传递过程课后习题解答Word格式.docx
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tyz
于是，上述方程可简化为（ux）0
⑵对于平板壁面，选用直角坐标系比较方便，直角坐标系下连续性方程的一般形式为
（ux）（uy）（uz）
t
xyz
由于流动是稳态的，所以0，对于不可压缩流体常数，所以上式可简化为
uxuyuz＝0
由于平板壁面上的流动为二维流动，假设流动在xoy面上进行，即uz0，上式还可
以进一步简化为
ux
uy
y
＝0
⑶对于平板壁面，选用直角坐标系比较方便，直角坐标系下连续性方程的一般形式为
由于流动是稳态的，所以0，由于平板壁面上的流动为二维流动，假设流动在xoyt
面上进行，即uz0，则上式可以简化为
（ux）（uy）＝0
xy0
⑷由于流动是在圆管中进行的，故选用柱坐标系比较方便，柱标系下连续性方程的一般形式为
1（rur）1uuz0
trrrz
1（rur）1（u）（uz）0
rrrz0
由于仅有轴向流动，所以
uru0,uz0，上式可简化为
uz0
z
⑸由于流体是做球心对称的流动，故选用球坐标系比较方便，柱球系下连续性方程的
般形式为
11
2（r2ur）（usin）
tr2rrrsin
由于流动是稳态的，所以0，对于不可压缩流体
12（r2ur）1（usin）
rrrsin
1
rs1in（u）0
常数，所以上式可简化为
1（u）0
rsin
由于流动是球心对称的，所以
uu0,ur0，上式可简化为
r12r（r2ur）0
rr
整理得：
ur2ur0rr
2－3】加速度向量可表示为
为局部加速度的项，
DDu，试写出直角坐标系中加速度分量的表达式，
何者为对流加速度的项。
并指出何者
直角坐标系下，
速度u有三个分量，ux,uy,uz，
因此加速度也有三个分量，其表达式
Dux
Dt
Duy
Duz
uz
分别为
uxuxxux
uxuxy
uzuzx
uzuzy
uxuzuyuzuzuz
xyzxyz
表达式中对时间的偏导数为局部加速度项，即分别为
uyu
uty和utz；
对流加速度
uuu项为后面的含速度分量的三项之和，即分别为uxuxuyuxuzuxxyz
。
uxuyuyuyuzuy和uxuzuyuzu
xyzxy
2－4】某一流场的速度向量可以下式表述
u（x,y）5xi4yj
试写出该流场随体加速度向量
Du的表达式。
D
由速度向量的表达式得：
ux5x,
uy4y,
5,
uyx0,
0,
uy0
所以
Duy
Duz
uxu
uyuy
xy
uzy
25xt
uy16y
zt
tuxuxzuyuyzuzuzz0
txyz
【2－5】试参照以应力分量形式表示的x方向的运动方程（2-55a）
DuxXxxyxzx
Dtxyz
的推导过程，导出y方向和z方向的运动方程（2-55b）和（2-55c），即
DuyYxyyyzy
DuzZxzyzzz
以y方向上的运动方程为例进行推导，推导过程中采用拉各朗日观点，在流场中选取一长、宽、高分别为dx，dy，dz的流体微元，固定该流体微元的质量，让此流体微元作随波逐流的运动，该流体微元的体积和位置随时间而变，若该流体微元的密度为
则其质量为dmdxdydz，根据牛顿第二定律，该流体微元所受的合外力等于流体微
元的质量与运动加速度之积，即
DudFdmadxdydz
Dt在y方向上流体微元所收到的合外力为
DuydFydmadxdydzyDt
接下来分析一下y方向上微元体的受力情况，微元体上受到的力有体积力和表面力两种，分别用Fb和Fs来表示。
体积力又称质量力，它是在物体内部任意一点都起作用的力，如重力、静电力、电磁力等，其在本质上是一种非接触力。
这里用Y来表示单位质量的流体在y方向上受到的质量力。
因此，流体微元受到的y方向上的质量力为
dFb,yYdxdydz
下面再来看一下微元体受到的表面力。
表面力是流体微元与周围流体或壁面之间产生的相互作用力，本质上是一种接触力。
单位面积上受到的表面力称为表面应力，在y方向上流体微元受到的独立的表面
应力有三个，它们分别为，x,y,y,y和
z,y，其中第一个下标表示与应力作用面相垂直的坐标轴，第二个下标为应力的作用方向。
