数据结构期末复习题Word格式文档下载.docx
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）方法比较次数较少。
D）选择排序
（9）如果只考虑有序树的情形，那么具有7个结点的不同形态的树共有（）棵。
A）132B）154C）429D）前面均不正确
（10）对n（n>
=2）个权值均不相同的字符构成哈夫曼树，关于该树的叙述中，错误的是（
A）
C）
该树一定是一棵完全二叉树
树中一定没有度为1的结点
树中两个权值最小的结点一定是兄弟结点
树中任一非叶结点的权值一定不小于下一任一结点的权值
二、（本题8分）
斐波那契数列Fn定义如下：
Fo=0,F1=1,
请就此斐波那契数列，回答下列问题：
（1）在递归计算Fn的时候，需要对较小的Fn-1，Fn-2，…，F1,Fo精确计算多少次?
（2）若用有关大0表示法，试给岀递归计算Fn时递归函数的时间复杂度是多少？
三、（本题8分）
Fn=Fn-1+Fn-2
证明：
如果一棵二叉树的后序序列是U—U2,…,un，中序序列是Up^Up,…,uPn，则由序列1,2，…,n可通
过一个栈得到序列P-P2,…,pn。
四、（本题8分）
如下图所示为5个乡镇之间的交通图，乡镇之间道路的长度如图中边上所注。
现在要在这5个乡镇中选
择一个乡镇建立一个消防站，问这个消防站应建在哪个乡镇，才能使离消防站最远的乡镇到消防站的路程最
短。
试回答解决上述问题应采用什么算法，并写岀应用该算法解答上述问题的每一步计算结果。
五、（本题8分）
证明一个深度为n的AVL树中的最少结点数为：
Nn=Fn+2-1（n>
0）
其中，Fi为Fibonacci数列的第i项。
六、（本题8分）
简单回答有关AVL树的问题：
（北方名校经典试题）
（1）在有n个结点的AVL树中，为结点增加一个存放结点高度的数据成员，那么每一个结点需要增加多少个字位（bit）?
（2）若每一个结点中的高度计数器有8bit，那么这样的AVL树可以有多少层？
最少有多少个关键字？
七、（本题8分）
设有12个数据｛25,40,33,47,12,66,72,87,94,22,5,58｝，它们存储在散列表中，利用线性探测再散列解决冲突，要求插入新数据的平均查找次数不超过3次。
（1）该散列表的大小m应设计多大？
（2）试为该散列表设计相应的散列函数。
（3）顺次将各个数据散列到表中。
（4）计算查找成功的平均查找次数。
八、（本题8分）
已知某电文中共岀现了10种不同的字母，每个字母岀现的频率分别为A:
8,B:
5,C:
3,D：
2,E:
7,F:
23,G:
9,H:
11,I:
2,J:
35,现在对这段电文用三进制进行编码（即码字由0,丨，2组成），问
电文编码总长度至少有多少位？
请画岀相应的图。
九、（本题9分）
已知一棵度为m的树中有N1个度为1的结点，N2个度为2的结点，…，Nm个度为m的结点。
试问该树中有多少个叶子结点？
十、（本题15分）
试用递归法编写输出从n个数中挑选k个进行排列所得序列的算法。
模拟试题（七）参考答案
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
（1）参考答案：
（2）【分析】如下所示，三对角矩阵第1行和最后1行非零元素个数为2个，其余各行的非零元素个数是3个，所知&
6,65前面共有2+3*64=194个非零元素，a36,65本身是第195个非零元。
参考答案：
（4）【分析】设顶点按拓扑排序序列为：
vo,V1,…,w-1,则对于邻接矩阵A，只有当i<
j时，才可能有弧<
vi,vj>
，也就是当i>
j时，一定没有弧<
所以这时A[i][j]=O，可知邻接矩阵为三角矩阵。
（5）【分析】设另一棵子树的结点个数为n,所以有m=n+k+1，可知n=m-k-l。
（6）
【分析】因为K个关键字互为同义词，只有在存入第一个关键字的情况下不发生冲突，所以至少需进行1+2+…+K=K（K+1）/2次探测。
（7）【分析】由于每个非终端结点的平衡因子均为0,所以每个非终端结点必有左右两个孩子，且左子
树的高度和右子树的高度相同，这样AVL树是满二叉树。
高度为k的满二叉树的结点数为2k-l。
（8）
【分析】本题中只有直接插入排序利用前面有序的子序列这个性质，如用直接插入排序对本题只需将最后一个元素插入到前面99999个元素的有序子序列中即可，显然比较次数较少。
