完整版平面向量与三角形四心问题Word格式文档下载.docx
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z
有此定理可得三角形四心向量式
OAOBOC0
O是ABC的重心
SAOB1:
1:
1
O是
S
ABC的内心
BOC:
SCOA
:
SAOB
a:
b:
ca?
b?
OBc?
OC0
ABC的外心
sin2A:
sin2B:
sin2C
sin2A?
sin2B
?
OB
sin2C?
OC
O是ABC的垂心
SAOBtanA:
tanB:
tanC
SCOADB:
AD
SCOAtanA:
tanB
同理得SCOA:
SAOBtanB:
tanC,SBOC:
SAOBtanA:
tanC
SAOBtanA:
tanB:
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统
4.2三角形“四心”的相关向量问题
一.知识梳理:
四心的概念介绍:
如图⑴.
(0,),则P的轨迹一定通过△ABC的().
A.重点B.外心C.内心D.垂心
∈(0,+∞)),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()
A.内心B.重心C.外心D.垂心
解:
作出如图的图形AD⊥BC,由于sinB=sinC=AD,
∴=
由加法法则知,P在三角形的中线上
故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心
故选:
B.
与“垂心”有关的向量问题
A.重点B.外心
C.内心
D.
垂心
uuuruuuruuur
uuuruuur
uuur
【解析】由PAPBPB
PC,得PB
(PA
PC)
0,即PB
CA
3P是△ABC所在平面上一点,若PAPB
PBPC
PA⊥BC.∴P是△ABC的垂心.如图⑶.
0,所以PB⊥CA.同
理可证PC⊥AB,
A
B
C
图⑶
4已知O是平面上一定点,A,B,
,(0,),则动点P的轨迹一定通过
OP
AC
AB
cosB
cosC
△ABC
的(
A.重点
B.外心
D.垂心
解析】由题意AP
uuurAB
由于
BC
0,
BC的直线上,
uuuruuurACBC
uuuruuur即ABBC
uuuur
CB
uuuruuru
0,所以AP表示垂直于BC的向量,即P点
在过点A且垂直于
所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心,如图⑷.
5若H为△ABC所在平面内一点,且
2
HA
HB
HC
则点H是△ABC的()
C.
内心
证明:
QHA
(HA
HB)?
BA
(CA
CB)?
得(HA
HBCA
即(HC
HC)?
BA0
0AB
同理AC
HB,BC
HA,
故H是△ABC的垂心
与“内心”有关的向量问题
6已知I为△ABC所在平面上的一点
,且AB
c,
ACb,
BCa.若
uuruuruur
aIAbIBcIC0,则I是△ABC的(
.A.重点B.外心C.内心
解析】
uur
∵IB
IA
AB,
uurC
AC,
则由题意得(a
uurbc)IA
uuurbAB
cAC0,
bAB
cAC
ABuAuBur
,
ABAC
bc
AI
abc
uAuBur
uAuCur
uuur与
ACuuuruuur
uuur分别为AB和AC方向上的单位向量,AC
BAC.
∴AI与∠BAC平分线共线,即AI平分
同理可证:
BI平分ABC,CI平分ACB.从而I是△ABC的内心,如图⑸
的()
().
B.外心C.内心
A.垂心B.重心C.内心D.外心
∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形,
可得AO在∠BAC的平分线上同理可得OB平分∠ABC,OA平分∠ACB,∴O是△ABC的内心.
C.
与“外心”有关的向量问题
OC2,则O是△ABC的()
uuuuruuuur
8已知O是△ABC所在平面上一点,若OA2OB2
△ABC的外心,如图⑺。
△ABC的(
)。
OBOC
【解析】由于
过BC的中点,
当(0,)时,
表
uuru
示垂直于BC的向量(注意:
理由见二、4条解释。
),所以P在BC垂直平分线上,动点P的轨迹一定通过△ABC的外心,如图⑻
四心的相互关系
1.三角形外心与垂心的向量关系及应用
设△ABC的外心为O,则点H为△ABC的垂心的充要条件是
OH
uuurOC。
2.三角形外心与重心的向量关系及应用
设△ABC的外心为O,则点G为△ABC的重心的充要条件是
OG
1uuur(OA
3
uuurOC)
3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用
设△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H,则O、G、H三点共线(O、G、H1
三点连线称为欧拉线),且OG1GH。
相关题目
10.设△ABC外心为O,重心为G.取点H,使.
求证:
(1)H是△ABC的垂心;
(2)O,G,H三点共线,且OG:
GH=1:
2.
【解答】证明:
(1)∵△ABC外心为O,
∴
又∵
则=?
==0
即AH⊥BC
同理BH⊥AC,CH⊥AB即H是△ABC的垂心;
(2)∵G为△ABC的重心
=3=3+=
即=3
即O,G,H三点共线,且OH=3OG
即O,G,H三点共线,且OG: