完整版平面向量与三角形四心问题Word格式文档下载.docx

完整版平面向量与三角形四心问题Word格式文档下载.docx

《完整版平面向量与三角形四心问题Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版平面向量与三角形四心问题Word格式文档下载.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

z

有此定理可得三角形四心向量式

OAOBOC0

O是ABC的重心

SAOB1:

1:

1

O是

S

ABC的内心

BOC:

SCOA

:

SAOB

a:

b:

ca?

b?

OBc?

OC0

ABC的外心

sin2A:

sin2B:

sin2C

sin2A?

sin2B

?

OB

sin2C?

OC

O是ABC的垂心

SAOBtanA:

tanB:

tanC

SCOADB:

AD

SCOAtanA:

tanB

同理得SCOA:

SAOBtanB:

tanC，SBOC:

SAOBtanA:

tanC

SAOBtanA:

tanB:

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统

4.2三角形“四心”的相关向量问题

一．知识梳理：

四心的概念介绍：

如图⑴.

（0，），则P的轨迹一定通过△ABC的（）.

A．重点B．外心C．内心D．垂心

∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）

A．内心B．重心C．外心D．垂心

解：

作出如图的图形AD⊥BC，由于sinB=sinC=AD，

∴=

由加法法则知，P在三角形的中线上

故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心

故选：

B．

与“垂心”有关的向量问题

A．重点B．外心

C．内心

D．

垂心

uuuruuuruuur

uuuruuur

uuur

【解析】由PAPBPB

PC，得PB

（PA

PC）

0，即PB

CA

3P是△ABC所在平面上一点，若PAPB

PBPC

PA⊥BC．∴P是△ABC的垂心．如图⑶.

0，所以PB⊥CA．同

理可证PC⊥AB，

A

B

C

图⑶

4已知O是平面上一定点，A，B，

，（0，），则动点P的轨迹一定通过

OP

AC

AB

cosB

cosC

△ABC

的（

A．重点

B．外心

D．垂心

解析】由题意AP

uuurAB

由于

BC

0，

BC的直线上，

uuuruuurACBC

uuuruuur即ABBC

uuuur

CB

uuuruuru

0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点

在过点A且垂直于

所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，如图⑷.

5若H为△ABC所在平面内一点，且

2

HA

HB

HC

则点H是△ABC的（）

C．

内心

证明:

QHA

（HA

HB）?

BA

（CA

CB）?

得（HA

HBCA

即（HC

HC）?

BA0

0AB

同理AC

HB,BC

HA，

故H是△ABC的垂心

与“内心”有关的向量问题

6已知I为△ABC所在平面上的一点

，且AB

c，

ACb，

BCa．若

uuruuruur

aIAbIBcIC0，则I是△ABC的（

．A．重点B．外心C．内心

解析】

uur

∵IB

IA

AB，

uurC

AC，

则由题意得（a

uurbc）IA

uuurbAB

cAC0，

bAB

cAC

ABuAuBur

，

ABAC

bc

AI

abc

uAuBur

uAuCur

uuur与

ACuuuruuur

uuur分别为AB和AC方向上的单位向量，AC

BAC．

∴AI与∠BAC平分线共线，即AI平分

同理可证：

BI平分ABC，CI平分ACB．从而I是△ABC的内心，如图⑸

的（）

（）．

B．外心C．内心

A．垂心B．重心C．内心D．外心

∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，

可得AO在∠BAC的平分线上同理可得OB平分∠ABC，OA平分∠ACB，∴O是△ABC的内心．

C．

与“外心”有关的向量问题

OC2，则O是△ABC的（）

uuuuruuuur

8已知O是△ABC所在平面上一点，若OA2OB2

△ABC的外心，如图⑺。

△ABC的（

）。

OBOC

【解析】由于

过BC的中点，

当（0，）时，

表

uuru

示垂直于BC的向量（注意：

理由见二、4条解释。

），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的外心，如图⑻

四心的相互关系

1.三角形外心与垂心的向量关系及应用

设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是

OH

uuurOC。

2.三角形外心与重心的向量关系及应用

设△ABC的外心为O，则点G为△ABC的重心的充要条件是

OG

1uuur（OA

3

uuurOC）

3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用

设△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线（O、G、H1

三点连线称为欧拉线），且OG1GH。

相关题目

10．设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使．

求证：

（1）H是△ABC的垂心；

（2）O，G，H三点共线，且OG：

GH=1：

2．

【解答】证明：

（1）∵△ABC外心为O，

∴

又∵

则=?

==0

即AH⊥BC

同理BH⊥AC，CH⊥AB即H是△ABC的垂心；

（2）∵G为△ABC的重心

=3=3+=

即=3

即O，G，H三点共线，且OH=3OG

即O，G，H三点共线，且OG：