全等三角形证明经典50题含答案Word格式.docx
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∴,∠EFD=∠1
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
∴EF=AC
5.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
A
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD(SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
6.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°
AE=AD+BE
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°
,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
7.已知:
∴BD=DC
8.已知:
9.已知:
连接BF和EF。
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
又∵∠ABC=∠AED。
在三角形ABF和三角形AEF中,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
10.已知:
又EF∥AB
∴∠EFD=∠1
11.已知:
12.已知:
又∵AC=AC
12.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180º
∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD
CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13.已知:
AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:
∠F=∠C
AB‖ED,得:
∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,
∵∠EAB=∠BDE,
∴∠AED=∠ABD,
∴四边形ABDE是平行四边形。
∴得:
AE=BD,
∵AF=CD,EF=BC,
∴三角形AEF全等于三角形DBC,
∴∠F=∠C。
14.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD<
BC时,E点是射线BA,CD的交点,当AD>
BC时,E点是射线AB,DC的交点)。
则:
△AED是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE(等量加等量,或等量减等量)
∴△BEC是等腰三角形
∴∠B=∠C.
15.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>
AB,求证:
PC-PB<
AC-AB
在AC上取点E,
使AE=AB。
∵AE=AB
AP=AP
∠EAP=∠BAE,
∴△EAP≌△BAP
∴PE=PB。
PC<EC+PE
∴PC<(AC-AE)+PB
∴PC-PB<AC-AB。
16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
在AC上取一点D,使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C;
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
∴AB=AD
∴AC–AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线,
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴点E一定在直线BD上,
在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD
∴点E也是BD的中点
∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
17.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC
∵作AG∥BD交DE延长线于G
∴AGE全等BDE
∴AG=BD=5
∴AGF∽CDF
AF=AG=5
∴DC=CF=2
18.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
延长AD至BC于点E,
∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
{AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
19.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
∠OAB=∠OBA
∵OM平分∠POQ
∴∠POM=∠QOM
∵MA⊥OP,MB⊥OQ
∴∠MAO=∠MBO=90
∵OM=OM
∴△AOM≌△BOM(AAS)
∴OA=OB
∵ON=ON
∴△AON≌△BON(SAS)
∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB=180
∴∠ONA=∠ONB=90
∴OM⊥AB
20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
做BE的延长线,与AP相交于F点,
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°
,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°
∴∠AEB=90°
,EAB为直角三角形
在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
延长AC到E
使AE=AC连接ED
∵AB=AC+CD
∴CD=CE
可得∠B=∠E
△CDE为等腰
∠ACB=2∠B
22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;
若不成立请说明理由.
(1)连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,
∴∠DEC=∠BFA=90°
,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF;
(2)连接BE,DF.
∴MB=MD,ME=MF.
23.已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
∵DC∥AB
∴∠CDE=∠AED
∵DE=DE,DC=AE
∴△AED≌△EDC
∵E为AB中点
∴AE=BE
∴BE=DC
∴∠DCE=∠BEC
∵CE=CE
∴△EBC≌△EDC
∴△AED≌△EBC
24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
BD=2CE.
∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠ABE=∠CBE
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G,连接AG,则:
AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而:
∠ECA=∠GBA(同弧上的圆周角相等)
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
25、如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
△AED≌△BFC。
∵DF=CE,
∴DF-EF=CE-EF,
即DE=CF,
在△AED和△BFC中,
∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF
∴△AED≌△BFC(SAS)
26、(10分)如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
AM是△ABC的中线。
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
27、(10分)如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
BD⊥AC。
∵△ABD和△BCD的三条边都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
BF=CF
在△ABD与△ACD中
AB=AC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
29、(12分)如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
AF=DE。
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
在△BEM和△CFM中
BE=CF
BM=CM
∴△BEM≌△CFM(SAS)
∴CF=BE
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等)
∵BE=DF
∴:
△ABE≌△CDF(SAS)
32.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
AE=AF。
连接BD;
∵AB=ADBC=D
∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;
两角相加,∠ADC=∠ABC;
∵BC=DCE\F是中点
∴DE=BF;
∵AB=ADDE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.
在△ADC,△ABC中
∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC(两角加一边)
∵AB=AD,BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD
∴△DEC≌△BEC(两边夹一角)
∴∠DEC=∠BEC
34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC≌△DEF.
∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF(ASA)
35.已知:
如图,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:
BE=CD.
∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∵CE⊥AB
∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC
∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC(AAS)
∴BE=CD
36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
DE=DF.
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD(AAS)
∴AE=AF
在△AEO与△AFO中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO≌△AFO(SAS)
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF
37.已知:
如图,AC
BC于C,DE
AC于E,AD
AB于A,BC=AE.若AB=5,求AD的长?
∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC⊥BC于C,DE⊥AC于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE,△ABC≌△DAE(ASA)
∴AD=AB=5
38.如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
MB=MC
∵ME⊥AB,MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME和△CMF中
∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°
ME=MF
∴△BME≌△CMF(AAS)
∴MB=MC.
39.如图,给出五个等量关系:
①
②
③
④
⑤
.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:
①AD=BC,⑤∠DAB=∠CBA
△DAB≌△CBA
∵AD=BC,∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
40.在△ABC中,
,
,直线
经过点
,且
于
.
(1)当直线
绕点
旋转到图1的位置时,求证:
①
≌
;
(2)当直线
旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;
若不成立,说明理由.
(1)
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°
∴∠CAD+∠ACD=90°
,∠BCE+∠CBE=90°
,∠ACD+∠BCE=90°
.
∴∠CAD=∠BCE.
∵AC=BC,
∴△ADC≌△CEB.
②∵△ADC≌△CEB,
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°
∴∠ACD=∠CBE.
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△CBE.
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
41.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
(1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,
∴∠BAE=∠CAF=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,
即∠EAC=∠BAF,
在△ABF和△AEC中,
∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,
∴△ABF≌△AEC(SAS),
∴EC=BF;
(2)如图,根据
(1),△ABF≌△AEC,
∴∠AEC=∠ABF,
∵AE⊥AB,
∴∠BAE=90°
∴∠AEC+∠ADE=90°
∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),
∴∠ABF+∠BDM=90°
在△BDM中,∠BMD=180°
-∠ABF-∠BDM=180°
-90°
=90°
∴EC⊥BF.
42.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°
,∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
(2)
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
在△ABF和△CDE中
AB=DE
∠A=∠D
AF=CD
∴△ABF≡△CDE(边角边)
∴FB=CE
在四边形BCEF中
FB=CE
BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形
∴BC‖EF
44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC
∵∠CAE=∠EAN
∴AE为公共,
∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又∵AC平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
∵BE为公共边
∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
45、(10分)如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
∵AD是△ABC的中线
BD=CD
∵DF=DE(已知)
∠BDE=∠FDC
∴△BDE≌△FDC
则∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行)。
46、(10分)已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,
∵DE⊥AC,BF⊥AC
∴∠CED=∠AFB=90º
又∵AB=CD,BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE(HL)
∴AF=CE
∠BAF=∠DCE
∴AB//CD
47、(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4