由动量距定理

m。

FIo得

（Il

匕1111

1.1,2

l）=ml22

得：

k10,

则

\2m

1、5求下图所示系统的固有频率。

图中匀质轮

图1-33（d）

A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为

解：

以为广义坐标，则

系统的动能为

TT重物T轮子

一（）

22g

R2）

P——x4g

P2——x4g

图1-34

x2g

系统的势能能为：

U重物

U弹簧

-kx

拉格朗日函数为

L=T-U;

由拉格朗日方程（丄）

dtx

—xkx0

所以：

系统的固有频率为

1、6求图1-35所示系统的固有频率。

图中磙子半径为R,质量为M,作纯滚动。

弹簧刚度

为K。

解:

磙子作平面运动，

其动能T=T平动+T转动。

T平动

T转动

121232

TMx2Mx2Mx2；

244'

而势能

U2Kx2；

2，

系统机械能

TU-Mx2丄Kx2C；

42；

由—TU0得系统运动微分方程

-MxKx0

得系统的固有频率

2K；

n.3M；

1、7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。

已知齿轮A的质量为mA,半径为

rArB

量为mB,半径为「b,杆AC的扭转刚度为Ka,,杆BD的扭转刚度为Kb,

由齿轮转速之间的关系a「ABrB得角速度B―A;

转角B

2Ka

2Kb

2「A

2rB

系统的势能为

系统的机械能为

为C,求当初始条件000时

（1）f（t）Fsint的稳态解；

（2）f（t）（t）t的解；

L/2

利用动量矩定理建立系统运动微分方程

Lf（t）-

Lk-

而

Jrdm

mdr

mL2

122mAmB「AA

2rA

「b

由d_TU0得系统运动微分方程

KAKBA0；

因此系统的固有频率为

rA2

I「a

2KaKb—

2Ka

rB1i

rA2rAI

mAmB

hsint

设方程（3）的稳态解为

xAsin（t）

将⑷式代入方程⑶可以求得:

22.22

H6Km229C22

arctg2n

arctg

6Km2

（2）求f（t）（t）的解；

将f（t）（t）代入方程⑴得

令2n3C;

n26K；

mmmL

n2h（t）

方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励加速度

（t）的响应。

由方程

（6）可以得到初始

oh（t）；

然后积分求初始速度

oodt

h（t）dt

（t）dth；

再积分求初位移

0dth

）dt

0；

这样方程（6）的解就就是系统对于初始条件°

、

0与

0的瞬态响应

Aentsin

将其代入方程（6）可以求得：

A；

0；

最后得

xAentsindt

hemd

sin

1、9图1—38所小盒内有弹簧振了

其质量为

m,阻尼为C,刚度为K,处于静止状态，方盒

距地面高度为H,求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。

解：

因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。

在粘地瞬间

由机械能守恒定理mgH-mVo2的振子的初速度

底版与地面粘住后，弹簧振子的振动就是对于初速度

Vo...2gH的主动隔振

系统的运动微分方程为：

mxCxKx0;

K/2

V。

2gH;

或x2nxn2x0；

arctg—

nXo

dxo

系统的运动方程就是对于初始条件的响应

xdt;

（2）汽车振动的稳态解：

设稳态响应为：

yAsin（ta）

代入系统运动微分方程

（1）可解得:

acrtan（—k（k

2）;

m）c

1、11、若电磁激振力可写为F（t）Hsin20t,求将其作用在参数为mk、c的弹簧振子

上的稳态响应。

首先将此激振力按照傅里叶级数展开：

F（t）

a。

（aicos（it）bisin（it））

T0F（t）cos0t）dt；

bT0F（t）sin（it）dt

因为F（t）

Hsin2（ot）就是偶函数，所以b0。

HH…、cos（2ot）

x（t）—

Asin（20ta/2）；

式中

02）16n202

1、12、若流体的阻尼力可写为

（1）流体的阻尼力为Fd

设位移为xAcos（

流体的阻尼力的元功为

bx3

）,而

dWd

arctan

bx,求其等效粘性阻尼。

dxxdt;

Fddx（bxxdt）;

流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为

Fddxbx3dx

bx4dt■■■■b[Acos（

a）]dt

-b3A4

粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为

等效粘性阻尼：

取

nceqA

可得：

ceq津

n2A2

第二章两个自由度系统

求如图2-11所示系统的固有频率与固有振型，并画出振型

（1）系统的振动微分方程

2、

mx2k（x2x1）kx2；

vk---

图2-11

即一.mx12kx1kx20;

mx2kxi2kx20;

（1）

（2）系统的特征方程

根据微分方程理论，设方程组

（1）的解为:

X1Asin（t）;

X2Asin（t）

将表达式

（2）代入方程组

（1）得:

气m2A12kAjkA2）sin（t）0

1（m2A2kA12kA2）sin（t）0（3）

因为sin（t）不可能总为零，所以只有前面的系数为零：

{

（2km2）AkA20

kA1（2km2）A20

即

2km2

（3）系统的频率方程若系统振动，则方程有非零解，那么方程组的系数行

列式等于零，即：

k2k

展开得

m244mk23k20；

（5）

系统的固有频率为：

1.K/m;

2.3K/m;

（6）

（4）系统的固有振型

将1,

2代入系统的特征方程

（4）式中的任一式，得系统

的固有振型，即各阶振幅比为

（1）a£

）

刑4振阶二

系统各阶振型如图所示：

其中（a）就是一阶振型，（b）

+1/

~+1—

（ar

（b）

（5）系统的主振动

系统的第一主振动为

Xi⑴

（1）sin（

A：

1〉sin（

1）

（1）A⑴sin（

A,2）sin（

A）2）sin（

2、2确定图2-12所示系统的固有频率与固有振型。

解:

