结构动力学习题解答一二章Word格式文档下载.docx

1、,由上述（1）,（2）式求得阻尼比万法二：功率法：（1） 单自由度系统在F0sin t作用下的振动过程中,在一个周期内,弹性力作功为Wc阻尼力做功为WdcA2激振力做作功为WfFo sin（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力与激振力在一个周期内所作功为零Wc+Wd+Wf 0；cA2 0进一步得：A F0 sin , c ;（3）时，sin1,Amax xst ： 2 ,2 max 01、4求图1-35中标出参数的系统的固有频率。 此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k1、k2竺已；等效刚度为L3简支梁刚度为k;有k1右;kk248Elk48EI k1l3L/2m则固有频率为348 EIl

2、48 EI k1l m图 1-33 （a） 此系统相当于两个弹簧串联，等效刚度为：48EIk k1则固有频率为：系统的等效刚度为k1l3 48EIml图 1-33 （b）k m3EIl3ki则系统的固有频率为ml3图 1-33 （C）由动量距定理m。F Io得（Il1 1匕 11 112 21 . 1 ,2l ）= ml 2 2得：k1 0 ,2m则 2mo1、5求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮图 1-33（d）A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为解：以 为广义坐标，则系统的动能为T T重物 T轮子1P一（）22gR2）gP x 4gP 2 x 4g图 1-34P 2x 2g系统的势

3、能能为：U重物U弹簧Px-kx拉格朗日函数为L=T-U;由拉格朗日方程 （丄）dt xPx kx 0所以：系统的固有频率为1、6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R,质量为M,作纯滚动。弹簧刚度为K 。解:磙子作平面运动，其动能T=T平动+T 转动 。T平动T转动12 1 2 3 2T Mx2 Mx2 Mx2；24 4 而势能U 2Kx2；2 ，系统机械能T U -Mx2 丄 Kx2 C ；4 2 ；由T U 0得系统运动微分方程-Mx Kx 0得系统的固有频率2K ；n . 3M ；1、7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮 A的质量为mA,半径为rArB量为mB,半径

4、为b,杆AC的扭转刚度为Ka,杆BD的扭转刚度为Kb,由齿轮转速之间的关系 aA BrB得角速度 B A ;转角BrB2Ka2KbKaKb2 A2 rB系统的势能为系统的机械能为为C,求当初始条件 0 0 0时（1 ） f （t） F sin t 的稳态解； C（2 ） f（t） （t）t 的解； L/2利用动量矩定理建立系统运动微分方程JLL f（t） -L k -C而J r dm2 rm drmL2121 2 2 mA mBA A42 rAbC;2n由d_T U 0得系统运动微分方程r aK A K B A 0 ；r b因此系统的固有频率为rA2I a2 Ka Kb2 KaI A1rB 1

5、 in 1mAmBrA2 rA ImA mBh sin t设方程（3）的稳态解为x Asin（ t ）将式代入方程可以求得:2 2 .224n6FH 6K m 2 2 9C2 2arctg 2narctg3C6K m 2（2）求 f（t） （t）的解； 将f（t） （t）代入方程得6K令 2n 3C; n2 6K；h Am m mLn2 h （t）方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励 加速度（t）的响应。由方程（6）可以得到初始o h （t）；然后积分求初始速度o od th （t）d th（t）d t h ；再积分求初位移0d t h）dt0 ；这样方程（6）的解就就是系统对于初

6、始条件 、0与0的瞬态响应xAe nt sind t5将其代入方程（6）可以求得：. hA ；m d0；最后得x Ae nt sin d th e m dntsin1、9图13 8所小盒内有 弹簧振了,其质量为m,阻尼为C,刚度为K,处于静止状态，方盒距地面高度为H,求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。 解：因为在自由落体过程中弹簧无变形 ，所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间由机械能守恒定理 mgH -mVo2的振子的初速度底版与地面粘住后，弹簧振子的振动就是对于初速度Vo . 2gH的主动隔振系统的运动微分方程为：mx Cx Kx 0 ; K/2V。 ,2gH ;c

