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时间
追及距离÷
时间=速度差，快的路程-慢的路程=曲线的周长
甲的路程+乙的路程=总路程，追及时间=路程差÷
速度差
速度差=路程差÷
追及时间，追及时间×
速度差=路程差
4.浓度问题
浓度=
，溶液=溶质+溶剂；
二、经典例题
例1：
★★某学校有学生50人，考试的平均成绩为81分，按成绩将学生分为优秀与非优秀两类，优秀学生的平均成绩为90分，非优秀学生的平均成绩是75分，则优秀学生的人数为：
A.30人B.25人C.20人D.35人E.无法确定
答案：
选C，本题考查二因素平均值问题。
十字相交法：
优秀906
81
非优秀759
所以，优秀/非优秀=2/3，所以优秀人数为：
50*2/5=20
例2：
★某个工作甲单独完成比乙单独完成要多用5天时间,两个人合做用6天可完成.则乙单独完成要用（）天.
（A）10．（B）12．（C）15（D）16．（E）20．
选A，本题考查工程问题。
设总工作量为1，甲单独完成需x天，则乙单独完成需x-5，甲、乙的工作效率分别为：
；
则
，解得：
x=15，则x-5=10，故选A
例3：
★★早晨6点，乙骑自行车追赶在跑步晨练的甲,乙的速度是甲的3倍,6点30分赶上.如果乙6点20分出发,则他在（）赶上甲.
（A）6:
40（B）6:
50（C）6:
20（D）6:
35（E）以上结论都不对。
选A，本题考查追击问题.
设甲的速度为v，那么乙的速度为3v，设6点钟时甲晨跑的路程s,由题意知：
，则
。
所以，将在6:
40追上。
故选A
例4：
★★★A、B两地间的路程为200千米，甲、乙两车同时从A地出发开往B地，半个小时后甲车在乙车前5千米，此时甲车出现故障，1小时后甲车排除故障以原速度继续前进，结果甲、乙两车同时到达B地，求：
甲、乙两车每小时各行驶多少千米？
A．50,40B.40,50C.30,40D.40,60E.60,50
选A，本题考查路程问题。
由题意知，设甲的速度为xkm/h,乙的速度为ykm/h,则
，故选A
例5：
★★某公司一批货物的60％用现金售出，25％用支票售出，15％用记账方式赊售，如果支票售出的货款比记账赊出的货款多4万元，则现金售出的货款为
（A）30万元（B）20万元（C）28万元（D）24万元（E）32万元
选D，本题考查比例问题。
设此公司货物总值现金x万元，则由题知：
，即
，那么现金售出的货款为
（万元），故选D
例6：
★一项工程由甲、乙两合作30天可完成。
甲队单独做24天后，乙队加入，两队合作10天后，甲队调走，乙队继续做了17天才完成。
若这项工程由甲队单独做，则需要：
A．70天B．60天C．80天D．90天E．100天
设甲需x天，乙需y天，总工程量为1，甲共做了34天，乙做了27天，故
，解得x=70
例7：
★★把1千克水加到盐水中,新盐水浓度为20%,再把1千克盐加到新盐水中,结果盐水浓度为40%,则原来盐水的浓度是
A25%B27.5%C30%D32.5%E35%
选C，本题考察浓度问题。
设原有盐水x千克，浓度为:
.则：
例8：
★★★老王以一笔资金分别投入股市和基金，但因故要抽回一部分资金。
若从股市中抽回10%，从基金中抽回5%，则总投资额减少8%；
若从此股市和基金的投资额中各抽回15%和10%，则其总投资额减少130万元。
其基金的投资额为（）
A、200万元B、300万元C、400万元D、500万元E、1000万元
选C，本题考查比例问题。
设老王投资股市资金为X元，投资基金资金为Y元，则有题意可得：
得
，选C.
例9：
★若用浓度为30%和20%的甲乙两种浓度的溶液配成浓度为24%的溶液500克，则甲乙两种溶液各取（）
A、180克；
320克B、200克；
300克C、190克；
310克
D、195克；
305克E、185克；
315克
选B，本题考查浓度问题。
设需浓度为30%和20%的甲乙两种溶液分别为x克、y克，则由题意得：
得x=200,y=300，故选B
例10：
★★甲、乙两个工厂同时加工一批零件，已知甲工厂单独加工要10小时完成，而甲和乙工作效率之比为8：
5，现两工厂同时做了2小时之后，还剩下270个零件未加工，这批零件共有
A.360个B.400个C.480个D.540个E.以上都不对
选B。
本题考查工程问题。
设共有零件x个，甲工厂的工作效率为
，乙工厂的工作效率为
，故
，故选B
例11：
★★甲乙两位长跑爱好者沿着社区花园环路慢跑，如两人同时、同向，从同一点A出发，且甲跑5米的时间乙只能跑3米，则当甲恰好在A点第二次追及乙时，乙共沿花园环路跑了（）圈？
A.7B.4C.9D.6E.12
选D。
本题考查追击问题。
甲乙二人速度比：
甲速：
乙速=5：
3，无论在A点第几次相遇，甲乙二人均沿环路跑了若干整圈，又因为二人跑步的用时相同，所以二人所跑的圈数之比，就是二人速度之比。
第一次甲于A点追及乙，甲跑5圈，乙跑3圈，第二次甲于A点追及乙，甲跑10圈，乙跑6圈，选D
例12：
★在某次考试中，共15道题，能确定小王做对9个题目。
（1）每做对一题得8分，每做错一题扣5分
（2）小王15道题全都做了，共得55分
选E。
本题考查二因素问题。
首先
（1）
（2）单独肯定都不成立。
考虑联合的情况，设答对x道题，则8x-5（15-x）=55,
解得：
x=10，也不充分，故选E
例13：
★某产品标价为1650元，若以8折降价出售仍可盈利10%（相对于进价）那么若以标价1650元出售，可盈利多少元。
（）
（A）450（B）460（C）470（D）480（E）以上结论均不正确
选A。
本题考查比例问题。
设进价为x元，则1650*0.8=x*1.1，解得x=1200；
1650-1200=450。
例14：
★★A、B、C、D、E五个队参加排球循环赛，每两队只赛一场，胜者得2分，负者得0分，比赛结果是：
A、B并列第一；
C第三；
D、E并列第四；
则C队得分为（）分
A、2分B、3分C、5分D、6分E、4分
本题考查不定式问题。
分析：
共有
场比赛，共20分，A、B、C、D可能得分结果是：
6，6，4，2，2或者8，8，4，0，0，无论怎么，都有C队得4分，所以选E。
例15：
★★★某商店以每件21元的价格从厂家购入一批商品，若每件商品售价为a元，则每周卖出（350-10a）件商品，但物价局限定商品出售时，商品加价不能超过进价的20%，商店计划每周从该商品出售中至少赚400元。
则每件商品的售价最低应定为（）元
A、21B、23C、25D、26E、以上均不正确
选C。
设最低定价为X元，已知：
X≤21*（1+20%）；
（X-21）（350-10X）≥400；
由以上分析可知：
X≤25.2；
（X-25）（X-31）≤0；
即X≤25.2，且25≤X≤31；
所以：
25≤X≤25.2，选C。
例16：
★★一块正方形地面，用相同的小正方形瓷砖铺满，已知地面两对角线上共铺201块黑色瓷砖，而其余地面全是白色瓷砖，则白色瓷砖共用（）块
A、15000B、5000C、10000D、30000E、以上均不正确
本题考查面积问题。
因为两对角线交点处共用一块黑色瓷砖，所以正方形地板的一条对角线上共铺（201+1）/2=101块瓷砖，画图可知，该地板的一条边上应铺101块瓷砖，则整个地板铺满时，共需要瓷砖总数为101*101=10201，故需白色瓷砖为：
10201-201=10000块，选C。
例17：
★★★一艘轮船往返航行于甲、乙两码头之间，着船在静水中的速度不变，则当这条河的水流速度增加
时，往返一次所需的时间比原来将（）．
（A）增加（B）减少半个小时（C）不变（D）减少1个小时（E）无法判断
本题考查速度问题。
设原来水流速度为
，船在静水中速度为v，甲乙两者之间距离为S，则往返一次时间为
，当水速增加时，需要时间为：
，所以往返一次用时增加，选A。
例18：
★★★甲、乙两人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离开后5分钟与乙相遇，用了7秒钟开过乙身边，从乙与火车相遇开始，甲乙两人相遇要再用（）
A、75分钟B、55分钟C、45分钟D、35分钟E、25分钟
题考查相遇问题。
若设火车速度为V1，人的速度为V2，火车长为X米，则有：
可知
火车与乙相遇时，甲乙两人相距
，从而知两人相遇要用
分钟，选D。
例19：
★★对120人进行一次兴趣调查，喜欢足球运动的与不喜欢足球运动的人数比为5：
3；
喜欢篮球的与不喜欢篮球的人数比为7：
5；
两种球类活动都喜欢的有43人，则对这两类活动都不喜欢的人有（）人
A、16B、18C、26D、28E、38
本题考察画饼问题。
由题知：
喜欢足球的人数为：
120*5/8=75人；
喜欢篮球的人为：
120*7/12=70人；
从而知两类活动都不喜欢的人有：
120-（75+70-43）=18人
例20：
★★★商店有A、B、C三种商品，每件价格分别为2元、3元、5元，某人买三种商品若干件共付20元钱，后发现其中一种商品多买了欲退回2件，但付款处只有10元一张的人民币，无其他零钱可以找，此人只得在退掉多买的2件商品的同时，对另外两种商品购买的数量做了调整，使总钱数不变，则他最后购买了B商品（）件
A、1B、2C、3D、4E、以上均不正确
本题考查多因素问题。
设此人开始购买A、B、C三种商品分别为X、Y、Z件，则：
2X+3Y+5Z=20（其中X、Y、Z∈非负正整数），显然他多买的商品不是C，否则找回一张10元，即可退掉2件商品；
假设他多买的商品是A，2件应为4元，则只能在退2件B商品换2件C商品，说明
，因此，只有
满足，所以最终购买B商品1件。
若他多买的商品是B，两件应为6元，可用3件A商品替换，再由题知Y≥3，则X=3；
Y=3；
Z=1，因此，只购买B商品1件，选A。
例21：
★★一个一升的瓶中有一些酒精水溶液.如果用纯水把瓶灌满,则酒精浓度稀释为10%.如果用纯酒精把瓶灌满,则酒精浓度为70%.则原来瓶中有（）.
（A）15%的酒精0.3升．（B）25%的酒精0.4升．（C）20%的酒精0.5升．
（D）30%的酒精0.2升．（E）40%的酒精0.5升．
本题考察浓度问题。
设原来瓶中有x升浓度为a%的酒精，则x*a%=10%，x*a%+（1-x）=70%,解得x=0.4,a%=25%
故选B
例22：
★★一个老年艺术协会，会下象棋的有70人，会下围棋的有58人，两种棋都不会下的有12人，两种棋都会下的有30人，问这个协会一共有（）人？
A、109B、110C、127D、139E、不能确定
本题考查画饼问题。
设一共有x人，根据会下象棋的人数+会下围棋的人数-两种都会下的人数=总人数-两种都不会的人数，知：
70+58-30=x-12，解得x=110，故选B
例23：
★★一位美国游客到上海旅游，她可以选择上午出去游玩，下午在酒店休息；
或者上午休息，下午出去游玩。
但是下雨天她只能在屋里呆一天。
在她旅游期间，不下雨的天数是12天，她上午呆在酒店的天数是8天，下午呆在酒店的天数是12天，她在上海总共呆了（）天？
A、13B、15C、16D、24E、不能确定
假设总共呆了x天，其中不下雨的天数是12天，那么有n-12天下雨，根据，上午呆酒店的天数+下午呆酒店的天数-下雨的天数=总天数-上下午都不在酒店的天数（据题意知不存在这样的一天），可得，8+12-（x-12）=x-0，解得x=16，故选C
例24：
★★★有四位同学各拿着大小不一的桶一同去打水，注满这些水桶，第一个人需要5分钟，第二个人需要4分钟，第三个需要3分钟，第四个需要2分钟，现在只有一个水龙头，应如何安排着四个人的打水顺序，使他们花费的等候时间最少，这个时间是（）分钟？
A、10B、15C、20D、25E、30
本题考查线性规划问题。
设第一个打水的人需要x分钟，第二个需要y分钟，第三个需要p分钟，第四个需要q分钟，则总等待时间t=4x+3y+2p+q，
为使等待时间t最少，则
，
此时，t=8+9+8+5=30，故选E
例25：
★★一个水池，装有若干个同样粗细的进水管，底部装有一个常开的排水管，当打开4个进水管时，需要4小时才能注满水池；
当打开3个进水管时，需要8小时才能注满水池，现在需要2小时内将水池注满，至少需要打开进水管的个数是（）
A、8B、7C、6D、5E、4
本题考查给排水问题。
假设单开一个进水管，需要x小时注满，单开排水管y小时能排完水；
由题意：
，解得x=4,y=8
要在2小时注满水，假设至少打开a个进水管，则，
，即a=6，选C
例26：
★★两瓶同样的农药，小瓶药液重100克，浓度10%，大瓶重400克，浓度为x，两瓶药液混合后测得浓度大于20%而不大于24%，则有（）
A、
B、
C、
D、
E、以上均不对
本题考查浓度问题。
由题意可知：
则，
，即选A
例27：
★★学校新建一个花园，在1000米的道路两侧要植树，从起点开始每隔10米两侧各种一棵树，相同的两棵树之间放一盆花，这样需要（）
A、树20棵，花20盆B、树22棵，花22盆
C、树22棵，花18盆D、树22棵，花20盆
E、树20棵，花18盆
本题考查距离问题。
植树的数量
种花的数量
，即选D
例28：
★★★两个手表，甲手表每小时比标准时间快1分钟，乙手表每小时比标准时间慢3分钟，如果将A、B两个手表同时调到标准时间，在24小时内的某一时刻甲手表显示12点整，乙手表显示11点整，此时标准时间应该是（）
A：
11:
10B、11:
15C、11:
30D、11:
35E、11:
45
E。
本题考查时间问题。
甲手表显示12点整，乙手表显示11点整，说明相差了1个小时，
则可知此时已经走过了15个小时，那么标准时间应为11:
45，即选E
例29：
★★★公司准备为员工采购一批铅笔，有A、B两种类型的铅笔，文具店的销售方法是：
一次性购买A型铅笔不超过20支时，按零售价销售；
超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元；
一次性购买B型铅笔不超过15支时，按零售价销售，超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元。
如果共有20名员工，每人各买1支A型铅笔和2支B型铅笔，共支付145元；
若每人各买2支A型铅笔和1支B型铅笔，共支付129元。
这家文具店的A、B两种类型的铅笔的零售价各是多少元？
A、2,3B、3,2C、3,4D、4,3E、2,2
本题考查阶梯型价格。
假设A、B型铅笔的零售价分别是x元、y元，则：
解得，
例30：
★★★三人分一袋苹果，甲拿出总数的1/5又5个，乙拿出余下的1/3又4个，丙拿出余下的1/2又3个，恰好分完。
问这袋苹果共有（）个？
A、15B、18C、20D、22D、25E、以上均不对
本题考查还原问题。
此类还原问题采用从后往前推导的方法，丙拿出余下的1/2又3个，恰好分完。
那么假设丙拿了x个，则
，那么x=6个；
乙拿出余下的1/4又5个，假设乙拿了y个，则
则y=9个；
甲拿出总数的1/5又6个，假设甲拿了z个，那么
则z=10个，故共有苹果10+9+6=25个苹果。
故选D
例31.★★从100人中调查对甲，乙两种运动会标志的设计方案的意见，结果选中甲方案的人数是全体接受调查人数的3/5；
选乙方案的比选甲方案的多6人，对两个方案都不喜欢的人数比对两个方案都喜欢的人数的1/3多2人，则两个方案都不喜欢的人数是（）
A、10B、12C、14D、16E、18
D。
本题考查比例的问题。
选甲方案的人：
人；
选乙方案的人60+6=66人；
设甲、乙都选的人有X人，则：
66+60-X=100-（X/3+2），解得X=42人；
甲、乙都不选者：
人，选D。
例32：
★★某商品单价上升50%后，再降回原价，那么商品下降的百分比是（）
A、10%B、20%C、30%D、33%E、36%
D，本题考查比例的性质。
由题，设该商品原来的单价是a，那么上升之后是1.5a，所以下降的百分比是
，选D。
33.★★已知
，且
成反比例，
成正比例，当x=1时，
当x=0时，
，那么y可用x来表示的式子是（）
E、
A，本题考查用待定系数法解函数解析式。
由题，
从而，
当x=1时，
，代入得：
，解得
，因此
，选Ａ。
34.★★甲、乙两列车的长度分别是180米和120米，它们相向而行，交汇时，乙车上的乘客看见整列甲车驶过的时间是6秒，那么坐在甲车上的人见过整列乙车驶过的时间是（）
A、3秒B、4秒C、5秒D、6秒E、8秒
B，本题考查行程问题。
假设甲车的速度是
米/秒，乙车的速度是
米/秒。
由题意，
，因此，
（秒），选B。
35.★★摩托车驶出半小时后，某人打出租车去追赶，已知摩托车的速度是60公里/小时，出租车的速度是120公里/小时，出租车的价格是1.5元/公里，那么当此人追赶上摩托车时，需要付的出租车费用是（）元？
A、60B、70C、80D、90E、100
D，本题考查追击问题。
由题意知：
此人追上摩托车所需要的时间是
（小时）
那么，追赶过程的距离是
（公里）
从而需要付的出租车费用是
（元），选D。
36.★★甲单独做一项工程，需要24天完成，乙单独做需要30天完成，甲、乙两队共同做8天后，余下由丙队做，又做了8天才完成，这个工程如果由丙队单独做，需要（）天完成？
A、10B、15C、20D、25E、30
C，本题考查工程问题。
设工程量为单位1，则甲每天完成
，乙每天完成
，甲、乙两队共同做了8天后，剩余的工程量是
假设丙每天完成
，那么，
，即x=20（天），选C。
37.★★★某蓄水池有两个水管，一个进水管，一个出水管，两管齐开，将空水池注满需要120个小时。
（1）单开进水管，30小时可以将空水池注满；
（2）单开出水管，40小时可以将满池水放完。
C，本题考查给水问题。
由题意，很显然条件
（1）和条件
（2）单独都不充分，
联合条件
（1）和条件
（2），设蓄水池的容量是1，则进水管进水速度是
，出水管的出水速度是
两管齐开放满水池需要
（小时），充分，故选C。
38.★★某商场原价a元可购买3件皮衣，现进行降价促销，a元可购买9件皮衣，则该皮衣降价的百分比是（）
A、25%B、33.3%C、45%D、50%E、66.6%
E，本题考查分式的运算。
由题：
降价的百分比是
，选E。
39.★★某项工程，甲队单独做完，比乙队单独做完多用5天，如果两队同时做，6天就全部完成。
则乙队单独做一天可以完成的工程量的（）
D、
A，本题考查工程问题。
由题意，假设工程量为1，乙每天完成工程量的
，则甲每天可完成工程量的
，从而由已知，
，整理得，
解得x=10，故选A。
40.★★★某人从A地出发按某一速度行走，可在预定时间赶到B地，但在距离B地10公里的地方意外受阻半小时，之后继续行走，需要每小时加快行走1公里，才能准时赶到B地，则此人后来的速度是（）
A、2公里/小时B、3公里/小时C、5公里/小时D、7公里/小时
E、9公里/小时
C，本题考查速度追击问题。
假设A、B两地距离S公里，原来人的速度是v公里/小时，则由已知条件，
，解得，v=4，v+1=5（公里/小时），选C。
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