（9）【分析】具有n个结点有不同形态的树的数目和具有n-l个结点互不相似的二叉树的数目相同（将树转化为二叉树时，根结点右子树为空，所以除根结点而外只有左子树，其不相似的二叉树的等价于不相似
11
的左子树）。
具有n个结点互不相似的二又树的数目为C；
n，本题中应为C誇132
n161
（10）参考答案：
【解答】
（1）设在计算Fn时，由Fn-l+Fn-2可知Fn-1要精确计算1次；
由Fn-1=Fn-2+Fn-3可知Fn=2Fn-2+Fn-3,Fn-2要精确计算2次；
由Fn-2=Fn-3+Fn-4可知Fn=3Fn-3+2Fn-4,Fn-3要精确计算3次，Fn=3Fn-3+2Fn-4公式中Fn-3的系数为Fn-3要精确计算次数，而Fn-4的系数为Fn-2要精确计算次数，以此类推，设Fn-j的精确计算次为j则有：
Fn=aj*Fn-j+aj-1*Fn-j-1。
由Fn-j=Fn-j-1+Fn-j-2可知Fn=（aj+ai-1）*Fn-j-1+aj*Fn-j-2，Fn-j-1的精确计算次数为aj+1，所以有：
a+1=aj+aj-1
由于Fn-1要精确计算a1为1次，即a1=1，即可知Fn-1,Fn-2,…，F1,Fo的精确计算次为：
1,2,3,5,……，a=aj-1+ai-2
与斐波那契数列数列：
0,1,2,3,5,,Fn=Fn-1+Fn-2
比较可知aj=Fj+1。
（2）由于Fn的计算最终要转化为Fo与F1之和，其加法的计算次数为Fo与F1的精确计算次数之和再减
1之差，由于F0=Fn-n与F1=Fn-（n-1）,所以计算Fn时，加法计算次数为：
an+an-1-1=Fn+1+Fn-1
由于Fn=1（「^）n1（^-^）n，可知时间复杂度为0（（】-）n）。
诟27522
三、（本题8分）
【解答】当n=1时，结论显然成立。
设n<
=k时结论成立，当n=k+1时，设一棵二叉树的后序序列是比，口2，…,u，中序序列是uP,uP,…，uP,
12nHp2pn
可知Un是二叉树的根结点，设Pjn，可知｛Up「Up2,…,Up1｝是左子树的结点集合，｛Upj1,Upj2，-,Upn｝是右子树的结点集合，进一步可知：
（〔）左子树的后序序列是U—U2,…,uj1，中序序列是Up1,Up2,…,UPj1，由归纳假设知序列1,2,…,j-1
可以通过一个栈得序列5,p2,…,pj1。
（2）右子树的后序序列是Uj,Uj1，…,
Un1，中序序列是upj1,up
j2「…,
UPn，设U1uj,U2uj1，…
Unj
Un1；
up1uPj1，UP2UPj2，
'
，UPnjUPn，贝"
P1
Pj1
j1，P2Pj2j1，…，
pnj
pnj1，由归纳假设知序列1,2,…
•,n-j可以通过一个栈得序列
P1,
p2，…，pnj，显然按同样的
方式,
j,j+1,…,n-1可以通过一个栈得序列j
1P1,j1P2，…,j1
Pnj
也就是Pj1,Pj2，…，Pn
由
（1）
（2）及pjn可知由1,2,…,n
可通过一个栈得到序列訪
P2厂
•,pn。
由数学归纳法可知本题结
论成立。
由弗洛伊德
（
Floyd）
算法进行求解，
具体步骤如下：
12
9
3
6
15
D
（1）
4
D（0）
13
10
D
（1）
D
（2）
D（3）
，d（4）
设乡镇vi到其他各乡镇的最远距离为max_disdance（vi），则有：
max_disdance（vi）=12,max_disdance（v2）=15,max_disdance（w）=10,max_disdance（v4）=10,max_disdance（v5）=15，所以可知消防站应建在v或v4乡镇，才能使离消防站最远的乡镇到消防站的路程最短。
五、（本题8分）
【解答】对n用归纳法证明。
当n=1时，有N仁F3-l=2-l=1至叽当n=2时，有N2=F4-1=3-仁2。
k时也成立，即有Nn=Fn+2-1成立。
当n=k+1，对于一个k+l层深度的平衡二叉树而言，其左右子树都是平衡的。
结点数为最少的极端情况，故左右子树中的结点数是不相等的，设其中一个是k层深度的二叉平衡树，另一个是k-l层深度的二叉平衡树。
所以有：
Nk+1=1+Nk+Nk-1==1+（Fk+2-1）+（Fk+1-1）=Fk+2+Fk+1-1=Fk+3-1当n=k+1时成立，由此可知深度为n都等式都成立。
六、（本题8分）
【解答】n个结点的平衡二叉树的最大高度为式：
2x>
h>
2x-1，所以有：
xlog2hlog2（log』C5（n1））2）
2
七、（本题8分）
（1）线性探测再散列的哈希表查找成功的平均查找长度为：
Snl
（1）<
3,解得aW4/5,
