江苏省普通高等学校招生全国统一考试密卷五数学试题含附加题及答案.docx
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江苏省普通高等学校招生全国统一考试密卷五数学试题含附加题及答案
绝密★启用前
江苏省2020年普通高等学校招生全国统一考试密卷（五）
数学试题
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据，，…，的方差，其中
柱体的体积，其中S是柱体的底面积，是柱体的高．
锥体的体积，其中S是椎体的底面积，h是椎体的高．
一．填空题：
本题共14小题，请把答案填写在答题卡相应位置上
1．设集合，，则________．
2．复数的虚部________．
3．以双曲线的顶点为焦点，离心率为的椭圆的标准方程为________．
4．正实数a,b,c满足：
,,a,b,c的大小关系是________．
5．函数的值域________．
6．设是定义在R上的偶函数且对恒成立,当时,,则________．
7．等差数列的前n项和是,若,是方程的两根,则________．
8．在上随机地取一个实数,则事件“直线与圆相交”发生的概率为________．
9．如图,在中,,,,的面积为,则角平分线AD的长等于________．
10．中,,,线段BN与CM交于点P．若,则________．
11．在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为,F为C的上焦点,A为C的右顶点,P是C上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF的面积的最大值为________．
12．三棱锥的底面是边长为3的正三角形,,,,则三棱锥的体积为________．
13．已知抛物线的焦点为F,直线过点F与抛物线交于A,B两点,若,则________．
14．已知函数,关于x的方程有5个不同的实数解,则的取值范围是________．
二．解答题：
本大题共6小题,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．的内角A,B,C所对的边分别为,,,,,向量与向量平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若,,求的面积．
16．如图,已知正方形ABCD的边长为2,E为边AB的中点,将正方形沿DE折成直二面角,连接AC,AB,得到四棱锥,F为的中点．
（Ⅰ）求证：
平面ABC；
（Ⅱ）求四面体FBEC的体积．
17．某公园有一块边长为6百米的正空地,拟将它分割成面积相等的三个区域,用来种植三种花卉．方案是：
先建造一条直道DE将分成面积之比为2∶1的两部分（点D,E分别在边AB,AC上）；再取DE的中点M,建造直道AM（如图）．设,,（单位：
百米）
（Ⅰ）分别求,关于的函数关系式；
（Ⅱ）试确定点D的位置,使两条直道的长度之和最小,并求最小值．
18．如图,椭圆E：
经过E的左焦点F,斜率为的直线与E交于A,B两点．
（Ⅰ）当时,求；
（Ⅱ）给定,延长,分别与椭圆E交于点C,D,设直线CD的斜率为．
证明：
为定值,并求此定值．
19．已知函数,．
（Ⅰ）当时,求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时,求证：
函数恰有两个零点．
20．给定数列,,…,,对,2,…,,该数列前项,,…,的最小值记为,后项,,…,的最大值记为,令．
（Ⅰ）设数列为2,1,6,3写出,,的值；
（Ⅱ）设,,…,是等比数列,公比,且,证明：
,…,是等比数列；
（Ⅲ）设,,…,是公差大于0的等差数列,且,证明：
,…,是等差数列．
数学Ⅱ（附加题）
21【选做题】：
本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-2：
矩阵与变换]
已知二阶矩阵有特征值及其对应的一个特征向量,特征值及其对应的一个特征向量,求矩阵的逆矩阵．
B．[选修4-4：
坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,直线的参数方程是（为参数）,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的方程为：
直线与曲线C交于O,A两点．
（Ⅰ）求直线的普通方程；
（Ⅱ）点P为曲线C上一点,求满足的点P有多少个？
C．[选修4-5：
不等式选讲]
已知函数,．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）当时,恒成立,求实数a的取值范围．
必做题】第22题、第23题,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图,在四棱锥中,平面,底面为平行四边形,,,．