7、或 x 2nx n2x 0 ；arctg XonXod xo系统的运动方程就是对于初始条件的响应xdt;d（2）汽车振动的稳态解：设稳态响应为：y Asin（ t a）代入系统运动微分方程（1）可解得:acr tan（ k（k2）;mcm ） c1、11、若电磁激振力可写为 F（t） H sin2 0t,求将其作用在参数为 m k、c的弹簧振子上的稳态响应。首先将此激振力按照傅里叶级数展开 ：F（t）a。（ai cos（i t） bi sin（i t）ai2 TT 0 F（t）cos0 t）dt；2 tb T 0 F（t）sin（i t）dt因为F（t）H sin2（ ot）就是偶函数，所以b

8、 0 。H H 、 cos（2 ot）x（t）Asin（2 0t a /2）；式中02） 16n2 021、12、若流体的阻尼力可写为（1）流体的阻尼力为Fd设位移为 x Acos（流体的阻尼力的元功为Fdbx3）,而dWdarcta nbx ,求其等效粘性阻尼。dx xd t;Fd dx （ bx xd t）;流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为Fddx bx3dxbx4dt b Acos（a） dt-b 3A4粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为等效粘性阻尼：取nceq A可得：ceq津n2A2第二章两个自由度系统求如图2-11所示系统的固有频率与固有振型 ，并画出振型（1）

9、系统的振动微分方程2、mx2 k（x2 x1） kx2 ；X_ v k -图 2-11即一.mx1 2kx1 kx2 0;mx2 kxi 2kx2 0; （1）（2）系统的特征方程根据微分方程理论，设方程组（1）的解为:X1 A sin（ t ）; X2 A sin（ t ）将表达式（2）代入方程组（1）得:气 m 2A1 2kAj kA2）sin（ t ） 01（ m 2A2 kA1 2kA2） sin（ t ） 0 （3）因为sin（ t ）不可能总为零，所以只有前面的系数为零：（2 k m 2）A kA2 0kA1 （2 k m 2 ）A2 0即2km2A10 ;2k m 2（3）系统的

10、频率方程 若系统振动，则方程有非零解，那么方程组的系数行列式等于零，即：k 2k展开得m2 4 4mk 2 3k2 0 ； （5）系统的固有频率为：1 . K / m ; 2 . 3K/m ; （6）（4）系统的固有振型将1,2代入系统的特征方程（4）式中的任一式，得系统的固有振型，即各阶振幅比为（1） a）7刑4 振 阶 二系统各阶振型如图所示：其中（a）就是一阶振型，（b）+1 /+1（ar（b）（5） 系统的主振动系统的第一主振动为XiA|（1） sin（A：1sin（1）（1）A sin（A,2） sin（A）2） sin（2、2确定图2-12所示系统的固有频率与固有振型。 解:（1）

11、系统的动能T 1（2m）u12 1 （m）uf mu12系统的势能因为弹簧上端A B两点的位移u1 u2;ub 2所以系统的势能为ua 2uiU1 U2KV 7（2U1U1 U2 21（ 2U1 U2）2K 5 2（5u1（3）系统的Lagrange函数2 1 2 LTV mu1 mu2 2（4）系统的运动微分方程2U1U2 U）;由Lagrange方程J 22u1u2u2）ljUj2mu1一 Ku1U2mu2Ku1K U25KU1m U2U2可得d d t（6） 系统的特征方程U1 A1 sin（ t代入系统的运动微分方程得系统的特征方程设系统的运动微分方程的解为）,U2 A2Sin（ t

12、）2m 2-K Ai A2KAiAiA22m 2 5K2（7）系统的频率方程系统的特征方程有非零解得充分必要条件就是其系数行列式为2 4 2 24m2 4 7 Km 2K2 0解得系统的固有频率（7） 系统的固有振型系统的固有振型i 0.6 m将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得（8）系统的主振动A；2）0.28 砰u1A,（1） sin（ 111） A,（1） sin（0.6Qt1sin（ 111） 0.28A sin（0.6* n2sin（ 1 t1） A1（2） sin（ 1.1itV m（2）a22） sin（ 1 t1） 1.67A（2） sin（1.18ti）；kti

