新人教版初中八年级数学下册1821 第1课时 矩形的性质导学案.docx
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新人教版初中八年级数学下册1821第1课时矩形的性质导学案
第十八章平行四边形
18.2.1矩形
第1课时矩形的性质
学习目标：
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
重点：
理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
难点：
会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
一、知识回顾
1.平行四边形是什么？
它有哪些性质？
2.你还记得长方形是什么吗？
2、新知预习
1.如图，现有一个活动的平行四边形，使它的一个内角变化，当内角变化为90°时，这是我们学过的哪个图形？
2.自主学习：
（1）矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做_________，也就是长方形.
（2）矩形是特殊的平行四边形，平行四边形_________是矩形.
三、自学自测
1.矩形是常见的图形，你能举出一些生活中的实例吗？
2.矩形是特殊的平行四边形，你能根据平行四边形的性质，说出3条矩形的性质吗？
四、我的疑惑
____________________________________________________________
1、要点探究
探究点1：
矩形的性质
思考因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
活动准备素材：
直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四个角度数和对角线的长度,并记录测量结果.
AC
BD
∠BAD
∠ADC
∠ABC
∠BCD
橡皮擦
课本
桌子
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1矩形的四个角都是_________.
猜想2矩形的对角线__________.
证一证如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°.
求证：
∠B=∠C=∠D=∠A=90°.
证明：
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B____∠D,∠C____∠A,AB____DC.
∴∠B+∠C=_____°.
又∵∠B=90°,
∴∠C=____°.
∴∠B=∠C=∠D=∠A=_____°.
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相较于点O.
求证：
AC=DB.
证明：
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC____△DCB.
∴AC____DB.
思考请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考. 矩形是不是轴对称图形?
如果是,那么对称轴有几条?
要点归纳：
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
1.矩形的四个角都是_______.矩形的对角线________.
2.矩形是_________图形,它有_____条对称轴.
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.
典例精析
例1如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：
DF=DC.
例2如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
针对训练
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）
A．AB∥DCB．AC=BD
C．AC⊥BDD．OA=OB
第1题图第2题图
2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
3.如图，在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE：
∠BAE＝3：
1,求∠BAE和∠EAO的度数．
探究点2：
直角三角形斜边上的中线的性质
活动如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
问题Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？
它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的________.
证一证如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
证明：
延长BO至D,使OD=BO,连接AD、DC.
∵AO=OC,BO=OD，
∴四边形ABCD是____________.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是________，
∴AC_______BD，
∴BO=_____BD=_____AC.
要点归纳：
直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的_______等于斜边的________.
典例精析
例3如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
（2）求证：
EF垂直平分AD.
方法总结:
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
例4如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
方法总结:
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
针对训练
如图，在△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.
（1）若BD=3cm,则AC=_____cm;
（2）若∠C=30°,AB=5cm,则AC=_____cm,BD=_____cm.
二、课堂小结
内容
矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的性质
1.具有平行四边形的一切性质；
2.四个内角都是直角，两条对角线互相平分且相等
3.具有2条对称轴的轴对称图形
直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A.对角线相等B.对边相等
C.对角相等D.对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为（）
A.13B.6C.6.5D.不能确定
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是（）
A.20°B.40°C.80°D.10°
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．
第4题图第5题图
5.如图,△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．
6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：
BD=BE;
（2）若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.
能力提升
7.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
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