华师大版九年级数学上册课本教材电子书 第二十四章.docx

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华师大版九年级数学上册课本教材电子书第二十四章

§24.3相似三角形

1.相似三角形

在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形（similar　triangles）．

相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．如图24．3．1所示的两个三角形中，

∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，

．

即△ABC与△A′B′C′相似，记作

△ABC∽△A′B′C′，

读作“△ABC相似于△A′B′C′”．

如果记＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比．

做一做

如图24．3．2，△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似．

我们知道，根据两直线平行同位角相等，则∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，而∠A＝∠A．

通过度量，还可以发现它们的对应边成比例，所以△ADE∽△ABC．

如果取点D为边AB的中点，那么上题中△ADE和△ABC的相似比就为k＝．

当k＝1时，两个相似三角形不仅形状相同，而且大小也相同，即为全等三角形．全等三角形是相似三角形的特例．

练习

1．如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形．

2．如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？

较小三角形与较大三角形周长的比是多少？

3．　右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案，请你也用相似三角形设计出一个或两个美丽的图案．

2．相似三角形的判定

我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？

观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）的三角尺看起来是相似的．这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实这样吗？

探索

如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？

试一试

如图24．3．3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等．用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？

我们可以发现，它们的对应边成比例，即：

　如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________．

而根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等．

于是，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：

如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

思考

如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？

例1如图24．3．4所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′．

证明∵　∠C＝∠C′＝90°，

∠A＝∠A′，

∴　△ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．

例2如图24．3．5，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明：

　△ADE∽△EFC．

证明∵　DE∥BC，EF∥AB，

∴　∠ADE＝∠B＝∠EFC，

∴　∠AED＝∠C，

∴　△ADE∽△EFC（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．

练习

1．找出图中所有的相似三角形．

2．图中DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形．

观察图24．3．6，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？

图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为．将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝________AC时，△ADE与△ABC相似．此时=__________．

探　索

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？

做一做

利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？

你能得出什么结论？

我们可以发现这两个三角形相似．这样我们又有了一种判定两个三角形是否相似的方法：

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

例3证明图24．3．7中△AEB和△FEC相似．

证明∵　，

，

∴　．

∵　∠AEB＝∠FEC，

∴　△AEB∽△FEC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）．

探索

如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？

感觉上应该是能“相似”了．

做一做

在图24．3．8的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？

大家的结论都一样吗？

我们可以发现这两个三角形相似．即：

如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

例4在△ABC和△A′B′C′中，已知：

　AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．

证明∵　，

，

，

∴　，

∴　△ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似）．

练习

1．依据下列各组条件，证明△ABC和△A′B′C′相似．

（1）　AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝16cm，B′C′＝12．8cm，A′C′＝25．6cm；

（2）　∠A＝∠80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°；

（3）　∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝40°，A′B′＝16，A′C′＝30．

2．在第1题小题（3）中，若BC＝a，∠B＝α，试求出B′C′的长与∠B′、∠C′的大小．

3.相似三角形的性质

两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图24．3．9中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？

△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，而∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么

由此可以得出结论：

相似三角形对应高的比等于相似比．

图24．3．10中

（1）、

（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．

（2）与

（1）的相似比＝__________，

（2）与

（1）的面积比＝__________；

（3）与

（1）的相似比＝__________，

（3）与

（1）的面积比＝__________．

从上面可以看出，当相似比＝k时，面积比＝．我们猜想：

　相似三角形的面积比等于相似比的平方．

例5已知：

△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′对应边BC、B′C′上的高，求证：

．

证明∵　△ABC∽△A′B′C′，

∴　，，

∴　

思考

图24．3．11中，△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？

可以得到的结论是____________________．

想一想：

　两个相似三角形的周长比是什么？

可以得到的结论是____________________．

练习

1．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？

2．相似三角形对应边的比为0．4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．

3．如图，在正方形网格上有和，这两个三角形相似吗？

如果相似，请给出证明，并求出和的面积比．

4．相似三角形的应用

人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度．

例6古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：

　如图24．3．12所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB．

解∵　太阳光是平行光线，

∴　∠OAB＝∠O′A′B′．

∵　∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，

∴　△OAB∽△O′A′B′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），

∴　OB∶O′B′＝AB∶A′B′，

∴　（米），

即该金字塔高为137米．

例7如图24．3．13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．

解∵　∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴　△ABD∽△ECD（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），

∴　，

解得

（米）．

答：

　两岸间的大致距离为100米．

这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法．

例8如图24．3．14，已知：

　D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠C．求证：

　AD·AB＝AE·AC．

证明∵　∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，

∴　△ADE∽△ACB（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．

∴　，

∴AD·AB＝AE·AC．

练习

1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？

2．如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，求DE的长．

习题24．3

1．　判断下面各组中两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．

（1）　如图，DE∥BC，△ABC与△ADE；

（2）　如图，∠AED＝∠C，△ABC与△ADE．

2．　已知：

　△ABC的三边长分别为5、12、13，和△ABC相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的另两条边的边长和周长以及最大角的度数．

3．　使用三角尺画一个三角形，其中一个角为60°，一个角为45°，再画一个与它相似的三角形．

4．　依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似，如果相似，请给出证明过程．

（1）　∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°；

（2）　AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米；

（3）　∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°，B′C′=5，B′C′上的高A′D′=3．5．

5．　已知在等腰△ABC和△A′B′C′中，∠A、∠A′分别是顶角．试依据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，如果相似，请写出证明过程．

（1）　∠A＝∠A′．