（1）系统的动能

T1（2m）u121（m）ufmu12

⑵系统的势能

因为弹簧上端

AB两点的位移

u1u2

;

ub2

所以系统的势能为

ua2ui

U1U2

V7（2U1

U1U22

1（2

U1U2）2

K52

（5u1

（3）系统的Lagrange函数

212LTVmu1mu22

（4）系统的运动微分方程

2U1U2U^）;

由Lagrange方程

—"

2u1u2

u2）

「2mu1

一Ku1

—U2

mu2

—

——Ku1

K—U2

mU2

可得

ddt

（6）系统的特征方程

U1A1sin（t

代入系统的运动微分方程得系统的特征方程

设系统的运动微分方程的解为

）,U2A2Sin（t）

2m2

-KAi—A2

KAi

2m25K

（7）系统的频率方程

系统的特征方程有非零解得充分必要条件就是其系数行列式为

2422

4m247Km2K20

解得

系统的固有频率

（7）系统的固有振型

系统的固有振型

i0.6^

将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得

（8）系统的主振动

A；

2）

0.28砰

（1）sin（11

1）A,

（1）sin（0.6Qt

1〉sin（11

1）0..28A⑴sin（0.6』*

2〉sin（1t

1）A1

（2）sin（1.1^i—t

（2）

a22）sin（1t

1）1.67A

（2）sin（1.18

i）；

i）

2、3一均质细杆在其端点由两个线性弹簧支撑

（图2-13）,杆的质量为m,两弹簧的刚度分别

为2K与K。

（1）写出用杆端铅直位移u1与u2表示的运动方程；

（2）写出它的两个固有频率；

（3）画出它的两个固有振型；

（1）均质杆的运动微分方程2K

以均质杆的静平衡位置为坐标原点，均质杆的质心

C的位移为

均质杆绕质心C的转角为

1u2u

u2u1；

图2-13

均质杆的运动微分方程

muc

U2）；

Ku1Lu2;

K（2ui

m（u1u2）

.2mLu1u2

12L

K（2u1

KuiL

m（u1u2）2K（2u1u2）;

mu1u26K2u1u2;

（2）系统的特征方程设运动微分方程

（1）

mu1

4Ku12Ku2

12Kui6Ku2

（4）系统的频率方程

系统的两个固有频率

（5）系统的固有振型

的解为

Asin（t

mA1

2八

mA1m

m2A2

4Km2

m12K

4KA1

12KA1

u2A2sin（t

2KA2

6KA2

），代入方程

（1）

系统的特征方程有非零解得充分必要条件就是其系数行列式为零

m212K6K

m2412Km224K20

11.612;

23.066;

2mu12K（u25）;

即mu22K（u2u1）;

图2-14

{2mu12Ku12Ku20

mu22KKui2Ku20

（2）系统特征方程

设运动微分方程

（1）的解为

与

A2sin（t

）,

代入方程

（1）

TKm

2A1KA2

2KA1

2Km2

A20；

Km2

KA1

2KmA2

（3）系统频率方程

（4）

m43K20

系统的固有振型将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得

1；

⑴

系统的两阶固有振型

mg1

mg2

mgL

（4）系统特征方程设运动微分方程

（1）的解为

（mg*mL2~4~

1A1sin（t

与2

2、*

）A1

（mg-

）A2

（吩

mL22

4LmL2（mg-

解得系统的两个固有频率

L24

14g212g20；

g；

23.6：

；

（4）系统的固有振型将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得

113

+1+1

-13/11

2、6两层楼用集中质量表示如图2-16

所示的系统。

其中m1

2m2；

k12k2；

证明该系统的

固有频率与固有振型为：

2m1

2k1

x⑴

2尊

（1）系统振动微分方程

m1x1

m2x2

k11x1

k12x1

k12x2

k22x2

（2）系统特征方程设方程组的解为

系统特征方程｛K11几册笃“0

fe21AA2k2n『m2A20

（3）系统频率方程代入方程组虑（系统振动的情况,所以要求方程

（2）有非零解。

而方程

（2）有非零解的充要条件就是其系数行列式等于零

K11

K12

K22

2m2

即k11

mi）（k22

2、

m2）

k12k21

（4）系统固有频率

根据已知条件k11

k1,k21

k12

k1,

rTi]

k22k1k23k1,m1

m2,

代入（3）式得

（6）系统固有振型：

将系统固有频率代入系统特征方程

（1）

A21）

（2）

（7）系统的主振动

A2；

图2-16

22k1

（2）得系统固有振型

1m1

k1k1

22m1k11

2k1k1

a12）

证毕。

k1x1k2（x1x2）

f（t）

m2X2

k2（X2xj0

（1-1）

即：

（k1k2）X1k2X2m

2esint）

k2x1k2x20

（1-2）

（2求系统的稳态响应：

设系统的稳态响应为

A1sin（

t1）

（1-3）

A2sin（

ta2）

C1sint

C2cost

（1-4）

D1sint

D2cost

将表达式

（1-4）代入式（1-2）,

根据两个方程中包含

sint的系数与为零及包含cost

的系数与为零

可得如下方程组

（m1

2k1

k2）C1k2D1

m2e;

*2）。

2k?

k2C1（m2

k2）D10;

（1-5）

k2C

2k2D2

m1m24

m-im24

D20；

m2e（k2

m2k1

m2ek2

m1k2

k1k2

m2k2

（1-6）

m2k2

求解方程组（1-5）得：

C2D20

设xAsint,

Bsint代入方程并整理得

所以在公式xiAisin（ti）,X2A2sin（ta2）中有

（6）Lagrange方程

d“

L、

Fsint

（

dt（

（Mm）xmlcos2kxFsint

mlmlxcosmlxsinmglsin0

因为振动为微幅振动，所以

彳2-

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