当两个下标相同时表面应力为压应力，当两个下标不同时表面应力为剪应力。
下面分别对微元体六个面上受到的y方向上的表面力进行分析。
如右图所示，在下表面上微元体受到的表面应力为剪应力x,y，力的作用面积为dydz，方向为y轴的负方向。
因此在下表面上微元体受到的y方向上的
上）xy（xy/x）dx
zy
（后）
yy
左）
dx
右）yy（yy/y）dy
下）
（前）zy（zy/z）dzdz
xdx,y，
表面力为：
x,ydydz；
在上表面上微元体受到的表面应力为
其大小与x,y有
关，可由x,y在x＋dx处对x一阶泰勒展开得到，即xdx,yx,yx,ydx，力的作
用面积仍为dydz，方向为y轴的正方向，因此在上表面上微元体受到的y方向上的表
x,y
面力为：
x,yx,ydxdydz。
于是，这两个面上的力使微元体受到的合外力为
x,ydxdydz。
再来看左右两个表面上流体微元的受力状况。
在左侧表面上流体微元受到的压应
力y,y，力的作用面积为dxdz，方向为y轴的负方向。
因此在左侧表面上微元体受到
的y方向上的表面力为：
y,ydxdz；
在右侧表面上微元体受到的表面应力为ydy,y，
其大小与y,y有关，可由y,y在y＋dy处对y一阶泰勒展开得到，即
y,y
ydy,yy,yy,ydy，力的作用面积仍为dxdz，方向为y轴的正方向，因此在右侧y
表面上微元体受到的y方向上的表面力为：
y,yy,ydydxdz。
于是，这两个面
y,yy
上的力使微元体受到的合外力为y,ydxdydz。
最后再来看一下前后两个表面上流体微元的受力状况。
在后表面上流体微元受到
的应力z,y，力的作用面积为dxdy，方向为y轴的负方向。
因此在后表面上微元体受
到的y方向上的表面力为：
z,ydxdy；
在前表面上微元体受到的表面应力为zdz,y，
其大小与z,y有关，可由z,y在z＋
dz处对z一阶泰勒展开得到，即
zdz,yz,yz,ydz，力的作用面积仍为z
dxdy，方向为y轴的正方向，因此在右侧
z,yz,ydzdxdy。
于
z,yz
是，这两个面上
z,y
的力使微元体受到的合外力为dxdydz。
z
因此，微元体六个面上的表面力对微元体产生的合外力为
dFs,yxx,yyy,yz
dxdydz
因此流体微元在y方向上受到的合外力为
dFy
Ydxdydzx,yy,yz,yxyz
dxdydzdxdydzDuy
将牛顿第二定律的表达式代入，并整理得
上式即为所求证的y方向上的运动方程。
z方向上的运动方程同学们可以参照上面的过程自行证之。
【3－1】温度为20℃的甘油以10kg/s的质量流率流过宽度为1m、高度为0.1m的矩形截面管道，流动已充分发展，试求
⑴甘油在流道中心处的流速与离中心25mm处的流速；
⑵通过单位管长的压降；
⑶管壁面处的剪应力。
已知质量流率w=10kg/s；
查表得甘油密度ρ＝1261kg/m3；
甘油粘度μ＝1.5Pa·
s；
流道宽度B=1m；
流道高度h=0.1m；
所以，b=h/2=0.05m；
y=0.025m；
w10
um0.0793m/s
mA126110.1
首先判断一下流动类型当量直径4（10.1）
当量直径de0.182m
e2（10.1）
1.5
Redeum0.1820.0793121621.13200所0以流动为层流
在流道中心出的流速：
33
uumaxum0.07930.119m/s
22
在离流道中心25mm处的流速：
uxumax
1by0.11910.025
0.050.0892m/s
单位管长的压降：
p3um31.50.0793
0.052
142.7Pa/m
Lb2管壁面处的剪应力：
p142.7
wde0.1824L4【3－2】流体在两块无限大平板间作一维稳态层流。
试求截面上等于主体速度面的距离。
又如流体在圆管内作一维稳态层流时，该点与壁面的距离为若干？
解：
当流体在平板壁面间流动时，速度分布方程为
6.P4a93
u0的点距壁
1y23u01by2
b2
当截面某处的流速等于主体流速时，有
uxu023u01
由此解得：
y0.57b7，此处距壁面的距离为
（10.57b7）0.b423B0（.B2为
1ri2