21
也就是12/m<
4/5,所以m》15,可取m=15。
（2）散列函数可取为H（key）=key%13
（3）散列表如表7-4所示。
散列表
1
5
7
8
11
14
40
66
94
58
33
47
72
87
22
25
（4）12个数据｛25,40,33,47,12,66,72,87,94,22,5,58^的比较次数分别是：
1,1,1,1,2,2,3,2,1,3,1,1。
可知查找成功的平均查找次数=（1+1+1+1+2+2+3+2+1+3+1+1）/12=1.25
八、（本题8分）
【解答】有n个叶子结点的带权路径长度最短的二叉树称哈夫曼树，同理，存在有n个叶子结点的带权
路径长度最短的三叉、四叉、……、k叉树，也称为哈夫曼树。
如叶子结点数目不足以构成正则的k叉树（树
中只有度为k或0的结点），即不满足（n-l）MOD（k-l）=0，需要添加权为0的结点，添加权为0的结点的个数为：
k-（n-1）M0D（k-1）-1。
添加的位置应该是距离根结点的最远处。
所构造出的哈夫曼树如下图所示：
wili=191
i1
其中，每个字母的编码长度等于叶子结点的路径长度，电文的总长度为
注释：
对于正则的k叉树，设叶结点数为n,度为k的结点数为nk,结点总数为m,则有m-仁knk,m=nk+n,两式相减可得n-1=（k-1）nk,即（n-l）MOD（k-l）=0；
如n与k不满足此关系，n加上k-（n-1）MOD（k-1）-1后，n'
=n+（k-（n-1）MOD（k-1）-1），这时:
（n'
-l）MOD（k-l）=（n+（k-（n-1）MOD（k-1）-1）-l）MOD（k-l）
=（（n-1）+（k-1）-（n-1）MOD（k-1））MOD（k-l）
=（（n-1）-（n-1）M0D（k-1））M0D（k-l）
=0。
现有12个初始归并段，其记录数分别为｛30,44,8,6,3,20,60,18,9,62,68,85」采用3-路平衡归并，画岀最
佳归并树。
九、（本题9分）
【解答】设该树中结点总数为
N，叶子结点个数为
N0,则有：
NNi
i0
（1）
N1iNi
（2）
由
（2）-
（1）再经过移项可得:
N01（i
1）Ni
对于排列的解空间可构造一个虚拟的解空间树，比如n=5,k=3时的解空间树如下图所示，可采用对此
树进行先序遍历方式进行遍历，并用递归法进行递归输出从n个数中挑选k个进行排列所得序列。
具体算法实现如下:
//文件路径名：
exam7\alg.htemplatevclassElemType>
voidArrage（ElemTypea[],intk,intn,intoutlen=0）
//操作结果：
回溯法输岀排列序列，a[0..k-1]为k个数的排列序列outlen为当前所求排列//序列的长度，其中outlen=k时的排列序列为所求；
n为list数组长度
//处理a[i]Swap（a[outlen+1],a[i]）;
Arrage（a,k,n,outlen+1）;
//Swap（a[outlen+1],a[i]）;
{
if（k<
0||k>
=n）return;
inti;
if（outlen==k+1）
{//得到一个排列
for（i=0;
i<
k;
i++）
{//输出一个排列
cout<
<
a[i];
}
"
"
;
else
{//对解空间进行前序遍历,
for（i=outlen;
n;
i++）{
//此时无排列
〃临时变量
//输岀a[i]
//用空格分隔不同排列
a[outlen..n]有多个排列，递归的生成排列
//交换a[outlen+1]与a[i]对序列长度outlen+1递归
//交换a[outlen+1]与a[i]
*模拟试题（八）
注：
本套试题选作
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
（1）一个n*n的带状矩阵A=[aj]如下：
a11
a21
2,n1an2,n2
an1,n
a23
a33
a12
a22
a32
an2,n1
an1,n1an1,n
an,n1ann
将带状区域中的元素aj（|i-j|<
1）按行序为主序存储在一维数组
（）。
A）i+2j-2B）2i+j-3
（2）一nxn的三角矩阵A=[aj]如下：
3i-j
B[3n-2]中，元素aj在B中的存储位置是
D）i+j+1
aii
a1n
a2n
ann
将三角矩阵中元素aj（i<
j）按行序为主序的顺序存储在一维数组
B[n（n+1）/2]中，则aj在B中的位置是
