四面体外接球的球心半径求法.docx

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四面体外接球的球心半径求法

四面体外接球的球心、半径求法

所以半径为

【结论】：

空间两点间距离公式：

二、四面体是正四面体

处理球的“内切”“外接”问题

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。

解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。

一、棱锥的内切、外接球问题

图1

例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？

分析：

运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。

解：

如图1所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为．由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．

正四面体的表面积．

正四面体的体积

，

在中，，即，得，得

【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为（为正四面体的高），且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。

例2．设棱锥的底面是正方形，且，，如果的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

图2

解：

 平面，

由此，面面.记是的中点，

从而.平面，

设球是与平面、平面、平面都相切的球.如图2，得截面图及内切圆

不妨设平面，于是是的内心.

设球的半径为，则，设,.

当且仅当，即时，等号成立.

∴当时，满足条件的球最大半径为.

练习：

一个正四面体内切球的表面积为，求正四面体的棱长。

（答案为：

）

【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。

图3

图4

图5

二、球与棱柱的组合体问题

1．正方体的内切球：

球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。

设正方体的棱长为，球半径为。

如图3，截面图为正方形的内切圆，得；

2．与正方体各棱相切的球：

球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。

3．正方体的外接球：

正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。

例3.在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是______.

解：

由已知可得、、实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点的一条对角线，则过球心，对角线

练习：

一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。

（答案为）

4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题

正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。

例4.已知三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。

分析：

先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。

图6

解：

如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得

，，

练习：

正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。

（答案为：

）

【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。

勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为。