流道宽度）当流体在圆管中流动时，速度分布方程为ri2uxumax1i2u01
uxu0
2u01r
r0.70ri7，此处距壁面的距离为（10.70ri7）0.ri293D0（.D1为
管径）
【3－3】某流体以0.15kg/s的质量流率沿宽为1m的垂直平壁呈膜状下降，已知流体的运动粘度为1×
10-4m2/s，密度为1000kg/m3。
试求流动稳定后形成的液膜厚度。
已知质量流率w=0.15kg/s；
密度ρ＝1000kg/m3；
运动粘度ν＝1×
10-4m2/s；
板宽B=1m；
倾角β=90°
先假设该降膜流动为层流，设液膜的厚度为δ，则
又因为，
（1）
0.15
1000
1.5104/
3umgsin
44
311041.5104/
9.81sin900
从而解得1.66103m
um1.5104/1.661030.0903m/s
然后验算一下雷诺数：
Re4um630，所以流动为层流，假设正确。
【3－4】试推导不可压缩流体在圆管中作一维稳态层流时，管壁面剪应力w与主体速度u0的
关系。
因为，
du
dr
rri
4u0
ri
而流体在圆管中流动时，速度分布方程为
将其代入上式得：
3－5】已知某不可压缩流体作平面流动时的速度分量ux3x，uy3y，试求出此情况
下的流函数。
首先判断一下该速度分布是否满足连续性方程，以证明流函数的存在性。
uu
由于uxy330，所以满足连续性方程，即流函数是存在的。
根据流函数的定义（x,y）ux，uy（x,y），结合题目给定的已知条件ux3x，
yyx
uy3y可得：
（x,y）y
（x,y）3y
x3y
将上两式分别积分得
（x,y）3xyf（，x）（x,y）3xyf（y）
由于f（x）是一个关于x的函数或常数C，而f（y）是一个关于y的函数或常数C，若上两式相等，只能是f（x）f（y）C，所以此情况下流函数的表达式为
（x,y）3xyC
【4－1】常压下温度为20℃的水，以5m/s的均匀流速流过一光滑平面表面，试求出由层流边界层转变为湍流边界层区域的临界距离xc值的范围。
c
52
已知流速u＝5m/s；
查表得20℃水的运动粘度ν＝0.100610m/s
xcu
由于Rexcc，所以xcRexc，而临界雷诺数的范围为2105Rexc3106，由
u
此可求得0.04mxc0.604m
【4－2】流体在圆管中流动时，“流动已经充分发展”的含义是什么？
在什么条件下会发生充分发展的层流，又在什么条件下会发生充分发展的湍流？
流体在圆管中流动时，“流动已经充分发展”的含义是指边界层已经在管中心处汇合，此后管截面上的速度分布不再发生变化。
若在边界层汇合之前，边界层中的流动为层流，则边界层汇合以后的流动就是充分发展的层流；
若在边界层汇合之前，边界层中的流动已经发展为湍流，则边界层汇合以后的流动就是充分发展的湍流。
【4－3】常压下，温度为30℃的空气以10m/s的流速流过一光滑平面表面，设临界雷诺数
5
Rexc3.2105，试判断距离平板前缘0.4m及0.8m两处的边界层是层流边界层还是湍流边
界层？
求出层流边界层相应点处的边界层厚度。
已知流速u＝10m/s；
查表得30℃空气的密度ρ＝1.165kg/m3；
20℃空气的粘度μ＝1.86×
10-5Pa·
x1u55
在x10.4m处，Rex112.51053.2105，所以边界层为层流边界层；
5.0xRex1/24103m4mm
x2u55
在x10.8m处，Rex225.01053.2105，所以边界层为湍流边界层。
【4－4】常压下，温度为20℃的空气以6m/s的流速流过平面表面，试计算临界点处的边界层厚度、局部阻力系数以及在该点处通过边界层截面的质量流率。
设Rexc5105。
已知流速u＝6m/s；
查表得20℃空气的密度ρ＝1.205kg/m3；
20℃空气的粘度μ＝1.81×
10-5Pa·
s
xcuxc61.2055
因为Rexc5510，从中解得xc1.25m
1.81105c
临界点处的边界层厚度：
精确解：
5.0xRex1/28.8103m8.8mm
近似解：
4.64xRex1/28.2103m8.2mm
局部阻力系数：
CDx0.664Rex1/29.39104
CDx0.646Rex1/29.13104
质量流率：