A）（i-1）（2n+i）/2+i-jI
C）（i-1）（2n-i）/2+j-i-1
（3）设有一棵度为3的树，其叶结点数为结点数为n3，贝Un0与n1，n2，n3满足关系（
A）n0=n2+1B）n0=n1+2n3+1
（4）G是一个非连通无向图，共有28条边，则该图至少有（
A）6B）7C）8
（5）设图G用邻结表存储，则拓扑排序的时间复杂度为（A）
（6）用
B）（i-1）（2n-i+2）/2+j-i
D）（i-1）（2n-i+2）/2+j-i-1
fno，度为1的结点数为n1，度为2的结点数为n2，度为3的
IC）n0=n2+n3+1D）
n°
=n1+n2+n3
）个顶点。
O（n）B）O（n+e）C）O（n2）
n个键值构造一棵二叉排序树，最低高度为（
O（n>
e）
n
（7）若需在O（nlogn）的时间内完成对数组的排序，且要求排序是稳定的，则可选择的排序方法是
C）nIog2n
log2n1
A）快速排序B）堆排序C）归并排序D）直接插入排序
（8）在文件“局部有序”或文件长度较小的情况下，最佳内部排序的方法是（）。
（北方名校经
典试题）
后的某个排列），则在输岀序列中不可能岀现当ivjvk时有pjvpkvpi的情况。
三、（本题8分）
已知某一完全k叉树只有度为k的结点及叶结点，设叶结点数为n0,试求它的树高ho（南方名校经典试题）
四、（本题8分）
试讨论怎样在一棵中序线索二叉树上查找给定结点x在后序序列中的后继
具有n个关键字的B一树的查找的最大路径长度是多少?
对长度为12的有序表（a1,a2,…，aQ（其中a<
a当i<
j时）进行折半查找，在设定查找不成功时，关键字x<
a1、x>
a12以及a<
x<
ai+1（i=1,2，…,11等情况发生的概率相等，则查找不成功的平均查找长度是多少？
（1）设T是具有n个内结点的判断二叉树，I是它的内路径长度，E是它的外路径长度，试利用归纳法证明E=I+2n，n>
0。
（2）利用
（1）的结果，试说明，成功查找的平均比较次数s与不成功查找的平均比较次数u之间的关
系，可用公式s（1+）u1，n>
0表示
提示：
判断二叉树只有度为0或度为2的结点；
判断二叉树成功查找的比较次数为内路径长度与内结点数之和，不成功查找的比较次数为外路径长度。
一个深度为h的满m叉树有如下性质：
第h层上的结点都是叶结点，其余各层上每个结点有m棵非空子树。
问：
（1）第k层有多少个结点？
（k<
h）
（2）整棵树有多少个结点？
（3）若按层次从上到下，每层从左到右的顺序从1开始对全部结点编号，编号为i的结点的双亲结点的编号是什么？
编号为i的结点的第j个孩子结点（若存在）的编号是什么？
设散列表的关键字取值范围为0~m-1，n为对散列表的最大插入次数，设计散列表，允许使用以O（m+n）
空间，要求查找、插入和删除算法的时间复杂度都是0
（1）。
模拟试题（八）参考答案
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
（1）参考答案：
B）
【分析】存储位置=n+（n-1）+…+（n-i+2）+i-j=（i-1）（2n-i+2）/2+j-i。
（3）
【分析】用n表示结点总数，则有：
n=n0+n1+n2+n3；
由于除根结点而外，结点与分支一一对应，而分支数=ni+2n2+3n3,即有：
n-1=ni+2n2+3n3。
由上面两式可得：
n0=n1+2n3+1
（4）
【分析】本题中由于是非连图，至少有一个顶点与其他顶点不连，这个顶点是孤立点，其他顶点可组成一个连通图，由于8个顶点的完全图共有28条边，所以具体28个顶点的连通图的顶点个数至少为8，这样非连通图至少有9个顶点。
D）
（5）【分析】对于有n个顶点e条边的有向图，建立各顶点的入度时间复杂度为0（e）,建立入度为零的栈的时间复杂度为0（n），在拓扑排序过程中，最多每个顶点进一次栈，入度减1的操作最多总共执行e次，可知总的时间复杂度为0（n+e）
（6）【分析】当用n个键值构造一棵二叉排序树是一棵完全二叉树时，高度最低，此时高度为log2ni。
（7）【分析】快速排序和堆排序都是不稳定的，应排除；
归并排序稳定，时间复杂度0（nlogn）,满足条
件；
直接插入排序，时间复杂度为0（n2）,排除。
C）
（8）【分析】对直接插入排序而言，算法时间复杂度为0（n2），但若待排记录序列为“正序”时，其时间复杂度
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