小学阶段数学思维训练知识点汇总Word格式.docx
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长时间牛头数-较短时间×
短时间牛头数）÷
（长时间-短时间）;
总草量=较长时间×
长时间牛头数-较长时间×
生长量;
6、平均数问题
平均数
①平均数=总数量÷
总份数
总数量=平均数×
总份数=总数量÷
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷
基本算法：
算出总数量以及总份数,利用基本公式①或②进行计算。
（基准数法：
根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;
一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;
以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;
再求出所有差的和;
再求出这些差的平均数;
最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式②）
7、周期循环数
周期循环与数表规律
周期现象：
事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。
周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
确定循环周期。
闰年：
一年有366天;
①年份能被4整除;
②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
平年：
一年有365天。
①年份不能被4整除;
②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
8、抽屉原理
抽屉原理
抽屉原则一：
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：
把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0
②4=3+1+0
③4=2+2+0
④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点：
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：
如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>
m,那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体：
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：
当n能被m整除时。
理解知识点：
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4;
[0.321]=0;
[2.9999]=2;
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。
9、奥数知识点（定义新运算）
小升初奥数知识点（数列求和）
数列求和
等差数列：
在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
基本概念：
首项：
等差数列的第一个数,一般用a1表示;
项数：
等差数列的所有数的个数,一般用n表示;
公差：
数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;
通项：
表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;
数列的和：
这一数列全部数字的和,一般用Sn表示．
基本思路：
等差数列中涉及五个量：
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;
求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
通项公式：
an=a1+（n－1）d;
通项＝首项＋（项数一1）×
公差;
数列和公式：
sn,=（a1+an）×
n÷
2;
数列和＝（首项＋末项）×
项数÷
项数公式：
n=（an-a1）÷
d＋1;
项数=（末项-首项）÷
公差＋1;
公差公式：
d=（an－a1））÷
（n－1）;
公差=（末项－首项）÷
（项数－1）;
确定已知量和未知量,确定使用的公式
10、加法乘法原理和几何计数
加法原理：
如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有：
m1+m2.......+mn种不同的方法。
确定工作的分类方法。
基本特征：
每一种方法都可完成任务。
乘法原理：
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有：
m1×
m2.......×
mn种不同的方法。
确定工作的完成步骤。
每一步只能完成任务的一部分。
直线：
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。
直线特点：
没有端点,没有长度。
线段：
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点：
有两个端点,有长度。
射线：
把直线的一端无限延长。
射线特点：
只有一个端点;
没有长度。
①数线段规律：
总数＝1+2+3+…+（点数一1）;
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）;
③数长方形规律：
个数=长的线段数×
宽的线段数：
④数长方形规律：
个数=1×
1+2×
2+3×
3+…+行数×
列数
11、质数与合数
质数：
一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数：
一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
质因数：
如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：
把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：
N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1……。
求约数个数的公式：
P=（r1+1）×
（r2+1）×
（r3+1）×
……×
（rn+1）
互质数：
如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。
12、约数与倍数
约数和倍数：
若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
公约数：
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：
12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有：
1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有：
1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是：
6,记作（12,18）=6;
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：
先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：
先找公有的约数,然后相乘。
3、辗转相除法：
每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
公倍数：
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;
其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：
12、24、36、48……;
18的倍数有：
18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有：
36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：
1、短除法求最小公倍数;
2、分解质因数的方法
13、数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：
如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。
2、常用符号：
整除符号“|”,不能整除符号“”;
因为符号“∵”,所以的符号“∴”;
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：
末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：
末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：
末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：
各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
14
、余数及其应用
余数问题
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b（modm）,读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：
a≡a（mod
m）;
②对称性：
若a≡b（mod
m）,则b≡a（modm）;
③传递性：
m）,b≡c（modm）,则a≡c（mod
④和差性：
若a≡b（modm）,c≡d（modm）,则a+c≡b+d（modm）,a-c≡b-d（modm）;
⑤相乘性：
若a≡b（mod
m）,c≡d（modm）,则a×
c≡b×
d（modm）;
⑥乘方性：
m）,则an≡bn（modm）;
⑦同倍性:
若a≡b（modm）,整数c,则a×
c（mod
m×
c）;
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×
b,则MA=Ma×
b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×
Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n（mod9）或（mod3）;
②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod11）;