13、）2、3 一均质细杆在其端点由两个线性弹簧支撑（图2-13）,杆的质量为 m,两弹簧的刚度分别为2K与K。（1）写出用杆端铅直位移 u1与u2表示的运动方程；（2）写出它的两个固有频率；（3）画出它的两个固有振型；（1）均质杆的运动微分方程 2K以均质杆的静平衡位置为坐标原点，均质杆的质心C的位移为uCC 2uiu2均质杆绕质心C的转角为1 u2 uu2 u1 ；图 2-13均质杆的运动微分方程mucU2）；KLKu1L u2 ;K（2uim（u1 u2）.2 mL u1 u212 LK（2u1Kui Lm（u1 u2） 2K （2u1 u2）; m u1 u2 6K 2u1 u2 ;（2）系

14、统的特征方程 设运动微分方程（1）mu14Ku1 2 Ku212Kui 6Ku2（4） 系统的频率方程系统的两个固有频率（5） 系统的固有振型的解为A sin（ t2 .m A12八m A1 mm 2 A24K m 2m 12K2K4KA112KA1u2 A2 sin（ t2KA26KA20;），代入方程（1）系统的特征方程有非零解得充分必要条件就是其系数行列式为零4Km 2 12K 6Km2 4 12Km 2 24K 2 01 1.612 ; 2 3.066;372mu1 2K（u2 5）;即 mu2 2K（u2 u1）;2k图 2-142mu1 2Ku1 2Ku 2 0mu2 2KKu i

15、 2Ku 2 0（2）系统特征方程设运动微分方程（1）的解为与A2 sin（ t）,代入方程（1）T K m2 A1 KA22KA12K m 2A2 0；K m 2K A12K m A2（3）系统频率方程（4）m 4 3K 2 0系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得1；系统的两阶固有振型mg 1mg 2mgLu（4）系统特征方程 设运动微分方程（1）的解为（mg* mL2 41 A1 sin（ t与 22、*2 *）A1, L（mg-）A2（吩mL2 24 L mL2 （mg-解得系统的两个固有频率L2 414g 2 12g2 0 ；1 g ； 2 3.6 ：；（

16、4）系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得1 13+1 +1-13/112、6两层楼用集中质量表示如图 2-16所示的系统。其中m12m2；k1 2k2；证明该系统的固有频率与固有振型为：2m12k1m1xx1X22尊（1）系统振动微分方程m1x1m2x2k11x1k12x1k12x2k22x2（2）系统特征方程 设方程组的解为系统特征方程K11几册笃“ 0fe21 A A2 k2n m2 A2 0（3）系统频率方程代入方程组虑（系统振动的情况 ,所以要求方程（2）有非零解。而方程（2） 有非零解的充要条件就是其系数行列式等于零K11K12K 222m2即k11mi

17、）（ k222 、m2）k12k21（4）系统固有频率K2根据已知条件 k11k1, k21k12k1,K1k?2 & k? , rTik22 k1 k2 3k1, m1m2,代入（3）式得（6） 系统固有振型：将系统固有频率代入系统特征方程A1（1）A21）a2（2）（7） 系统的主振动A2；图 2-162 2k1（2）得系统固有振型1m1kn&k1k122m1 k112k1 k1a12）证毕。mxk1 x1 k2 （x1 x2）f（t）m2X2k2（X2 xj 0（1-1）即：（k1 k2）X1 k2X2 m2esin t）m?k2x1 k2 x2 0（1-2）C1D1C2（2求系统的稳态

18、响应：设系统的稳态响应为X1A1 sin（t 1）（1-3）A2 sin（t a2）C1 sin tC 2 cos t（1-4）D1 sin tD2 cos t将表达式（1-4）代入式（1-2）,根据两个方程中包含sin t的系数与为零及包含 cos t的系数与为零,可得如下方程组（m12 k1k2）C1 k2 D1m 2e;*2）。2 k?D2k2C1 （ m2k2）D1 0;（1-5）k2C2 k 2D2m1m2 4m-im2 4D2 0；m 2e（k2m2k1m 2ek2m1k2k1k2m2 k2（1-6）m2k2求解方程组（1-5）得：C2 D2 0设 x Asin t,Bsin t代入方程并整理得所以在公式 xi Ai si n（ t i）,X2 A2 si n（ t a2）中有（6）Lagra nge 方程d “L、F sin t（dt（M m）x ml cos 2kx F sin tml mlxcos mlx sin mgl sin 0因为振动为微幅振动，所以彳 2 -