（Ⅰ）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．
23．已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅱ）设为取出的4个球中红球的个数,求的分布列和数学期望．
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江苏省2020年普通高等学校招生全国统一考试密卷（五）
数学试题参考答案
数学Ⅰ答案
一．填空题
1
2
3
4
5
6
7
1
336
18
8
9
10
11
12
13
14
二．解答题
15．解：
（Ⅰ）设等差数列的公差d,等比数列的公比为．
由．
∴．
．
∴,．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,,则
①
②
①－②得：
．
∴．
又∵∴．
16．解：
（Ⅰ）
证明：
取线段AC的中点M,连接MF,MB．
∵F为AD的中点,∴,且．
又∵,且．
∴,．四边形MFEB为平行四边形．
又∵平面ABC,平面ABC．
故平面ABC．
（Ⅱ）在平面ADE中,过点F作于点N．
∵平面平面BEDC．
∴平面BEDC．
在中,,．∴．
又∵F为AD的中点．∴．
∴．
17．解：
（Ⅰ）由题意知,,即．
∴．
又∵,得．
在中,由余弦定理,得：
．
∴,．
在和中,由余弦定理,得：
（1）
（2）
联立
（1）
（2）,．
∴．
∴,
（Ⅱ）
当且仅当时,取等号．
故当时,两条直道长度之和的最小值百米．
18．解：
（Ⅰ）设,,AB直线方程：
AB直线方程与椭圆方程联立,得：
由韦达定理,
．
（Ⅱ）
设,,AC直线方程：
AC直线方程与椭圆方程联立,
得：
由韦达定理,
∴,
将代入AC直线方程,得．
同理,得：
；
∴；
∴．
19．解：
（Ⅰ）由题意,,．
故．
∴所求切线方程为：
即：
．
（Ⅱ）,．
由题意,,只需证明恰有两个零点即可．
．
当时,；当时,．
∴在单调递增,在单调递减．
∴的最大值为．
令,则
∴在单调递增．
当时,,即,则．
∵．
由,,且在单调递增,可得：
在存在唯一的零点,使得．
又∵在单调递减,,．
故恰有两个零点
所以,当时,函数恰有两个零点．
20．解：
（Ⅰ）由题意,得,,．
（Ⅱ）因为,公比,所以,,…,是递减数列．
因此,对,2,…,,,．
于是对,2,…,,
．
因此且，
即，，…，是等比数列
（Ⅲ）设为，，…，的公差，则
对，因为，
∴，即
又∵，所以．
从而，，…，是递减数列．因此．
又∵，所以．
因此．
∴．
因此对，2，…，都有，
即，，…，是等差数列．
21．【选做题】
A．[选修4-2：
矩阵与变换]
解：
设二阶矩阵，由题意，得：
，．
，．得：
，，，．
∴．
又∵，．
∴．
即矩阵的逆矩阵．
B．【选修4-4：
坐标系与参数方程】
解：
（Ⅰ）由，消参，得到直线的普通方程．
（Ⅱ）由曲线C的极坐标方程：
可得，
曲线C的直角坐标方程．
圆心C到直线的距离，
∴
由（表示点P到OA的距离）
∵圆心C到直线的距离，
∴在直线的上方的圆上存在一个点P到OA的距离；
在直线的下方的圆上的点到OA的距离最大值为，
∴在直线的下方的圆上存在两个点P到OA的距离．
综上所述，满足题意的点P共3个．
C．[选修4-5：
不等式选讲]
解：
（Ⅰ）由题意知，解不等式
（1）当时，不等式化为，
此时不等式的解；
（2）当时，不等式化为，
此时不等式的解；
（3）当时，不等式化为，
此时不等式的解；
综上所述，原不等式的解集．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，的解集是；
∴实数a的取值范围．
【必做题】
22．解：
（Ⅰ）取C为坐标原点，过点C的PD平行线为z轴，
依题意建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得，，，，
故，
设平面PAC的法向量，则：
，得．
令，得．
∴
设直线PB与平面PAC所成角为．
．
故直线PB与平面PAC所成角的正弦值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
设平面PBC的法向量为，
则即
令，则，．
∴．
∵ABCD为平行四边形，且，
∴．∵面ABCD，
∴．
又∵，∴面PDC．
∴平面PDC的法向量为．
∴，．
经判断二面角的平面角为钝角，
∴二面角余弦值的大小为．
23．解：
（Ⅰ）设事件为“甲盒中取出个红球”，事件为“甲盒中取出个红球”；事件C为“4个球恰有1个红球”
∴．
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，4．
的分布列：
0
1
2
3
4
．
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