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数）,a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1（modp）。
15、分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：
把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外）,分数的大小不变。
分数单位：
把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。
百分数：
表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①向思维方法：
从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：
找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：
把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。
最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;
把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。
常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：
为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。
⑤量不变思维方法：
在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。
有以下三种情况：
A、分量发生变化,总量不变。
B、总量发生变化,但其中有的分量不变。
C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：
用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：
总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：
一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
16、分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：
使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：
使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：
确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：
当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：
当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。
（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：
把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：
用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：
用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：
利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：
确定一个基准数,每一个数与基准数比较
17、比和比例
比：
两个数相除又叫两个数的比。
比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项。
比值：
比的前项除以后项的商,叫做比值。
比的性质：
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外）,比值不变。
比例：
表示两个比相等的式子叫做比例。
a:
b=c:
d或
比例的性质：
两个外项积等于两个内项积（交叉相乘）,ad=bc。
正比例：
若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时）,则A与B成正比。
反比例：
若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时）,则A与B成反比。
比例尺：
图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：
把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配
18、综合行程问题
行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
路程=速度×
时间;
路程÷
时间=速度;
速度=时间
确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：
速度和×
相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：
追及时间＝路程差÷
速度差（写出其他公式）
流水问题：
顺水行程=（船速+水速）×
顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×
逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷
2
水
速=（顺水速度-逆水速度）÷
关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。
过桥问题：
关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。
主要方法：
画线段图法
基本题型：
已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量,求第三个量。
19、工程问题
①工作总量=工作效率×
工作时间
②工作效率=工作总量÷
③工作时间=工作总量÷
工作效率
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）;
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数）,利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间.
确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：
合久必分,分久必合。
20、逻辑推理问题
基本方法简介：
①条件分析—假设法：
假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。
例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。
②条件分析—列表法：
当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。
列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。
③条件分析——图表法：
当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态。
例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。
④逻辑计算：
在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤简单归纳与推理：
根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。
21、几何面积
在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;
另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
1.连辅助线方法
2.利用等底等高的两个三角形面积相等。
3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上）。
4.利用特殊规律
①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。
（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
22、时钟问题—快慢表问题
1、按照行程问题中的思维方法解题;
2、不同的表当成速度不同的运动物体;
3、路程的单位是分格（表一周为60分格）;
4、时间是标准表所经过的时间;
5、合理利用行程问题中的比例关系;
23、时钟问题—钟面追及
封闭曲线上的追及问题。
①确定分针与时针的初始位置;
②确定分针与时针的路程差;
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格,每小格我们称为1分格。
分针每小时走60分格,即一周;
而时针只走5分格,故分针每分钟走1分格,时针每分钟走1／12分格。
②度数方法：
从角度观点看,钟面圆周一周是360°
分针每分钟转360/60度,即6°
时针每分钟转360/12*60度,即1/2度。
24、浓度与配比
经验总结：
在配比的过程中存在这样的一个反比例关系,进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。
溶质：
溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
溶剂：
溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
溶液：
溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
溶液重量=溶质重量+溶剂重量;
溶质重量=溶液重量×
浓度;
浓度=×
100%=×
100%
理论部分小练习：
试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。
25、经济问题
利润的百分数=（卖价-成本）÷
成本×
100%;
卖价=成本×
（1+利润的百分数）;
成本=卖价÷
商品的定价按照期望的利润来确定;
定价=成本×
（1+期望利润的百分数）;
本金：
储蓄的金额;
利率：
利息和本金的比;
利息=本金×
利率×
期数;
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