wbuxdyub0.037bkg/s
08
【4－5】常压下，温度为40℃的空气以12m/s的均匀流速流过长度为0.15m、宽度为1m的光滑平面，试求平板上、下两面总共承受的曳力。
已知流速u＝12m/s；
查表得40℃空气的密度ρ＝1.128kg/m3；
40℃空气的粘度μ＝1.91×
L＝0.15m；
b＝1m
因为ReLLu0.15121.51281.061052105，所以流动为层流L1.91105
平板上、下两面总共承受的曳力：
2Fd20.646bLu320.64611.911051.1280.151230.0963N
【5－1】湍流与层流有何不同？
湍流的主要特点是什么？
试讨论由层流转变为湍流的过程。
答：
（1）层流与湍流的最大区别在于流动状态不同，流体作层流流动时，流体中的各个质点都只是在主体流动方向上有运动，在其它方向上没有运动，流动是平稳的，流体内部没有漩涡；
流体作湍流流动时，流体质点除了在沿主体流动方向上有运动以外，在其它方向上还存在着复杂的高频脉动，脉动速度的大小和方向都是无规律的，因而流动是紊乱的，同时湍流流动的流体内部存在着大量的漩涡。
（2）与层流相比，湍流具有下面的三个特点：
①流体质点在流场的任意空间位置上，流体的流速与压力等物理量均随时间呈高频随机脉动，质点的脉动是湍流最基本的特点；
②由于湍流流体质点之间的相互碰撞，使得湍流的流动阻力要远远大于层流；
③由于质点的高频脉动与混合，使得在与流动垂直的方向上，流体的速度分布较层流均匀。
5－2】试证明湍流运动中，脉动量
ux、uy、uz和p的时均量均为零。
证：
根据脉动速度的定义
所以脉动速度的时均值
同理
uxuxux
1t1tuxt0uxdtt0（ux
1t
ux）dtt0
xudtxuxu0
uy1t
0y
1t1
uydt1t0（uyuy）dt1t0uydt
0uydtuyuy0
根据脉动压力的定义
所以脉动压力的时均值
uz1tppp
1t1t1p1t0pdt1t0（p）pdt1t
1t1tuzdt1t0（uzuz）dt1t0u
dt1t0uzdtuzuz0
t0
pdt10dptpp0
5－3】流体在圆管中作湍流流动时，在一定Re范围内，速度分布可用布拉修斯1/7次方
定律表示，即
u/umax
（y/ri）
1/7
试证明截面上主体平均流速u0与管中心流速umax的关系为u00.817umax。
1
根据平均流速的定义u01udA
0AA
11ri
对于流体在圆管中的流动u0udA20u2rdr
0AAri20
r1/7
流体在圆管中作湍流流动时，速度分布方程为u/umax（y/ir1）/71r将其代入上式
得：
i
1u0ri2
7
umax2rdr2u
令x1r，则上面的积分式可变形为ri
01
u02umax1x（1x7）（7x6）dx14umax0（x7x14）dx0.817umax，由此体平均流速u0与管
中心流速umax的关系得证。
【5－4】在平板壁面上的湍流边界层中，流体的速度分布方程可用布拉修斯1/7次方定律表示
ux/u0（y/）1/7
试证明该式在壁面附近（即y0处）不能成立。
由于该公式中的为湍流边界层的厚度，而在壁面附近（即y0处）边界层的流动为层流，此时已不再适用，因此该公式在壁面附近（即y0处）不能成立。
【5－5】温度为20℃的水，以5m/s的流速流过宽度为1m的平板壁面，试求距平板前缘2m处的边界层厚度及水流过2m距离对平板所施加的总曳力。
查表得20℃水的密度ρ＝998.2kg/m3；
20℃水的粘度μ＝1.005×
-3
10Pa·
b＝1m；
L＝2m；
首先判断一下流型：
ReLLu25998.239.931063106，所以流动为湍流
L1.005103
1/5
0.376xRex1/50.03m
CD0.072Rex1/50.00287
22u2998.252
FdCdbL0.002871271.62N
dd22
并在平板壁面上形成湍流边界层，边界层
1/7次方定律，试利用连续性方程导出y方向上
x方向上的速度分布满足
【5－6】不可压缩流体沿平板壁面作稳态流动，
内为二维流动
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